函数有界性的判断
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2023年2月16日发(作者：流式细胞术原理)1
题型1函数的性质
一、基础知识
1.单调性
判断单调性的方法:(1)根据定义,考察
12
()()fxfx的符号;
(2)根据导数的符号.
2.奇偶性
奇偶性的性质:(1)奇函数的图形关于原点对称,且(0)0f；偶函数的图形关于y轴对称.
(2)奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇.
判断奇偶性的方法：(1)奇偶性的定义
(2)奇偶性的性质
(3)奇函数()()0fxfx
单调性多结合导数考查奇偶性结合变上限函数考查.(放后面讲)
3.有界性
判断有界性的方法:(1)闭区间上的连续函数定为有界函数.
(2)开区间(,)a内的连续函数考察lim()
xa
fx
与lim()
x
fx
,若二者的极
限都存在,()fx在(,)a内有界.
(3)适当放大或缩小有关表达式导出有界.
(4)利用基本初等函数的图形.
4.周期性
定义域为D.正数T,使得对于任一xD,有()xTD,且
()()fxTfx
恒成立,则称()fx为周期函数.T称为()fx的周期.
二、例题
例1.判别函数2ln(1)yxx的奇偶性.【答案】()()0fxfx,奇函数.
例2.在(,)内函数
2
2
(1)
()
1
x
fx
x
为【D】
(A)奇函数.(B)偶函数.(C)无界函数.(D)有界函数.
例3.(04－34)函数
2
sin(2)
()
(1)(2)
xx
fx
xxx
在下列哪个区间内有界【A】
2
(A)(1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).
练习
1.设sin()tanxfxxxe，则()fx是【C】
(A)偶函数.(B)周期函数.(C)无界函数.(D)单调函数.
题型2数列的极限
一、基础知识
符号定义:lim0,0,
n
n
xaN
当nN时,恒有
n
xa成立
数列极限存在准则:夹逼准则单调有解准则
二、例题
(1)考查定义
例1.下列命题中正确的是【D】
(A)当n越大时,
n
uA越小,则
n
u必以A为极限
(B)当n越大时,
n
uA越接近于零,则
n
u必以A为极限
(C)0,0,N当nN时,有无穷项满足
n
uA,则
n
u必以A为极限
(D)0,0,N当nN时,仅有有限多项不满足
n
uA,则
n
u必以A为极限
(2)利用“单调有界准则”证明极限存在,求递归数列的极限
例2.(022)设
1
03x,
1
(3)
nnn
xxx
(1,2,)n,证明数列
n
x的极限存在,并求此极限.
【答案】
3
2
例3(06-12-12分)设数列
n
x满足
11
0,sin1,2,...
n
xxxn
.
(Ⅰ)证明lim
n
x
x
存在,并求该极限.
(Ⅱ)计算
2
1
1limn
x
n
n
n
x
x
.【答案】0,
1
6e
练习
1.设
121
1
11
2,2,,2,
n
n
xxx
xx
证明数列
n
x的极限存在,并求此极限.
【答案】1
3
2.证明数列2,22,222,的极限存在,并求此极限.
【答案】2
3.(96-1)设
1
10,x
1
6
nn
xx
(1,2,)n,试证数列
n
x的极限存在,并求此极限.
【答案】3
（3）利用“夹逼准则”与“定积分的定义”求
n
项和的极限
例4.(04-2)
222
12
limln(1)(1)(1)n
n
n
nnn
等于【B】
（A）
2
2
1
lnxdx.（B）
2
1
2lnxdx.（C）
2
1
2ln(1)xdx.（D）
2
2
1
ln(1)xdx.
例5.（98-1）求
2
sinsin
sin
lim()
11
1
2
n
nn
n
nn
n
.【答案】
2
.
练习
1.(02-2)
12
lim[1cos1cos1cos]
n
n
nnnn
22
.
2.(99-4)设函数
()(0,1),xfxaaa则
2
1
limln[(1)(2)()]
n
fffn
n
1
ln
2
a.
题型3函数的极限(**)
一、基础知识
(1)符号定义:
0
lim()0,0,
xx
fxA
当
0
xx时,恒有
()fxA成立
(2)符号定义:lim()0,0,
x
fxAX
当xX时,恒有
()fxA成立
（3）两个重要极限
a.1
sin
lim
0
x
x
x
b.
1
0
1
lim(1)lim(1)x
x
xx
exe
x
或
(4)无穷小量的性质
有限个无穷小量的“代数和”“乘积”--------无穷小量;
4
常数或有界函数与无穷小量的乘积-------无穷小量;
无穷小量（0除外）的倒数是无穷大量;无穷大量的倒数是无穷小量．
（5）常用的等价无穷小代换：当0x时,
sin~,arcsin~,tan~,arctan~,1ln,xxxxxxxxxaxa
2
11
ln(1)~,1cos~,11,1~
2
x
nxxxxxxex
n
．
等价无穷小代换常常使用在极限运算中,起到简化运算的作用,但必须注意,只能在乘除中使用,不
能在加减运算中使用．
（6）洛必达法则
如果函数)(xf和)(xg满足
（1）当0)(,0)(,xgxfxax时或,
（2）0)(',)(')('xgxgxf且存在和,
（3）极限
)('
)('
lim
xg
xf
存在（或为无穷大）,
那么
)('
)('
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
（7）无穷小量阶的比较
定义:设和是在同一极限过程中的无穷小,又
lim也是这个变化过程中的极限．
（1）0lim
――――比
“高阶”的无穷小,记作)(;
（2）
lim――――比“低阶”的无穷小;
（3）C
lim（0c常数）――――与是“同阶”无穷小;
（4）如果1lim
,则与是“等价”无穷小,记作~．
洛必达法则的使用原则:先用代数恒等变形把非0非
因子用极限法则分离出去.再尽量用等
价无穷小化简.最后使用洛必达法则.
极限问题:定义理解是基础，运算性质是关键.除上述方法必要时可采用具有皮亚诺余项形式的
泰勒公式.
二、例题
(一)考查定义、性质、定理
例1.设
00
lim()lim()
xxxx
fxgx
与都不存在,则【D】
5
(A)
0
lim[()()]
xx
fxgx
一定不存在.
(B)
0
lim[()()]
xx
fxgx
－一定不存在.
(C)当
0
lim[()()]
xx
fxgx
与
0
lim[()()]
xx
fxgx
－有一个存在，则另一个一定存在.
(D)
0
lim[()()]
xx
fxgx
与
0
lim[()()]
xx
fxgx
－都有可能存在.
例2．设
0
xx时，()fx不是无穷大，则下述结论正确的是【D】
(A)若()gx是无穷小，则()()fxgx必是无穷小.
(B)若()gx不是无穷小，则()()fxgx必不是无穷小.
(C)若在
0
xx的邻域内()gx无界，则()()fxgx必是无穷大.
(D)若在
0
xx的邻域内()gx有界，则()()fxgx必不是无穷大.
（二）
0
,0
0
，，型未定式极限
例3.(07-2)
3
0
arctansin
lim
x
xx
x
=
1
6
.
例4.(07-34)
32
3
1
lim(sincos)
2x
x
xx
xx
x
=0.
例5.(06-2)
0
ln(1)
lim
1cosx
xx
x
=2.
例6.(06-34-7分)设
1sin
(,),0,0
1arctan
x
y
y
y
fxyxy
xyx
求
（1）()lim(,)
y
gxfxy
;（2）
0
lim()
x
gx
.
【答案】(1)
11
()
arctan
x
gx
xx
;(2).
例7.(05-34)
1
2
sinlim
2x
x
x
x
=2.
例8.
0
11
lim()
1x
x
x
ex
=
1
2
.
练习
1.
0
limln(0)n
x
xxn
0.
6
2.(99-2)
2
0
1tan1sin
lim
ln(1)x
xx
xxx
1
2
.
3.(92-1)
2
0
sin1
lim
11
x
x
ex
x
1.
4.(93-2)2lim(100)
x
xxx
－50.
5.(99-1)
2
0
11
lim()
tanxxxx
1
3
.
6.(91-2)
1
1
0
1
lim
x
x
x
e
xe
1.
（三）幂指函数求极限（001,0,）
例9.（06-34）
11
lim
n
n
n
n
1.
例10.（04-2-10分）求极限
3
0
12cos
lim1
3
x
x
x
x
.
【答案】
1
6
例11.(90-1)设
a
是非零常数,则lim()x
x
xa
xa
2ae.
练习
1.(03-1)2
1
ln(1)
0
limcosx
x
x
1
2e
.
0
lim(arcsin)x
x
x
1.
3.
1
ln
0
lim(cot)x
x
x
1e.
(四)无穷小阶的比较
例12.(07-1234)当0x时，与
x
等价的无穷小量是【B】
(A)1xe.(B)
ln(1)x
.(C)11x.(D)
1cosx
.
例13.(04-12)把0x时的无穷小2
0
cosxtdt,
2
0
tanxtdt,3
0
sinxtdt排列起来,
使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是【B】
(A),,.(B),,.(C),,.(D),,.
7
练习
1.(97-3)设
56
1cos
2
0
()sin,()
56
xxx
fxtdtgx,则当0x时,()()fxgx是的【C】
(A)同阶非等价.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)低阶无穷小.
2.(97-4)设(),()fxx在点0x的某邻域内连续,且当0x时,()()fxx是的高阶无穷小,
则当0x时,
0
()sinxfttdt是
0
()xttdt的【C】
(A)同阶非等价.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)低阶无穷小.
（五）由无穷小量阶的比较确定未知量的值
例14.（05-2）已知当0x时,2()xkx与()1arcsincosxxxx是等价无穷小,
则常数k=
3
4
．
例15.(02-1)设函数()fx在0x的某邻域内具有一阶连续函数,且(0)0f,'(0)0f,若
()(2)(0)afhbfhf在0h时是比h高阶的无穷小,试确定,ab的值.
【答案】2,1ab方法一:导数定义方法二:连续函数在一点的极限可直接代值方法三:
泰勒定理
例16.(06-24)试确定常数,,ABC的值，使得23(1)1()xeBxCxAxOx，其中3()Ox是
当0x时比3x高阶的无穷小.
【答案】
121
,,
336
ABC
练习
1.(91-1)已知当0x时,
1
2
3(1)1ax与cos1x是等价无穷小,则常数
a
=
3
2
．