法线和切线的关系
-壳寡糖
2023年2月16日发(作者：全要素生产率).-
-
可修编-
§1.2曲线的切向量、切线和法面、
密切平面
假设))(),(),(()(tztytxtr
中的三
个分量具有我们所需要的各阶导
数。
一、切向量的定义及求法
对曲线进行研究，从曲线的割线及
割线的极限入手。
（1）
定义如图
给出曲线
上一点
P
，
点
Q
是曲线
上邻近
P
的
zz
x
y
)(ttr
)(tr
.-
-
可修编-
一点，经过
P
和
Q
的直线称为曲线
的一条割线。
当
Q
点沿着曲线
趋近于
P
点
时，若割线
PQ
趋近于一定的位置，
则我们把这个割线
PQ
的极限位置
称为曲线在
P
点处的切线。而定点
P
叫做切点。
直观上看，切线是通过
P
点的
所有直线当中最贴近曲线的直线。
设曲线
的参数方程是
()rrt，),(t。
.-
-
可修编-
设)(tr
是该曲线上的一点，记为
P
，
),(t，
给
t
一个增量
t
，
考虑曲线上的另外一点)(ttr
记()Prt，
()Qrtt
；
则有()()PQrttrt，
在割线
PQ
上作向量
PR
，使得
()()rttrt
PR
t
；
当
QP
（即0t）时，
如果
t
r
有着确定的极限，
.-
-
可修编-
则
0
()()limlim
QPt
rttrt
PR
t
，
根据曲线的切线的定义，那么这
个极限就是切线上的一向量，称它
为曲线在点()Prt处的切向量。
也就是说，定义
t
trttr
t
r
tt
)()(limlim
00
为曲线的切向量，用)(tr
来表示。
（2）切向量的求法
因为
)()(),()(),()(
1)()(
tzttztyttytxttx
tt
trttr
t
tzttz
t
tytty
t
txttx)()(
,
)()(
,
)()(，
令
0t
得
.-
-
可修编-
),(,)(),(),()(
ttztytxtr
。
特别，对平面曲线，
①
：))(),(()(tytxtr
，
切向量
,)(),()(tytxtr
k
tx
ty
dx
dy
)(
)(
为切线的斜率。
②曲线
(),yfx
()(,()),rxxfx
切向量
()(1,()),rxfx
()
()
1
dyfx
fx
dx
为切线的斜率。
平面曲线的切线方程和法线方程。
.-
-
可修编-
例1、求圆
()cos,sin,(0,2)rraa
的切向量。
解：切向量是()(sin,cos),raa
()()cos(sin)sincos0rraaaa
所以，这表明
)(r
与)(r
垂直。
二、切线方程
曲线
)(trr
在点
)(
0
tr
处的切
线方程为
.-
-
可修编-
),()(
00
trtrr
),(),()(
00
trtrr
，
000000
(),(),()((),(),())xxtyytzztxtytzt
，
)()(
)()(
)()(
00
00
00
tztzz
tytyy
txtxx
，
)(
)(
)(
)(
)(
)(
0
0
0
0
0
0
tz
tzz
ty
tyy
tx
txx
，
这称为切线方程的点向式。
.-
-
可修编-
三、曲线的法平面
经过切点而垂直于切线的平面，
称为曲线的法平面或法面。
下面导出曲线的法平面方程。
设曲线
)(trr
上一点
P
，它所
对应的参数为0
t
，
P
点的向径是
)(
0
tr
，
(,,)rXYZ
是法面上的任一点，
则由
00
()()rrtrt
，
得00
[()]()0rrtrt
，
若设0000
()((),(),())rtxtytzt
，
.-
-
可修编-
0000
()((),(),())rtxtytzt
，
则得法面方程为
000000
[()]()[()]()[()]()0XxtxtYytytZztzt
。
四、光滑曲线
定义8.2设曲线
)(trr
，
如果0)(
0
tr，则称)(
0
tr
是曲线的
一个奇点。
如果0)(
0
tr,称为)(
0
tr
是曲线的
一个正则点（或正常点）。
例如32()(,)rrttt
，
.-
-
可修编-
2()(3,2)rttt
，
(0)(0,0)r
，
(0)(0,0)r
是曲线的一个奇点，
其它点为正则点。
由32,xtyt
，
得
2
3()yfxx
，
()fx
在
0x
处不可导。
画出曲线图象。
例曲线
22
331xy
，
33cos,sin,02xtytt
，
.-
-
可修编-
33()(cos,sin)rrttt
，
22()(3cossin,3sincos)rttttt
，
当3
0,,,
22
t
时，
有
()(0,0)rt
，
3
(0),(),(),()
22
rrrr
均为曲线的
奇点，其它点为正则点
画出曲线图形。
注：33()(,)rrttt
，(0,0)是
奇点，
()(,)rruuu
，(0,0)不是奇点，
表示同一条曲线，原因是变换3ut
不是正则的。
.-
-
可修编-
定义如果曲线
)(trr
全由正
则点组成，则称这条曲线是一条正
则曲线。
设曲线))(),(),(()(tztytxtr
，
[,]t，如果切向量
)(tr
的三个分
量都是
,上的连续函数，并且
()0,(,)rtt
，则称曲线
)(trr
([,])t是一条光滑曲线。
设曲线))(),(),(()(tztytxtr
（),(t），
.-
-
可修编-
如果
)(tr
在(,)上连续，
并且()0,(,)rtt
，则称曲线
)(trr
((,))t是一条光滑曲线。
如果曲线表示式
))(),(),(()(tztytxtr
（),(t）中
的函数是
k
阶连续可微的函数，则
把这曲线称为kC类曲线。
记号[,]kCab，(,)kCab，(,)Cab等
的涵义。
.-
-
可修编-
例如：圆柱螺线
)0,0(),,(,,sin,cosbatbttatar
是一条光滑曲线，且是kC类曲线（任
意正整数
k
）。（这种曲线，也称为
无穷次光滑曲线。）
分段光滑的曲线概念。分段光滑
的曲线的图例，出现被使用的场合。
例1.求曲线32,,tztytx在点
)1,1,1(M处的切线和法平面方程.
解因,3,2,12tztyx
及点)1,1,1(M对应参数,1t
所以曲线在点M处的切向量
.-
-
可修编-
为).3,2,1(T
于是所求的切线方程为
111
123
xyz
；
法平面方程为
,0)1(3)1(2)1(zyx
即
.0632zyx
例2、求曲线
ttzttytx2,,132
上平行于直线zyx的切线方程.
解已知直线的方向向量
).1,1,1(l
,23)(,12)(,1)(2
ttzttytx
.-
-
可修编-
由于曲线的切向量
2()(1,21,32)rttt
平行于向量
,l
所以,
1
23
1
12
1
12
tt
解得
,1t
切点坐标为),1,0,2(
切向量为,l
所以切线方程为
,
1
1
11
2
zyx
即
.12zyx
例3.设曲线
)(),(),(tzztyytxx
在任一点的法平面都过原点,
证明此曲线必在以原点为球心的某
个球面上.
.-
-
可修编-
解任取曲线上一点
(),(),(),xtytzt
曲线过该点的法平面方程为:
,0)]()[()]()[()]()[(
tzZtztyYtytxXtx
由于法平面过原点，得
()[0()]()[0()]()[0()]0,xtxtytytztzt
,0])()()([222
tztytx
于是222()()()xtytztC，
即曲线在球面上.
例4.设参数曲线段
()((),()),rtxtytatb，它的分量
x
和
y
在[,]ab上连续，在(,)ab可
导，并且对(,)tab，有()0xt
，
我们称由
((),())xaya
与
.-
-
可修编-
((),())xbyb
两点决定的直线
段为这条参数曲线段的弦.
求证：曲线上至少有一点使得
曲线在这点上的切线与弦平行.
证:由柯西中值定理,
存在(,)ab,使得
()()()
()()()
ybyay
xbxax
,
弦的斜率为
()()
()()
ybya
xbxa
,
曲线上((),())xy点处的切线斜率
为
()
()
y
x
,两者相等,
故弦线与((),())xy点处的切线平
行,结果得证.
五、空间曲线的密切平面
.-
-
可修编-
经过上面的讨论，我们知道，在
1C类曲线的正常点处，总存在一条
切线，它是最贴近曲线的直线。
下面我们将指出，对于一条2C类空
间曲线而言，过曲线上一点有无数
多个切平面，其中有一个最贴近曲
线的切平面，它在讨论曲线的性质
时起很重要的作用。
定义1过空间曲线上P点的切
线和P点邻近一点Q可作一平面Q
，
当Q点沿着曲线趋于P时，平面Q
的
极限位置称为曲线在P点的密切
平面。
.-
-
可修编-
现在我们找出密切平面的方程。
给出2C类的空间曲线
：
()((),(),())rrtxtytzt。
设曲线
上的P和Q点分别对应
参数0
t
和0
tt
。
根据泰勒公式，有
00
()()PQrttrt
2
00
1
()(())()
2
rttrtt
，
其中
102030
((,),(,),(,))tttttt，
0
lim0
t
。
因为向量
0
()rt
和PQ都在平面Q
上，所以它们的线性组合
00
2
2
[()]()
()
PQrttrt
t
.-
-
可修编-
也在平面Q
上。
当Q点沿着曲线趋于P时，0t，
这时
0
()rt
不动，但
0，
这个线性组合向量就趋于
0
()rt
，
所以平面Q
的极限位置是向量
0
()rt
和
0
()rt
所确定的平面。
也就是说，如果
0
()rt
和
0
()rt
不平
行，即
00
()()0rtrt
，
这两个向量及P点就完全确定了曲
线在P点的密切平面。
根据以上的讨论，曲线
在
0
()Pt
点的密切平面的方程是
000
((),(),())0rtrtrt
，
其中(,,)XYZ表示0
()Pt
点的密切
.-
-
可修编-
平面上任意一点的向径。
上式也可以用行列式表示为
000
000
000
()()()
()()()0
()()()
XxtYytZzt
xtytzt
xtytzt
。
定义2给出2C类的空间曲线
：
()((),(),())rrtxtytzt。
设曲线
上的P和Q点分别对应
参数0
t
和0
tt
。
过P点作由00
(),()rtrtt
成的切
平面Q
，
当Q点沿着曲线趋于P时，平面
.-
-
可修编-
Q
的极限位置称为曲线在P点的
密切平面。
现在我们找出密切平面的方程。
Q
的方程为
000
((),(),())0rtrtrtt
，
其法方向为00
()()rtrtt
，
00
0
()()
()
rttrt
rt
t
，
当Q点沿着曲线趋于P时，0t，
00
000
()()
()()()
rttrt
rtrtrt
t
，
平面Q
的法向量的极限为
00
()()rtrt
，就是的法方向，
故曲线
在0
()Pt
点的密切平
面的方程是
.-
-
可修编-
000
((),(),())0rtrtrt
，
其中(,,)XYZ表示0
()Pt
点的密切
平面上任意一点的向径。
密切平面的几何意义：
设曲线
上的P和Q点分别对应
参数0
t
和0
tt
。
过P点作一平面
P
，
考查Q点到平面P
的距离的接近
情况，
设n为平面
P
的单位法向量，
由Q作平面P
的垂线，垂足为
1
Q，
则
1
QQn，其中从平面到Q点有向
.-
-
可修编-
距离。
由于
11
QQQPPQ，
1
0QPn，
00
()()PQrttrt
2
00
1
()(())()
2
rttrtt
，
其中
102030
((,),(,),(,))tttttt，
0
lim0
t
。
所以有
11
()QQnQPPQn
00
[()()]PQnnrttrt
2
00
1
[()(())()]
2
nrttrtt
，
欲使()ot，需要
0
()0nrt
，
此时
P
可为任一过切线的平面；
欲使2(())ot，
.-
-
可修编-
需要
0
()0nrt
，0
()0nrt
，
也就是需要
P
的法方向为
00
()()rtrt
，此时的平面
P
是一个切
平面，并且与曲线的接近程度较高，
所以称这种平面为曲线的密切平
面。
例求螺线
()(cos,sin,)rtttt
上点(1,0,0)的密切平
面。
解把点(1,0,0)代入所给曲线方程，
得0t。
.-
-
可修编-
直接计算，得
()(sin,cos,1)rttt
，
()(cos,sin,0)rttt
，
把0t代入，得
(0)(1,0,0)r
，
(0)(0,1,1)r
，
(0)(1,0,0)r
；
所求密切平面的方程为
100
0110
100
XYZ
，
即0YZ。
曲线()rt
，
()rt
，()rt
的物理意义。