高等数学习题

高等数学习题

建筑设备工程-泰国经济

2023年2月16日发(作者：心理学考研学校)

》》》》》》——2022整理考试辅导资料——《《《《《《

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第一章自测题

一、填空题〔每题3分，共18分〕

1.0

3

lim

sintan

ln12x

xx

x







.

2.

2

1

31

lim

2x

xx

xx







.

3.

2

1

2

lim3

1x

xaxb

x







，其中为ba,常数，那么

a

，b.

4.假设

2sin2e1

,0

,0

axx

x

fx

x

ax



















在,上连续，那么

a

.

5.曲线

2

1

()

43

x

fx

xx







的水平渐近线是，铅直渐近线是.

6.曲线

1

21exyx的斜渐近线方程为.

二、单项选择题〔每题3分，共18分〕

1."对任意给定的1,0，总存在整数N，当Nn时，恒有

2ax

n

"是数列

n

x收敛于

a

的.

A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件

2.设

2,0

2,0

xx

gx

xx













，2,0

,0

xx

fx

xx













那么gfx





.

A.

22,0

2,0

xx

xx











B.

22,0

2,0

xx

xx











C.

22,0

2,0

xx

xx











D.

22,0

2,0

xx

xx











3.以下各式中正确的选项是.

A．

0

1

lim1e

x

xx











B.

0

1

lim1e

x

xx









C.

1

lim1e

x

xx









D.-1

1

lim1e

x

xx













4.设0x时，tane1x与nx是等价无穷小，那么正整数

n

.

A.1B.2C.3D.4

5.曲线

2

2

1e

1e

x

x

y











.

A.没有渐近线B.仅有水平渐近线

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C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线

6．以下函数在给定区间上无界的是.

A.

1

sin,(0,1]xx

x

B.

1

sin,(0,)xx

x



C.

11

sin,(0,1]x

xx

D.

1

sin,(0,)xx

x



三、求以下极限〔每题5分，共35分〕

1.

2

2

2

lim

413x

xx

x





2．1

2

0

limex

x

x

x





3.1

lim123nn

n

n



4．

2

2

1

sin

lim

21x

x

x

x

5.设函数1,0aaaxfx，求

2

1

limln12

n

fffn

n





.

6．

1

4

0

2esin

lim

1e

x

x

x

x

x

















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7．

0

1cos

lim

1cosx

x

x





四、确定以下极限中含有的参数〔每题5分，共10分〕

1.

2

2

1

2

lim2

2x

axxb

xx







2．

2lim21

x

xaxbx





五、讨论函数

,0

()(0,0,1,1)

0,0

xxab

x

fxabab

x

x



















在0x处的连续性，假设不连续，指出该间断

点的类型.〔此题6分〕

六、设

sinsinsin

()lim

sin

x

tx

tx

t

fx

x













，求()fx的间断点并判定类型.〔此题7分〕

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七、设()fx在[0,1]上连续，且(0)(1)ff.证明：一定存在一点

1

0,

2











，使得

1

()

2

ff









.〔此题6

分〕

第二章自测题

一、填空题〔每题3分，共18分〕

1.设()fx在

0

x可导，且

00

()0,()1fxfx



，那么

0

1

lim

h

hfx

h









.

2.设2

1

cosfx

x









，那么()fx



.3.

2

dd

1

x

x

x





.

4.设sin(e)xyf，其中()fx可导，那么dy.

5.设

arccosyx

，那么

1

2

y











.

6.曲线1sinxyxy在点

1

,









的切线方程为.

二、单项选择题〔每题3分，共15分〕

1.以下函数中，在0x处可导的是.

A.||yxB.|sin|yxD.|cos|yx

2.设()yfx在

0

x处可导，且

0

()2fx



，那么00

0

(2)()

lim

x

fxxfxx

x



.

A.6B.6C.

1

6

D.

1

6



3.设函数()fx在区间(,)内有定义，假设当(,)x时恒有2|()|fxx，那么0x是()fx的.

A.间断点B.连续而不可导的点

C.可导的点，且(0)0f



D.可导的点，且(0)0f





4.设

2

sin,0

()

,0

xx

fx

xx













，那么在0x处()fx的导数.

A.0B.1C.2D.不存在

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5.设函数()fu可导，2()yfx当自变量

x

在1x处取得增量0.1x时，相应的函数增量y的线性主部为

0.1，那么(1)f



.

A.1B.0.1C.1D.0.5

三、解答题〔共67分〕

1.求以下函数的导数〔每题4分，共16分〕

(1)2lne1exxy

(2)1

11yx

x









(3)aaxaxayxaa

(4)cos(sin)xyx

2.求以下函数的微分〔每题4分，共12分〕

(1)2lnsinyxxx

(2)

2

1

cotexy

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(3)2

1

1

x

yx

x







3.求以下函数的二阶导数〔每题5分，共10分〕

〔1〕2coslnyxx

〔2〕

1

1

x

y

x







4.设

e,1

()

,1

xx

fx

axbx











在1x可导，试求

a

与b.〔此题6分〕

5.设

sin,0

()

ln(1),0

xx

fx

xx













，求'()fx.〔此题6分〕

6.设函数()yyx由方程

2

2ln1

x

xy

y

所确定，求dy.〔此题6分〕

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7.设()yyx由参数方程

lntancos

2

sin

t

xat

yat





















，求

2

2

dd

,

dd

yy

xx

.〔此题6分〕

8.求曲线

3

2

1

31

22

t

x

t

y

tt





















在1t处的切线方程和法线方程.〔此题5分〕

第三章自测题

一、填空题〔每题3分，共15分〕

1.假设0,0ab均为常数，那么

3

0

lim

2

xx

x

x

ab











.

2.

2

0

11

lim

tanxxxx









.

3.

3

0

arctan

lim

ln(12)x

xx

x







.

4.曲线2exy的凹区间，凸区间为.

5.假设

()exfxx，那么()()nfx在点

x

处取得极小值.

二、单项选择题〔每题3分，共12分〕

1.设,ab为方程()0fx的两根，()fx在[,]ab上连续，(,)ab内可导，那么()fx



0在(,)ab内.

A.只有一个实根B.至少有一个实根

C.没有实根D.至少有两个实根

2.设()fx在

0

x处连续，在

0

x的某去心邻域内可导，且

0

xx时，

0

()()0xxfx



，那么

0

()fx是.

A.极小值B.极大值

C.

0

x为()fx的驻点D.

0

x不是()fx的极值点

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3.设()fx具有二阶连续导数，且(0)0f



，

0

()

lim1

||x

fx

x



，那么.

A.(0)f是()fx的极大值B.(0)f是()fx的极小值

C．(0,(0))f是曲线的拐点D．(0)f不是()fx的极值，(0,(0))f不是曲线的拐点

4.设()fx连续，且(0)0f



，那么0，使.

A.()fx在(0,)内单调增加.B.()fx在(,0)内单调减少.

C.(0,)x，有()(0)fxfD.(,0)x，有()(0)fxf.

三、解答题(共73分)

1.函数()fx在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f，

证明在(0,1)内至少存在一点使得

()

()

tan

f

f









.〔此题6分〕

2.证明以下不等式〔每题9分，共18分〕

〔1〕当0ab时，ln

babba

baa



.

〔2〕当0

2

x



时，

2

sinxxx



.

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3.求以下函数的极限〔每题8分，共24分〕

〔1〕

0

ee2

lim

sin

xx

x

x

xx









〔2〕2

1

sin

0

lim(cos)x

x

x



〔3〕

1

0

(1)e

lim

x

x

x

x



4.求以下函数的极值〔每题6分，共12分〕

〔1〕

12

33()(1)fxxx

〔2〕

2,0

()

1,0

xxx

fx

xx











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5.求

2

ln

x

y

x

的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.〔此题6分〕

6.证明方程

1

ln0

e

xx只有一个实根.〔此题7分〕

第一章自测题

一、填空题〔每题3分，共18分〕

1.2.3.，4.

5.水平渐近线是，铅直渐近线是6.

二、单项选择题〔每题3分，共18分〕

1.C2.D3.D4.A5.D6．C

三、求以下极限〔每题5分，共35分〕

解：1..

2．

.

3.，

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又.

4．.

5.

.

6．，

，

所以，原式.

7．.

四、确定以下极限中含有的参数〔每题5分，共10分〕

解：1.据题意设，那么，令得

，令得，故．

2．左边，右边

故，那么．

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五、解：，故在

处不连续，所以为得第一类〔可去〕间断点．

六、解：，而

，故，都是

的间断点，，故为的第一类〔可去〕间断点，

均为的第二类间断点．

七、证明：设，显然在上连续，

而，，

，

故由零点定理知：一定存在一点，使，即．

第二章自测题

一、填空题〔每题3分，共18分〕

1.2.3.4.

5.6.或

二、单项选择题〔每题3分，共15分〕

1.D2.A3.C4.D5.D

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三、解答题〔共67分〕

解：1.(1).

(2).

(3)

.

(4)两边取对数得，两边求导数得

，.

2.求以下函数的微分〔每题4分，共12分〕

(1).

(2).

(3).

3.求以下函数的二阶导数〔每题5分，共10分〕

〔1〕，

.

〔2〕，.

4.首先在处连续，故，故，

其次，，

，

由于在处可导，故，故，.

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5.，，

故，由于在，时均可导，故.

6.方程可变形为，两边求微分得

，故.

7.，

.

8.，故.当时，.

故曲线在处的切线方程为，即，

法线方程为，即.

第三章自测题

一、填空题〔每题3分，共15分〕

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1．2．3．4.，5.

二、单项选择题〔每题3分，共12分〕

1．B2．A

3．B，提示：由题意得，，当时，；即当时，，当时，

，从而在取得极小值

4.C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，，即

三、解答题(共73分)

证明：1.令，那么在上连续，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在

一点，使得，

故，即．

2.〔1〕令，那么在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．由拉格朗日中值定理得，至少存在

一点，使得即，又，得到，从而

．

〔2〕令，那么，从而当时单调递增，即

，故；令，那么

，即当时单调递减，即，故

；从而当时，．

解：3.〔1〕.

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〔2〕.

〔3〕

.

4.⑴函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，

；当时，；当时，；当时，；故为极大值点，

极大值为；为极小值点，极小值为.

⑵，令得驻点，为不可导点.

当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；

为极小值点，极小值为.

5.定义域为；，，令得驻点，令得；列表得：

--+++

-+++-

单减凸单减凹极小值点单增凹

拐点

单增凸

6．证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；

故在上当时取得极小值；当时，，所以方程只有一

个实根．

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