求定义域
-6的组成
2023年2月16日发(作者：古代诗人的别称)WORD格式
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高中函数定义域和值域的求法总结
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式
或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
2
x2x15
例1求函数y
的定义域。
|x3|8
解：要使函数有意义，则必须满足
2
x2x150
①
|x3|80
②
由①解得x3或x5。③
由②解得x5或x11④
③和④求交集得x3且x11或x>5。故所求函数的定
义域为{x|x3且x11}{x|x5}。
例2求函数
1
ysinx的定义域。
2
16x
解：要使函数有意义，则必须满足
sinx0
①
2
16x0
②
由①解得2kx2k，kZ③
由②解得4x4④
由③和④求公共部分，得
4x或0x故函数的定义域为
(4，](0，]
评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函
数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。
（2）其解法是：已知f(x)的定义域是［a，b］求f[g(x)]的定义域是解ag(x)b，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4已知f(2x1)的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为1x2，22x4，32x15。
即函数f(x)的定义域是{x|3x5}。
三、逆向型
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即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求
参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
2
例5已知函数ymx6mxm8
的定义域为R求实数m的取值范围。
2
分析：函数的定义域为R，表明mx6mx8m0
，使一切x∈R都成立，由
2
x项
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的系数是m，所以应分m=0或m0进行讨论。
解：当m=0时，函数的定义域为R；
2
当m0时，mx6mxm80
是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件
是
m0
(2
6m)
4m(m8)0
0m1综上可知0
m1。
评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。
例6已知函数f(x)
kx
kx7
2的定义域是R，求实数k的取值范围。
4kx3
2
解：要使函数有意义，则必须kx4kx3≠0恒成立，因为f(x)的定义域为R，即
2
kx4kx30
无实数
2
①当k≠0时，16k43k0
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
2
于是可得矩形面积。
yx
1
2
(a2x)
1
2
ax2
x
x2
1
2
ax。
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
x
1
2
0
(a2x)0
a
0x。
2
x
a
0
2x
0
1a2
故所求函数的解析式为yxax
）。，定义域为（0，
22
例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，
求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。
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解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
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因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
L
2
）。
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。
例9已知f(x)的定义域为［0，1］，求函数F(x)f(xa)f(xa)的定义域。
解：因为f(x)的定义域为［0，1］，即0x1。故函数F(x)的定义域为下列不等式组
的解集：
0
0
x
x
a
a
1
1
，即
ax1
a
ax1a
即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知
1
（1）当a0
2
时，F（x）的定义域为{x|ax1a}；
（2）当
1
0a时，F（x）的定义域为{x|ax1a}；
2
（3）当
1
a或
2
1
a时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。
2
六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域
隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先
求定义域。
例10求函数ylog(x22x3)
2的单调区间。
解：由x22x30，即x22x30，解得1x3。即函数y的定义域为
（－1，3）。
函数ylog(x22x3)
2
2是由函数ylogttx2x3
2，复合而成的。
t2
x
2x3(x1)24，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间
(，1]上是增函数；在区间[1，)上是减函数，而ylog2t在其定义域上单调增；
2
(1，3)(，1](1，1]，(1，3)[1，)[1，3)，所以函数ylog(x2x3)
2在区
间(1，1]上是增函数，在区间[1，3)上是减函数。
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函数值域求法十一种
1.直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
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1
y
例1.求函数
x
解：∵x0
的值域。
∴
1
x
0
显然函数的值域是：(
,0)(0,)
例2.求函数y
3
x的值域。
解：∵x0
x0,3x3
故函数的值域是：[
,3]
2.配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2
例3.求函数y
x2x5,x[1,2]
2的
值
域
。
解：将函数配方得：y
(x1)4
∵x
[1,2]
由二次函数的性质可知：当x=1时，y
min
4，当x1时，y
8
max
故函数的值域是：[4，8]
3.判别式法
2
1xx
y
例4.求函数
2的值域。1x
解：原函数化为关于x的一元二次方程
2
(y1)x(y1)x0
（1）当y1时，xR
2
(1)4(y1)(y1)0
13
y
解得：2
2
13
1,
（2）当y=1时，x0，而2
2
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13
,
故函数的值域为2
2
例5.求函数y
xx(2
x)的值域。
22解：两边平方整理得：2x
2(y1)xy0
∵xR
2∴4(y1)8y0
（1）
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解得：1
2y12
但此时的函数的定义域由x(2
x)
0，得0x2
22
由0，仅保证关于x的方程：2x
2(y1)xy
0
在实数集R有实
根，
而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由0
13
,
求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为2
2
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵0x2
。
yxx(2x)0
ymin
2代入方程（1）
0,y1
解得：
x
1
22
2
4
2
2
[0,2]
4
2222
x
1时，即当
2
原函数的值域为：[0,1
2]
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集
时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4.反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函
数的值域。
3x4例6.求函
数5x6
值域。
46y
x
解：由原函数式可得：5y3
46y
y
则其反函数为：5x3
3
x
，其定义域为：5
3
,
故所求函数的值域为：5
5.函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主
来确定函数的值域。
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x
e1
y
例7.求函数e
1
x
的值域。
y1x
e
解：由原函数式可得：y1
x∵e0
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∴
y
y
1
1
0
解得：1
y1
故所求函数的值域为(1,1)
cosx
y
例8.求函数snix
3
的值域。
解：由原函数式可得：ysinx
cosx
3y，可化为：
2
y
1sinx(x)3y
3y
sinx(x)
2
即y1
∵xR
∴sinx(x
)[1,1]
即
1
3y
2
y
1
1
22
y
解得：4
4
22
,
故函数的值域为4
4
4.函数单调性法
x5
例9.求函数y
2logx1(2x
10)
3
x5解：令y
2,ylogx1
123
则y
1
,y
2在[2，10]上都是增函数
所以y
y1
y
2在[2，10]上是增函数
1
3
y2log321
mni
当x=2时，8
5
当x=10时，y
2log933
max3
的值域。
故所求函数的值域为：
1
8
,33
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例10.求函数y
x1x
1的值域。
2
y
解：原函数可化为：x1x1
令y
1x1,yx
1，显然y
1
,y
2在[1,]上为无上界的增函数
2
所以y
y1，y在[1,]上也为无上界的增函数
2
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所以当x=1时，y1
y有最小值2，原函数有最大值
y
2
2
2
2
显然y0，故原函数的值域为(0,
2]
5.换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11.求函数y
xx
1的值域。
解：令x1t，(t
0)
2则xt1
132
2
ytt1(t)
∵4
2
又t0，由二次函数的性质可知
当t0时，y
1
mni
当t0时，y
故函数的值域为[1,
)
例12.求函
数
2
y2(x
1)的值域。
x1
2
解：因1
(x1)0
2
即(x
1)1
故可令x
1cos,[0,]
2
∴y
cos11cossincos1
2sin()
4
1
5
0,0
∵4
4
2
2
sin()1
4
02sin()112
4
故所求函数的值域为[0,1
2]
3
xx
y
例13.求函数x2x
的值域。
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1
42
y
解：原函数可变形为：
1
2
1
2x
x
2
1
x
21x2
可令xtg，则有
1
2x
x
2
1x
2
22,cos
sin
2
1x
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y
1
2
sin2cos2
1
4
sin4
k
当28
1
ymax时，4
k
当28
1
ymin时，4
而此时tan有意义。
11
,
故所求函数的值域为4
4
x,
例14.求函数y
(sinx1)(cosx
1)，2
12
解：y
(sinx1)(cosx1)
sinxcosxsinxcosx1
的值域。
sni
令sinxcosxt，则
xcosx
1
2
(t21)
y
1
2
(t
1
2(t1)2
1)t1
2
由t
sinxcosx2sin(x/4)
x,
12
且2
可得：
2
2
t2
∴当t2时，
ymax
3
2
2
2
t
，当2
32
y
时，42
3
4
2
2
,
3
2
2
故所求函数的值域为。
例15.求函
数
2
y5
x的值域。
x4
2，可得|x|5解：由5
x0
故可令x
5cos,[0,]
y5cos45sin10sin()
4
4
∵0
5
444
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当/4时，y
410
max
当时，y
45
mni
故所求函数的值域为：[4
5,410]
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6.数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直
线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，
赏心悦目。
例16.求函
数
2(x8)
2
y(x2)的值域。
解：原函数可化简得：y
|x2||x8|
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(8)间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，y
|x2||x8||AB|10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y
|x2||x8||AB|10
故所求函数的值域为：[10,
]
22
例17.求函数y
x6x13x4x
5
解：原函数可变形为：
的值域。
y(x3)2(02)2(x2)2(01)
2
上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(2,1)的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，
y22
|AB|(32)(21)43
min，
故所求函数的值域为[
43,]
22
例18.求函数y
x6x13x4x
5
的值域。
解：将函数变形为：y(x3)2(02)2(x2)2(01)
2
上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(2,1)到点P(x,0)
的距离之差。
即：y
|AP||BP|
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点
P，则构成ABP'，根据三角形两边之差小于第三边，有
'
||AP'||BP'|||AB|(32
2)
(21)226
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即：26y26
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有||AP||BP|||AB|26
综上所述，可知函数的值域为：(
26,26]
注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B
两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。
如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），(2,1)，在x轴的同侧；
例18的A，B两点坐标分别为（3，2），(2,1)，在x轴的同侧。
9.不等式法
3(a,b,c
R)，求函数的最值，利用基本不等式a
b2ab,abc
3abc
其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，
不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
y(snix
1
sni
x
)2(cosx
1
cos
x
)24
例19.求函数
的值域。
解：原函数变形为：
2
y(sinx
2
cos
x)
1
2
sin
x
1
2
cos
x
12
ces
x2
sec
x
32
tan
x2
cot
x
3
3
2
tan
2
xcotx2
5
当且仅当tanxcotx
xk
即当4
时(kz)，等号成立
故原函数的值域为：[5,
)
例20.求函数y2sinxsin2x的值域。
解：y
4sinxsinxcosx
42
sin
xcosx
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y164
sin
x2
cos
x
222
8sinxsinx(22sinx)
22
8[(sinxsinx2
2
2sin
x)/3
3]
64
27
2
2
sinx
22，即当3
当且仅当sinx22sinx
时，等号成立。
64
2
y
由27
8383
y
可得：9
9
8383
,
故原函数的值域为：9
9
7.一一映射法
y
ax
cx
b
d
(c0)
原理：因为
在定义域上x与y是一一对应的。故两个变
量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
13x
y
例21.求函数2x
1
的值域。
11
x|x或x
解：∵定义域为2
2
13x
y
由2x1
1y
x
得2y3
1y1
x
故2y2
3
1y1
x
或2
2y3
33
y或y
解得2
2
故函数的值域为
,
3
2
3
2
,
8.多种方法综合运用
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x2
y
例22.求函数x3
的值域。
解：令t
x2(t
0)，则x3t1
2
y
t
1
2
t1
t
1
t
1
2
（1）当t0时，，当且仅当t=1，即x1时取等号，
1
0y
所以2
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（2）当t=0时，y=0。
1
0,
综上所述，函数的值域为：2
注：先换元，后用不等式法
234
1x2xxx
y
例23.求函数
24的值域。12xx
243
12xxxx
y
2424解：
12xx12xx
2
2
1xx
22
1x1x
xtan
令2
，则
2
1x
1x
2
cos2
1
x
x2
1
2
sin
y2
cos
1
2
sinsin21
2
sin1
2
117
sin
416
1
sni
∴当4
17
ymax时，16
当sin1时，y
2
mni
tan
此时2
17
2,
都存在，故函数的值域为16
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特
征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本
不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
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