质心坐标计算公式
-ce元素
2023年2月16日发(作者：拼音文字)大学物理力学
——怎么求解质心位置
一．实验法
原理：利用的是质心的性质。对于一个质点系，质心可以代表这个质
点系的受力情况。当然这对于重力也就成立。因此理论上，任意一个
平面物体悬挂后，质心都应该位于悬线所在的直线上（这条直线也是
重力对于物体的作用线）
二．定义法
（1）对于多质点系统：
i
ii
cm
rm
r
可以写出三个分量式
i
ii
cm
xm
x
i
ii
cm
ym
y
i
ii
cm
zm
z
（2）对于质量分布连续的物体：
dV
rdV
ri
c
)(
可以写出三个分量式
dV
xdV
xi
c
)(
dV
ydV
yi
c
)(
dV
zdV
zi
c
)(
三．对称法
对于一个质量分布均匀的物体，其质心位于其几何中心。因此，轴对
称图形的质心位于其对称轴上（几何中心位于对称轴上）。
四．组合法
对于由好几部分质量已知且质心位置已知的质点系组成的系统：
质量：),质点系(,),3(),2(),1(
321
immmm
i
质点系质点系质点系
位置:
),(,),3(),2(),1(
321
irrrr
i
质点系质点系质点系质点系
整个系统的质心位置仍由下式决定：
i
ii
cm
rm
r
例如：一个质点m（位置为
1
r
）和一个刚体M（其质心位置为
2
r
）组
成的系统的质心的位置为：
Mm
rMrm
r
c
21
五．负质量法
此方法用于求解：规则图形挖去一部分的图形求解质
心的问题。
如：下图为一半径为R的均匀圆盘，挖去
一个半径为
2
R
的圆形部分。试求其
质心所在的位置。
解答：如图建立坐标。有对称性，质心必定位
于x轴上。
假设该图形为一个半径为R，面密度为
的圆盘和一个半径为
2
R
，
面密度为（
）的圆盘的叠加。
则由方法四，不难得出：
xR
R
R
x
RR
R
MM
rMrM
r
c
ˆ
6
1
])
2
()[()(
ˆ
2
])
2
()[(0)(
22
22
21
2211
此即其质心的位置。
*六．巴普斯定理
这个定理在微积分的课上曾经有所涉及。
定理内容：
一个平面图形沿垂直于图形的平面运动形成一个立体，那么这个立
体图形的体积就等于质心所经路程乘以区域面积。
当该平面图形的面积趋于零时，该平面图形就变成了平面上的一条曲
线，从而我们得到这个定理的推论：
如果令某一长为L的曲线段沿着垂直于它所在平面的方向移动一
段距离x，那么L,r与线段扫过的面积S存在关系：S=Lx。
应用举例：
.1eg试求一个半径为R的均匀半圆形的质心位置。
解答：有对称性，设该半圆形的质心横坐标为x。将该半圆
形绕着y轴旋转，得到一个球
其体积为：
3
3
4
RV
则根据巴普斯定理：
3
2
3
4
)2(
2
1
)2(
R
xRxSV
3
4R
x
.2eg试求一段半径为r的均匀半圆弧的质心位置。
解答：有对称性，设该半圆形的质心横坐标为x。将该半
圆形绕着y轴旋转，得到一个球壳
其表面积为：
24rS
则根据巴普斯定理：
24
)2()2(
r
xrxlS
R
x
2
.3eg试求一段半径为r的均匀弓形的质心位置。（就是在上一题的基础
上多了一条直径）
解答：根据上一题的结论，将该弓形看做半圆弧和直径两部分的组合。
半圆弧部分：质量：
)(
1
Rm
坐标：
R
x
2
1
直径部分：质量：
Rm2
2
坐标：
0
2
x
根据定理四，应有：
221121
)(xmxmxmm
c
R
mm
xmxm
x
c
2
2
)(
21
2211
求解质心位置的方法很多。通常而言采用物理方法能不失去其物理本
质而且计算会显得简单。但是，如果物理方法不奏效，还是果断画出
虫子（积分符号），以强算暴力地解决有关质心位置的问题。（方法2）
2012.3.7