椭圆的焦点坐标公式

椭圆的焦点坐标公式

-在线英汉翻译

椭圆的焦点弦长公式

222

2

21cos

2

ca

ab

FF



及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有

命题：

若椭圆的焦点弦

21

FF所在直线的倾斜角为，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、短

半轴长和焦半距，则有

222

2

21cos

2

ca

ab

FF



。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB8，焦距

21

FF24，过椭圆的焦点

1

F作一直线交椭

圆于P、Q两点，设XPF

1





)0(，当取什么值时，PQ等于椭圆的短轴

长？

分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且4a，22c，从而22b，故由焦

点弦长公式

222

2

21cos

2

ca

ab

FF



及题设可得：24

cos816

)22(42

2

2









，解得

cos22，即

arc22cos或arc

22cos。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，直

线l通过点F，且倾斜角为

3



，又直线l被椭圆E截得的线段的长度为

5

16

，求椭圆E的方程。

分析：由题意可设椭圆E的方程为1

)1()3(

2

2

2

2









b

y

a

cx

，又椭圆E相应于F的准线为Y

轴，故有3

2

c

c

a

（1），又由焦点弦长公式有

3

cos

2

222

2



ca

ab





5

16

（2）又

222cba（3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42a，32b，1c，

从而所求椭圆E的方程为1

3

)1(

4

)4(22







yx

。

例3、已知椭圆C：1

2

2

2

2



b

y

a

x

（0ba），直线

1

l：1

b

y

a

x

被椭圆C截得的弦

长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线

2

l被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的

5

2

，求椭

圆C的方程。

分析：由题意可知直线

1

l过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有822ba，（1）又

由焦点弦长公式得

222

2

cos

2

ca

ab



=

5

4a

，（2）因tan=3，得

3



，（3）

又

222cba（4）。解由（1）、（2）、（3）、（4）联列的方程组得：62a，22b，

从而所求椭圆E的方程为1

26

22



yx

。