函数的两个要素
-制定班规
2023年2月16日发(作者：北京人曹禺)1.2.2函数的三要素
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两
个函数是否为同一个函数的方法.
（2）会求简单函数的定义域和函数值.
2．过程与方法
通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，
进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对
应法则的认识.
3．情感、态度与价值观
通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；
体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神.
（二）教学重点与难点
重点：掌握函数定义域的题型及求法.
难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则.
（三）教学方法
启发式教学，在老师引导，学生在合作的状态下理解知识、
应用知识，提升学生应用知识和基本技能探究解决问题的能力.
（四）教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意图
复习回顾
范例分析
强化概念
1．回顾函数的定义.
2．示例剖析
例1已知函数f(x)=3x+
1．老师引导学生分析例1函数
解析式的结构特征.结合函数的定
义，感知函数定义域即使解析式有
从回顾概
念入手，引
入求定义
1
2x
.
（1）求函数的定义域；
（2）求f(–3)，
2
()
3
f
的值；
（3）当a＞0时，求f(a)，f(a–
1)的值.
例2下列函数中哪个与函数y
=x相等？
（1）2()yx；
（2）3
3yx；
（3）2yx；
（4）
2x
y
x
.
2．函数定义的理解.
由函数的定义可知，一个函数的构成
要素为：定义域、对应关系和值域.
由于值域是由定义域和对应关系决
定的，所以，如果两个函数的定义域
相同，并且对应关系完全一致，我们
就称这两个函数相等.
3．区间的概念：
（1）不等式a≤x≤b，用闭区间
[a，b]表示；
（2）不等式a＜x＜b，用开区间
(a,b)表示；
（3）不等式a≤x＜b(或a＜x≤
b)用半开半闭区间[a，b](或(a，b])表
示；
（4）x≥a，x＞a，x≤b，x＜b
分别表示为[a，+∞)，(a,+∞)，(–∞,
b]，(–∞,b).
意义的自变量的取值范围.
2．分析例2的题型特点，结合
函数的定义，阐明确定函数的因素
为定义域和对应法则，并了解值域
由这二要素决定.
例1解：使根式
3x
有意义的
实数x的集合是{x|x≥–3}，使分式
1
2x
有意义的实数x的集合是{x|x
≠–2}.所以，这个函数的定义域就
是{x|x≥–3}∩{x|x≠–2}
={x|x≥–3，且x≠–2}.
(2)
1
(3)33
32
f
=–1；
2
()
3
f
=
2
3
3
+
1
2
2
3
=
113
38
=
333
83
.
（3）因为a＞0，所以f(a)，f(a–1)
有意义.
1
()3
2
faa
a
；
f(a–1)=13a+
1
(1)2a
=2a+
1
1a
.
例2解：（1）2()yx=x(x
≥0)，这个函数与函数y=x(x∈R)
虽然对应关系相同，但是定义域不
相同.所以，这个函数与函数y=x
(x∈R)不相等.
（2）3
3yxx(x∈R)，这个函数
与函数y=x(x∈R)不仅对应关系相
同，而且定义域也相同.所以，这
个函数与函数y=x(x∈R)相等.
（3）2||yxx=
,0,
,0.
xx
xx
这
个函数与函数y=x(x∈R)的定义域
都是实数集R，但是当x＜0时，它
的对应关系与函数y=x(x∈R)不相
同.所以，这个函数与函数y=x(x
∈R)不相等.
域的思考
方法及求
定义域的
基本原则.
（4）
2x
y
x
的定义域是{x|x≠0}，
与函数y=x(x∈R)的对应关系相
同但定义域不相同.所以，这个函
数与函数y=x(x∈R)不相等.
应用举例
训练题1：求下列函数的定义域.
（1）
1
()
2
fx
x
；
（2）()32fxx；
（3）
1
()1
2
fxx
x
.
小结：从上例可以看出，求用解
析式y=f(x)表示的函数的定义域，常
有以下几种情况：
1．函数的定义域即使函数解析
式有意义的实数集.
2．已知函数y=f(x)
（1）若f(x)为整式，则定义域为
R.
（2）若f(x)为分式，则定义域是
使分母不为零的实数的集合；
（3）若f(x)是偶次根式，那么函
数的定义域是根号内的式子不小于
零的实数的集合；
（4）若f(x)是由几个部分的数学
式子构成的，那么函数的定义域是使
各部分式子都有意义的实数的集合
（即使每个部分有意义的实数的集
合的交集）；
（5）若f(x)是由实际问题列出
的，那么函数的定义域是使解析式本
身有意义且符合实际意义的实数的
集合.
训练题2：（1）已知f(x)=2x+3，
求f(1)，f(a)，f(m+n)，f[f(x)].
（2）①已知f(x)=x2+1，则f(3x
+2)=；
②已知f(x)=2x3–1，则f(–x)
=.
（3）已知函数
学生合作交流完成训练题1并
说明解法原理.
老师点评学生的解法及总结、
题型.
师生合作小结求定义域的方法
及求解步骤.
训练题1解：（1）x–2≠0，即
x≠2时，
1
2x
有意义，
∴这个函数的定义域是{x|x≠
2}.
（2）3x+2≥0，即x≥
2
3
时，
32x有意义，∴函数y=32x
的定义域是
2
[
3
，+∞).
（3）
101
202
xx
xx
，∴
这个函数的定义域是{x|x≥–1}∩
{x|x≠2}=[–1，2)∪(2，+∞).
注意：函数的定义域常用二种
方法表示：集合、区间.
学生自主完成训练题2，体会
求函数值与对应法则之间的关系.
训练题2解：（1）f(1)=2×1+3=5.
f(a)=2×a+3=2a+3.
f(m+n)=2×(m+n)+3
=2(m+n)+3.
f[f(x)]=2×f(x)+3
=2(2x+3)+3=4x+9.
（2）①9x2+12x+5；②–2x3–1.
（3）
1
；（4）D.
固化定义
域的求法
及求解原
理.
强化函数
值的基本
求法、加深
对函数三
要素含义
的理解.
f(x)=
1,(0)
,(0)
0,(0)
xx
x
x
，
则f{f[f(–1)]}=.
（4）在函数
f(x)=2
2,(1)
,(12)
2,(2)
xx
xx
xx
中，若
f(x)=3，则x的值是（）
A．1B．1或
3
2
C．±3D．3
归纳总结
1．求函数定义域的原理：使函
数解析式有意义的自变量取值范围.
2．求函数值的方法：代入法.
师生合作归纳小结
训练归纳
概括能力
课后作业1.2第二课时习案学生独立完成固化技能
备选例题
例1求下列函数的定义域
（1）2
1
1
2
yx；（2）
2
2
4
x
y
x
；
（3）1
||
y
xx
；（4）142yxx；
（5）2
1
4
||3
yx
x
；（6）3yax(a为常数).
【解析】（1）x∈R；
（2）要使函数有意义，必须使x2–4≠0，得原函数定义
域为{x|x∈R且x≠±2}；
（3）要使函数有意义，必须使x+|x|≠0，得原函数定义
域为{x|x＞0}；
（4）要使函数有意义，必须使10,
40,
x
x
得原函数的定义域为
{x|1≤x≤4}；
（5）要使函数有意义，必须使240,
||30;
x
x
得原函数定义域为{x
|–2≤x≤2}；
（6）要使函数有意义，必须使ax–3≥0，得
当a＞0时，原函数定义域为{x|x≥3
a
}；
当a＜0时，原函数定义域为{x|x≤3
a
}；
当a=0时，ax–3≥0的解集为，故原函数定义域为.
例2（1）已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x2)
的定义域.
（2）已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1)，求f(x)的
定义域.
（3）已知函数f(x+1)的定义域为[–2,3]，求f(2x2–
2)的定义域.
【解析】（1）∵f(x)的定义域为(0,1)，
∴要使f(x2)有意义，须使0＜x2＜1，即–1＜x＜0或0＜x
＜1，∴函数f(x2)的定义域为{x|–1＜x＜0或0＜x＜1}.
（2）∵f(2x+1)的定义域为(0,1)，即其中的函数自变
量x的取值范围是0＜x＜1，令t=2x+1，∴1＜t＜3，∴f(t)
的定义域为1＜x＜3，∴函数f(x)的定义域为{x|1＜x＜3}.
（3）∵f(x+1)的定义域为–2≤x≤3，
∴–2≤x≤3.
令t=x+1，∴–1≤t≤4，
∴f(t)的定义域为–1≤t≤4.
即f(x)的定义域为–1≤x≤4，要使f(2x2–2)有意义，
须使–1≤2x2–2≤4，
∴3≤x≤2
2
或2
2
≤x≤3.
函数f(2x2–2)的定义域为{x|–3≤x≤2
2
或2
2
≤x≤
3}.
注意：对于以上（2）（3）中的f(t)与f(x)其实质是相同
的.