反三角函数计算
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2023年2月16日发(作者：芜湖电大)6.4反三角函数（反正弦函数）（1）教案
教学目的：
1．理解函数y=sinx（x∈R）没有反函数；理解函数y=sinx，x∈[-
2
，
2
]有反函数；理解反正弦函数
y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-
2
，
2
].
2．知道反正弦函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像.
3．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1].
4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角.
5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题.
教学重点：
教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.
教学难点：反正弦函数1,1,arcsinxxy的产生和从本质上处理正弦函数Rxxysin的反函数
问题.
教学过程：
（一）、引入
一、（设置情境）
1．复习
我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域
D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们
也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的。
2．思考
那么正弦函数是否存在反函数呢？
[说明]因为对于任一正弦值
y
都有无数个角值x与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的。
故而不存在反函数。
3．讨论
正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得xysin在该区间上存在反函数.因变量可以确
定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论
应该选取怎样的区间，使得xysin存在反函数呢？
这个区间的选择依据两个原则：
（1）xysin在所取区间上存在反函数；（2）能取到xysin的一切函数值1,1
可以选取闭区间
2
,
2
，使得xysin在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正
弦函数。
二、（双基回顾）
1.根据下列给出的条件，求对应的角x
1)
1
sin0,
22
xx
，则x=______2)
3
sin,
222
xx
，则x=______
2．下列函数图像中哪些图像所表示的函数具有反函数？（）
(A)(B)(C)(D)
（二）、新课
一、（新课教学，注意情境设置）
函数y=sinx，x∈[-
2
，
2
]存在反函数吗？
二、概念或定理或公式教学（推导）
概念辨析
（1）反正弦函数的定义：
函数y=sinx，x∈[-
2
，
2
]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1].
（2）反正弦函数的性质：
①图像
②定义域[-1，1]
③值域[-
2
，
2
]
④奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]
⑤单调性：增函数
[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线
xy
对称，函数y=sinx，x∈[-
2
，
2
]与函数
y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像关于直线
xy
对称.
三、（概念辨析或变式问题，目的是加强概念、公式的理解或应用）
判断下列各式是否成立?简述理由.
（1）arcsin
2
3
=
3
；（2）arcsin
3
=
2
3
；（3）arcsin1=2kл+
2
，k∈Z；（4）arcsin（-
3
）=-arcsin
3
；
（5）sin（arcsin2）=2；（6）arcsin
6
=
2
1
.
解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0
时成立，k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-
2
，
2
]；
（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符.
四、典型例题（3个，基础的或中等难度）
3
2
2
2
2
x
y
0
例1．求下列反正弦函数的值：
（1）arcsin
2
1
；（2）arcsin0；（3）arcsin（-
2
3
）
解：（1）因为sin
6
=
2
1
，且
6
∈[-
2
，
2
]，所以arcsin
2
1
=
6
.
（2）因为sin0=0，且0∈[-
2
，
2
]，所以arcsin0=0.
（3）因为sin（-
3
）=-
2
3
，且-
3
∈[-
2
，
2
]，所以arcsin（-
2
3
）=-
3
.
例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：
（1）sinx=
3
2
，x∈[-
2
，
2
]；（2）sinx=-
5
1
，x∈[-
2
，
2
]；（3）sinx=-
3
3
，x∈[-π，0]
解：（1）因为x∈[-
2
，
2
]，由定义，可知x=arcsin
3
2
；
（2）因为x∈[-
2
，
2
]，由定义，可知x=arcsin（-
5
1
）=-arcsin
5
1
；
（3）在区间[-
2
，0]上，由定义，可知x=arcsin（-
3
3
）=-arcsin
3
3
；
在区间[-π，-
2
]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin
3
3
，满足sinx=-
3
3
因此x=arcsin
3
3
或x=-π+arcsin
3
3
.
例3．化简下列各式：
（1）arcsin（sin
7
）；（2）arcsin（sin
5
4
）；*（3）arcsin（sin20070）
解：（1）因为
7
∈[-
2
，
2
]，设sin
7
=α，所以arcsinα=
7
，即arcsin（sin
7
）=
7
.
（2）因为
5
4
[-
2
，
2
]，而
5
∈[-
2
，
2
]，且sin
5
=sin
5
4
，设sin
5
=sin
5
4
=α，所以arcsin
（sin
5
4
）=arcsin（sin
5
）=arcsinα=
5
.
（3）因为sin20070=sin（5×3600+2070）=sin2070=sin（1800+270）=-sin270
所以arcsin（sin20070）=arcsin（-sin270）=-arcsin(sin270)=-270.
例4．求函数f（x）=2arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.
解：设y=2arcsin2x，则
2
y
=arcsin2x，
因为2x∈[-1，1]，arcsin2x∈[-
2
，
2
]，所以x∈[-
2
1
，
2
1
]，y∈[-л，л]，
根据反正弦函数的定义，得2x=sin
2
y
，x=
2
1
sin
2
y
，将x，y互换，得反函数f-1（x）=
2
1
sin
2
x
，
定义域是[-л，л]，值域是[-
2
1
，
2
1
].
五、课堂练习（2个，基础的或中等难度）
1、求下列反三角函数的值：
（1）
3
sin=
2
arc
_________;（2）
sin1=arc
______;
（1）sinsin1arc;（2）
2
sinsin
10
arc
;
六、拓展探究（2个）
例1．证明等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]
证明：∵x∈[-1，1]，∴-x∈[-1，1]
∴sin[arcsin（-x）]=-x，sin（-arcsinx）=-sin（arcsinx）=-x
又因为arcsin（-x）∈[-
2
，
2
]，-arcsinx∈[-
2
，
2
]，且正弦函数在[-
2
，
2
]上单调递增，所以
arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]
[说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生
知道这个数学事实，并举例说明.
例2．设x∈[
2
，
2
3
]，sinx=
3
1
，用反正弦函数值表示x.
解：因为x∈[
2
，
2
3
]，所以（π-x）∈[-
2
，
2
]，又sin（π-x）=sinx，得sin（π-x）=
3
1
，
于是π-x=arcsin
3
1
，x=π-arcsin
3
1
.
[说明]对于用反正弦函数值表示区间[-
2
，
2
]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要
表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习.
以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.
（三）、小结
（1）反正弦函数的定义；
（2）反正弦函数的性质.
（四）、作业
（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4
（2）思考题：求函数f（x）=2π-arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.
课外作业：（6+2填空，3+1选择，3+1解答，其中+后面的题目可以难些用“*”注明）
一、填空题
1、求下列反三角函数的值：
（1)
2
sin=
2
arc
_______;（2)sin1=arc_____.
(3)
4
sinsin
5
arc
=___________;(4)sinsin10arc=______________.
2、函数)2arcsin(2xxy的单调递减区间是．
3、若
)arcsin()arcsin(axax
有解，则a的取值范围是____________.
4、函数
2arcsin2xy
的值域是__________________.
5*、若)(xf是奇函数，且当
0x
时，)(,0),arccos(sin)(xfxxxf时则当的解析式是
)(xf=．
6*、函数yxxarcsinarcsin221,当x=_________时,函数取得最小值,最小值是_______
当x=__________时,函数取得最大值,最大值是__________.
二、选择题
1、下列函数中,存在反函数的是()
A
、y=sinx,(x[0,]
B
、y=sinx,(x
,
2
)
C
、y=sinx,(x
3
3
2
,)
D
、y=sinx,(x
2
3
3
2
,)
2、若
)arcsin(sin,
2
xx则
的值（）
A
、x
B
、xC
、xD
、)(x
3、函数
)arccos(sin
2
)(xxf
是（）
A
、偶函数
B
、既是奇函数又是偶函数
C
、奇函数
D
、非奇非偶函数
4*、若
,
3
2
,且sinm,则
为（）
A
、
marcsinB
、
marcsinC
、
marcsin-
D
、)arcsin(m
三、解答题
1、求满足arcsin(1-a)+arcsin(1－a2)<0的a的取值范围.
2、求
)
17
8
arcsin
5
3
sin(arcsin的值．
3、求函数
33
arcsin2
x
y的定义域和值域。
4*、函数
)
2
3
,
2
(,sin)(
xxxf，)(1xf求反函数。
四、双基铺垫
1、已知
1
cos
2
x，试根据下列条件求x：
(1)x是区间[,]的角(2)所有的满足条件的x
2、求下列各式的值：(1)
2
3
arccos(2))
2
3
arccos(
6.4反三角函数（1）——反正弦函数课外作业答案
一、填空题
1、（1)
4
;（2)
2
(3)
5
(4)
103
2、
]21,1[
3、)0,1[4、[0，π]
5*、
)arccos(sin)(xxf
6*、yxxarcsin,arcsin12
2
2-
2
arcsin,x1即—－时x=sin(1)=sin1,y有最小值-2,当arcsinx
2
,即xsin
2
1时,
y有最大值
2
4
1
二、选择题
1、D2、D3、C
4*、C
此题(,)
3
2
,并不是反正弦函数定义域的取值范围,故(A)错误.
sinarcsin
mmm0
2
0，
2
3
2
arcsin(,)m故(B)错误.
arcsinm
3
2
满足条件。而
0
2
arcsinm
,故(D)错误.应选(C)
三、解答题
1、解:arcsin()arcsin()1102aa
arcsin()arcsin()
arcsin()arcsin()
11
11
111
111
11
12
2
2
2
2
aa
aa
a
a
aa
a
2、原式＝
85
77
；3、定义域]3,3[；值域
]
3
4
,
3
2
[
4*、
)0,1(.arcsin
1,0,arccos
2
)(1
xx
xx
xf
四、双基铺垫
1、已知
1
cos
2
x，试根据下列条件求x：
(1)x是区间[,]的角(2)所有的满足条件的x
2、求下列各式的值：(1)
2
3
arccos(2))
2
3
arccos(