log的导数
-材料四要素
2023年2月16日发(作者：草船借箭)1/11
导数的定义：f(x)=lim△y/△x
△x—0(下面就不再标明△x—0了)用定义求导数公式
(1)f(x)=xAn
证法一：(n为自然数)
f'(x)
=lim[(x+△x)An-xAn]/△x
=lim
(x+△x-x)[(x+△x)A(n-1)+x*(x+△x)A(n-2)+...+xA(n-2)*(x+△x)+xA(n-1)]/
△x
=lim[(x+△x)A(n-1)+x*(x+△x)A(n-2)+...+xA(n-2)*(x+△x)+xA(n-1)]
=xA(n-1)+x*xA(n-2)+xA2*xA(n-3)+...xA(n-2)*x+xA(n-1)
=nxA(n-1)
证法二：(n为任意实数)
f(x)=xAn
lnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'
2/11
f'(x)/f(x)=n/x
f'(x)=n/x*f(x)
f(x)=n/x*x5
f(x)=nx^(n-1)
(2)f(x)=sinx
f'(x)
=lim(sin(x+△x)-sinx)/△x
=lim(sinxcos△x+cosxsin△x-sinx)/△x
=lim(sinx+cosxsin△x-sinx)/△x
=limcosxsin△x/△x
=cosx
3)f(x)=cosx
f'(x)
=lim(cos(x+△x)-cosx)/△x
=lim(cosxcos△x-sinxsin△x-cosx)/△x
3/11
=lim(cosx-sinxsin△x-cos)/△x
=lim-sinxsin△x/△x
=-sinx
(4)f(x)=aAx
f'(x)
=lim(aA(x+△x)-aAx)/△x
=limaAx*(aA△x-1)/△x
(设aA△x-1=m，贝U△x=logaA(m+1))
=limaAx*m/logaA(m+1)
=limaAx*m/[ln(m+1)/lna]
=limaAx*lna*m/ln(m+1)
=limaAx*lna/[(1/m)*ln(m+1)]
=limaAx*lna/ln[(m+1F(1/m)]
=limaAx*lna/lne
=aAx*lna
4/11
若a=e，原函数f(x)=eAx
则f'(x)=eAx*lne=eAx
(5)f(x)=logaAx
f'(x)
=lim(logaA(x+
△x)-logaAx)/△
x
=limlogaA[(x+
△x)/x]/△x
=limlogaA(1+
△x/x)/△x
limln(1+△x/x)/(lna*△x)
=limx*ln(1+△x/x)/(x*Ina*△x)
=lim(x/△x)*ln(1+△x/x)/(x*Ina)
=limln[(1+△x/x)A(x/△x)]/(x*lna)
=limlne/(x*lna)=1/(x*lna)
若a=e，原函数f(x)=logeAx=Inx
则f'(x)=1/(x*lne)=1/x
5/11
(6)f(x)=tanx
f'(x)
=lim(tan(x+△x)-tanx)/△x
=lim(sin(x+△x)/cos(x+△x)-sinx/cosx)/△x
=lim(sin(x+△x)cosx-sinxcos(x+△x)/(△xcosxcos(x+△x))
=lim
(sinxcos△xcosx+sin△xcosxcosx-sinxcosxcos△x+sinxsinxsin
xcos(x+△x))
=limsin△x/(△xcosxcos(x+△x))
=1/(cosx)A2=secx/cosx=(secx)A2=1+(tanx)A2
7)f(x)=cotxf'(x)
=lim(cot(x+△x)-cotx)/△x
=lim(cos(x+△x)/sin(x+△x)-cosx/sinx)/△x
=lim(cos(x+△x)sinx-cosxsin(x+△x))/(△xsinxsin(x+△x))
△x)/(△xcos
6/11
=lim
(cosxcos△xsinx-sinxsinxsin△x-cosxsinxcos△x-cosxsin△xcosx)/(△
xsinxsi
n(x+△x))
=lim-sin△x/(△xsinxsin(x+△x))
=-1/(sinxF2=-cscx/sinx=-(secxF2=-1-(cotxF2
(8)f(x)=secx
f'(x)
=lim(sec(x+△x)-secx)/△x
=lim(1/cos(x+△x)-1/cosx)/△x
=lim(cosx-cos(x+△x)/(△xcosxcos△x)
=lim(cosx-cosxcos△x+sinxsin△x)/(△xcosxcos(x+△x))
=limsinxsin△x/(△xcosxcos(x+△x))
=sinx/(cosx)A2=tanx*secx
(9)f(x)=cscx
f'(x)
7/11
=lim(csc(x+△x)-cscx)/△x
=lim(1/sin(x+△x)-1/sinx)/△x
=lim(sinx-sin(x+△x))/(△xsinxsin(x+△x))
=lim(sinx-sinxcos△x-sin△xcosx)/(△xsinxsin(x+△x))
=lim-sin△xcosx/(△xsinxsin(x+△x))
=-cosx/(sinx)A2=-cotx*cscx
(10)f(x)=xAx
lnf(x)=xlnx
(lnf(x))'=(xlnx)'
8/11
f'(x)/f(x)=lnx+1
f'(x)=(lnx+1)*f(x)
f(x)=(lnx+1)*x^x
(12)h(x)=f(x)g(x)
h'(x)
=lim(f(x+△x)g(x+△x)-f(x)g(x))/△x
=lim[(f(x+△x)-f(x)+f(x))*g(x+△x)+(g(x+△x)-g(x)-
g(x+
=lim
[(f(x+△x)-f(x))*g(x+△x)+(g(x+△x)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+
/△x
=lim(f(x+△x)-f(x))*g(x+△x)/△x+(g(x+△x)-
g(x))*f(x)/
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
△x))*f(x)]/△
x
△x)-f(x)*g(x+△
x)]
△x
(13)h(x)=f(x)/g(x)
h'(x)
9/11
=lim(f(x+Ax)/g(x+Ax)-f(x)g(x))/Ax
=lim(f(x+Ax)g(x)-f(x)g(x+Ax))/(Axg(x)g(x+Ax))
=lim
[(f(x+Ax)-f(x))*g(x)-(g(x+Ax)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Axg(x)g(x+Ax))
=lim
(f(x+Ax)-f(x))*g(x)/(Axg(x)g(x+Ax))-(g(x+Ax)-g(x))*f(x)/(Axg(x)g(x+Ax))
=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))
=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x
14)h(x)=f(g(x))h'(x)=lim[f(g(x+Ax))-f(g(x))]/Ax=lim[f(g(x+Ax)-g(x)+g(x))-
f(g(x))]/Ax
(另g(x)=u，g(x+Ax)-g(x)=Au)
=lim(f(u+△u)-f(u))/△x
=lim(f(u+△u)-f(u))*△u/(△x*△u)
=limf(u)*△u/△x
=limf(u)*(g(x+△x)-g(x))/△x
=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)
=lim[(f(x+Ax)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Ax)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Axg(x)g(x+Ax))
10/
11
总结一下
(xAn)'=nx^(n-1)
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(aAx)'=aAxlna
(eAx)'=eAx
(logaAx)'=1/(xlna)
(lnx)'=1/x
(tanx)'=(secx)A2=1+(tanx)A2(cotx)'=-(cscx)A2=-1-(cotx)A2
(secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx
(xAx)'=(lnx+1)*x^x
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))
[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)