求函数的定义域

求函数的定义域

-溪山行旅

2023年2月16日发(作者：农业人才)

定义域的求法

一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：

（1）分母不为零

（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1

（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。

(6)0x

中x0

例1求下列函数的定义域：

①

2

1

)(





x

xf；②23)(xxf；③

x

xxf





2

1

1)(

解：①∵x-2=0，即x=2时，分式

2

1

x

无意义，

而2x时，分式

2

1

x

有意义，∴这个函数的定义域是2|xx.

②∵3x+2<0，即x<-

3

2

时，根式23x无意义，

而023x，即

3

2

x时，根式23x才有意义，

∴这个函数的定义域是{x|

3

2

x}.

③∵当0201xx且，即1x且2x时，根式1x和分式

x2

1

同时有

意义，

∴这个函数的定义域是{x|1x且2x}

另解：要使函数有意义，必须：











02

01

x

x













2

1

x

x

例2求下列函数的定义域：

①

14)(2xxf

②

21

43

)(

2







x

xx

xf

③

)(xf

x

1

1

1

1

1





④

xx

x

xf







0)1(

)(

⑤

373

1

32





x

xy

解：①要使函数有意义，必须：142x即：33x

∴函数14)(2xxf的定义域为：[

3,3

]

②要使函数有意义，必须：























13

14

021

0432

xx

xx

x

xx

且

或

4133xxx或或

∴定义域为：{x|4133xxx或或}

③要使函数有意义，必须：

0

1

1

1

1

0

1

1

0





























x

x

x



2

1

1

0

















x

x

x

∴函数的定义域为：}

2

1

,1,0|{xRxx且

④要使函数有意义，必须：











0

01

xx

x













0

1

x

x

∴定义域为：011|xxx或

⑤要使函数有意义，必须：











073

032

x

x

















3

7

x

Rx

即x<

3

7

或x>

3

7

∴定义域为：

}

3

7

|{xx

例3若函数

a

axaxy

1

2的定义域是R，求实数a的取值范围

解：∵定义域是R,∴恒成立，0

1

2

a

axax

∴

















20

0

1

4

0

2a

a

aa

a

等价于

例4若函数)(xfy的定义域为[1，1]，求函数)

4

1

(xfy)

4

1

(xf的定义域

解：要使函数有意义，必须：

4

3

4

3

4

5

4

3

4

3

4

5

1

4

1

1

1

4

1

1

































x

x

x

x

x

∴函数)

4

1

(xfy)

4

1

(xf的定义域为：















4

3

4

3

|xx

例5已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。

分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要

求2x－1在[－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就

是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中

的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围

就是复合函数的定义域。

（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）

解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，

∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，

∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。

例6已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。

答案：－1≤x2≤1x2≤1－1≤x≤1

练习：设)(xf的定义域是[3，2]，求函数)2(xf的定义域

解：要使函数有意义，必须：223x得：221x

∵x≥0∴220x2460x

∴函数)2(xf的定域义为：2460|xx

例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

因2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1，x∈[0,1]求得的值域[－1，1]

是f(x)的定义域。

已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。2,

2

5



）

（提示：定义域是自变量x的取值范围）

练习：

1.已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域

2.若yfx的定义域是0,2，则函数121fxfx的定义域是（）

Ａ．1,1

Ｂ















2

1

,

2

1

Ｃ．













1,

2

1

Ｄ．

1

0,

2







3.已知函数

1

1

x

fx

x







的定义域为Ａ，函数yffx





的定义域为Ｂ，则

（）

Ａ．ABBＢ．BAＣ．ABBＤ．AB

反馈训练

例1、（函数的概念）下列一些式子能否表示函数？

（1）2322xxy（2）xx

x

y2

1

变式：下列式子中不能表示函数）（xfy的是（）

A12yxB122xyC62yxDyx

例2、（同一函数问题）下列各题中两个函数是否表示同一个函数

（1）2,xxgxxf（2）2,xxgxxf

（3）3

3,xxgxxf

变式：下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、f(x)=|x|,g(t)=2tB、f(x)=2x,g(x)=(x)2

C、f(x)=

1

12





x

x

,g(x)=x+1D、f(x)=11xx,g(x)=

12x

例3、（xf的意义）已知,1,3

4

1

,222xxxfgxxgaxxf若

求a的值

变式1、若f(x)=ax2－2,a为一个正的常数，且f［f(2)］=－2，求a的值

变式：已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。

练习1．已知函数()fx的定义域为[1,2)，则(1)fx的定义域为（）.

A．[1,2)B．[0,2)C．[0,3)D．[2,1)

2.（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求2(1)fx的定义域；

（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。

3、函数f(x+1)的定义域为[-1，3]，求函数y=f(x)的定义域

4、已知函数

12

82

)(

2





kxkx

kx

xf的定义域为R，求k的取值范围.

5、y=122kxkx的定义域为R,求k的取值范围