等腰三角形的周长公式
-童年的水墨画
2023年2月16日发(作者：包子英语单词)第十三章轴对称
13.3等腰三角形（练习）
一、单选题（共10小题）
1
．设
M
表示直角三角形，
N
表示等腰三角形，
P
表示等边三角形，
Q
表示等腰直角三角形．下列四个图中，
能正确表示它们之间关系的是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
【答案】
C
【解析】根据各类三角形的概念即可解答
.
【详解】解：根据各类三角形的概念可知，
C
可以表示它们彼此之间的包含关系．
故选：
C
．
【点睛】本题考查各种三角形的定义，要明白等边三角形一定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角
形，又是等腰三角形
.
2
．已知直角三角形中，30角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是
()
A
．2厘米
B
．4厘米
C
．6厘米
D
．8厘米
【答案】
B
【解析】由于在直角三角形中
30°
角所对的直角边长是斜边的一半，根据已知条件即可求出斜边的长．
【详解】∵直角三角形中
30°
角所对的直角边长是
2
厘米，
∴斜边的长是
4
厘米．
故选
B
．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，如果直角三角形的一个锐角为
30°
，那么它所对的直角边长度是斜边
的一半．
3
．（
2019·
重庆市永川区红炉镇红炉初级中学校初二期中）如图，△
ABC
中，
AB
＝
AC
，点
D
在
AC
边上，且
基础篇
BD=BC=AD,
则∠
A
的度数是（）
A
．
18°B
．
24°C
．
30°D
．
36°
【答案】
D
【解析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠
A
＝∠
ABD
＝
x
，表示出∠
BDC
与∠
C
，列出关于
x
的方程，
求出方程的解得到
x
的值，即可确定出∠
A
的度数．
【详解】解：∵
AB
＝
AC
，
∴∠
ABC
＝∠
C
，
∵
BD
＝
BC
＝
AD
，
∴∠
A
＝∠
ABD
，∠
C
＝∠
BDC
，
设∠
A
＝∠
ABD
＝
x
，则∠
BDC
＝
2x
，∠
C
＝
180x
2
，
可得
2x
＝
180x
2
，
解得：
x
＝
36°
，
则∠
A
＝
36°
，
故选：
D
．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关
键．
4
．（
2019·
重庆市永川区红炉镇红炉初级中学校初二期中）一个等腰三角形两边的长分别为
4
和
9
，那么这个
三角形的周长是（）
A
．
13B
．
17C
．
22D
．
17
或
22
【答案】
C
【解析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长
为
4
和
9
，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：①若
4
为腰长，
9
为底边长，由于
4
＋
4
＜
9
，则三角形不存在；
②
9
为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为
9
＋
9
＋
4
＝
22
．
故选：
C
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的
思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，
把不符合题意的舍去．
5
．（
2019·
龙口市第五中学初一期中）如图，三个等边三角形如图放置，若∠
1=70°
，则∠
2+
∠
3=
（）
A
．
110°B
．
105°C
．
100°D
．
95°
【答案】
A
【解析】由图可知△
ABC
的三个外角的分别为
60°+
∠
1
，
60°+
∠
2
，
60°+
∠
3
，利用三角形的外角和是
360°
即可
解决问题．
【详解】解：如图，
△
ABC
的外角和
=60°+
∠
1+
（
60°+
∠
2
）
+
（
60°+
∠
3
）
=360°
即∠
1+
∠
2+
∠
3=180°
，
又∠
1=70°
，
所以∠
2+
∠
3=110°
．
故选：
A
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角和定理，熟练掌握三角形的外角和定理是关键．
6
．（
2019·
乐清育英学校初中分校初一期中）等腰三角形的两条边长分别
9cm
和
12cm
，则这个等腰三角形的周
长是
()
A
．
30cmB
．
33cmC
．
24cm
或
21cmD
．
30cm
或
33cm
【答案】
D
【解析】根据
9cm
和
12cm
可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
【详解】解：当
9cm
为腰时，三边为
9cm
，
9cm
，
12cm
，符合三角形三边关系定理，周长为：
9+9+12=30cm
；
当
12cm
为腰时，三边为
12cm
，
12cm
，
9cm
，符合三角形三边关系定理，周长为：
12+12+9=33cm
．
故选：
D
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据
2
，
5
，分别作为腰，由三边关系
定理，分类讨论．
7
．（
2019·
广东深圳外国语学校初二期末）等腰三角形的一个外角为
110°
，则它的顶角的度数是（）
A
．
40°B
．
70°
C
．
40°
或
70°D
．以上答案均不对
【答案】
C
【解析】根据外角与相邻的内角的和为
180°
求这个内角的度数，再分这个角是顶角与底角两种情况讨论求解．
【详解】解：∵等腰三角形的一个外角是
110°
，
∴与这个外角相邻的内角是
180°
﹣
110°
＝
70°
，
①当
70°
角是顶角时，它的顶角度数是
70°
，
②当
70°
角是底角时，它的顶角度数是
180°
﹣
70°×2
＝
40°
，
综上所述，它的顶角度数是
70°
或
40°
．
故选：
C
．
【点睛】本题考查等腰三角形的两底角相等的性质，要注意分两种情况讨论求解．
8
．（
2018·
江苏泰兴市西城初级中学初二月考）等腰三角形的周长为
13cm
，其中一边长为
3cm
，则该等腰三
角形的底边为（）
A
．
7cmB
．
3cm
C
．
7cm
或
3cmD
．
8cm
【答案】
B
【解析】
当腰是
3cm
时，则另两边是
3cm
，
7cm
．而
3+3
＜
7
，不满足三边关系定理，因而应舍去．
当底边是
3cm
时，另两边长是
5cm
，
5cm
．
则该等腰三角形的底边为
3cm
．
故选
B
．
9
．（
2018·
延安市实验中学初二期末）在△
ABC
中，∠
ACB=90°
，∠
B=30°
，
CD
⊥
AB
于点
D
，若
AC=6
，则
BD=
（）
A
．
6B
．
3C
．
9D
．
12
【答案】
C
【解析】
∵
CD
⊥
AB
，∴∠
CDB=90°
，
∵∠
B=30°
，∴∠
DCB=60°
，
∵∠
ACB=90°
，∴∠
ACD=30°
，
∵
AC=6
，∴
AD=3
，
AB=12
，∴
BD=9.
故选
C.
点睛：在直角三角形中，
30°
所对的直角边是斜边的一半
.
10
．（
2017·
安徽初二期中）已知等腰三角形的一边等于
3
，一边等于
7
，那么它的周长等于（）
A
．
13B
．
17C
．
13
或
17D
．
10
或
17
【答案】
B
【解析】试题解析：当
3
为底时，其它两边都为
7
，
3
、
7
、
7
可以构成三角形，周长为
17
；
当
3
为腰时，其它两边为
3
和
7
，
∵
3+3=6<7
，
所以不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有
17.
故选
B.
【点睛】三角形的任意两边之和大于第三边
.
二、填空题（共5小题）
11
．（
2019·
四川中考真题）如图，正五边形
ABCDE
中，对角线
AC
与
BE
相交于点
F
，则AFE_______
度．
提升篇
【答案】
72
．
【解析】根据五边形的内角和公式求出EAB，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．
【详解】解：∵五边形
ABCDE
是正五边形，
(52)180
108
5
EABABC
，
BABC，
36BACBCA，
同理36ABE＝，
363672AFEABFBAF＝＝＝．
故答案为：
72
【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题
的关键．
12
．（
2019·
兰州市外国语学校初一期末）等腰三角形的周长为
12cm
，其中一边长为
3cm
，则该等腰三角形的
腰长为
___________.
【答案】
4.5cm
【解析】此题要分情况考虑：
3cm
是底或
3cm
是腰．根据周长求得另一边，再进一步根据三角形的三边关系
“
任
意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
”
，判断是否能够组成三角形．
【详解】当
3cm
是底时
,
则腰长是
(12−3)÷2=4.5(cm)
，此时能够组成三角形；
当
3cm
是腰时
,
则底是
12−3×2=6(cm)
，此时
3+3=6
，不能组成三角形，应舍去
.
故答案为：
4.5cm
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题关键在于分情况讨论
13
．（
2019·
重庆南开融侨中学初一期末）如图，在等腰△
ABC
中，
AB=BC
，∠
B=120°
，线段
AB
的垂直平分
线分别交
AB
、
AC
于点
D
、
E
，若
AC=12
，则
DE=___________.
【答案】
2
【解析】先根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠
A=
∠
C=30°
，根据线段垂直平分线性质和等腰三角
形性质求出∠
ABE=30°
，根据含
30
度角的直角三角形性质可得
CE=BE
，继而求出
AE
长，再根据含
30
度角
的直角三角形性质即可求得答案
.
【详解】连接
BE
，
∵在△
ABC
中，
AB=BC
，∠
ABC=120°
，
∴∠
A=
∠
C=30°
，
∵
AB
的垂直平分线
DE
，
∴
AE=BE
，
∴∠
ABE=
∠
A=30°
，
∴∠
EBC=120°-30°=90°
，
∴
CE=2BE
，
∵
AE+BE=AC=12
，
∴
AE=4
，
又∵∠
A=30°
，∠
ADE=90°
，
∴
DE=
1
2
AE=2
，
故答案为：
2.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含
30
度角的直角三角形的性质等知识，熟
练掌握相关性质是解题的关键
.
14
．（
2019·
四川中考真题）如图，在ABC中，ABAC，点D，E都在边BC上，BADCAE，若
9BD，则CE的长为
_______.
【答案】
9.
【解析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解
.
【详解】因为△
ABC
是等腰三角形，所以有
AB=AC,
∠
BAD=
∠
CAE,
∠
ABD=
∠
ACE,
所以△
ABD
△
ACE(ASA),
所以
BD=EC
，
EC=9.
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质
.
15
．（
2018·
长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初一期末）如图，△
ABC
中，
DE
垂直平分
AC
，与
AC
交于
E
，
与
BC
交于
D
，∠
C
＝
15°
，∠
BAD
＝
60°
．若
CD
＝
10
，则
AB
的长度为
_____
．
【答案】
5
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到
DA
＝
DC
＝
10
，根据三角形的外角的性质得到∠
ADB
＝
30°
，根据含
30°
角的直角三角形的性质得到答案．
【详解】解：∵
DE
垂直平分
AC
，
∴
DA
＝
DC
＝
10
，
∴∠
DAC
＝∠
C
＝
15°
，
∴∠
ADB
＝
30°
，
又∠
BAD
＝
60°
，
∴∠
B
＝
90°
，
又∠
ADB
＝
30°
∴
AB
＝
1
2
AD
＝
1
2
×10
＝
5
．
故答案为：
5
．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和含
30°
角的直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点
到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
三、解答题（共2小题）
16
．（
2019·
广西中考真题）如图，已知等腰ABC顶角30A．
（
1
）在
AC
上作一点
D
，使ADBD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色
墨水笔加墨）；
（
2
）求证：BCD是等腰三角形．
【答案】（
1
）如图，点
D
为所作；见解析；（
2
）证明见解析
.
【解析】（
1
）根据题意作
AB
的垂直平分线；
（
2
）根据题意求出BDCC72，即可证明
.
【详解】（
1
）解：如图，点
D
为所作；
（
2
）证明：∵ABAC，
∴1
1803672
2
ABCC
，
∵DADB，
∴36ABDA，
∴363672BDCAABD，
∴BDCC，
∴BCD是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质
.
17
．（
2018·
厦门外国语学校海沧附属学校初二期中）如图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，∠
BAC
＝
120°
，
AD
⊥
AC
交
BC
于点
D
，
AD
＝
3cm
，求
BC
的长．
【答案】
9
【解析】在△
ABC
中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理得出∠
B
＝∠
C
＝
30°
，由
AD
⊥
AC
，∠
C
＝
30°
，得出
CD
＝
2AD
＝
6
，再证明∠
BAD
＝∠
B
＝
30°
，那么
AD
＝
DB
＝
3
，于是
BC
＝
CD+BD
＝
9
．
【详解】解：∵
AB
＝
AC
，
∴∠
B
＝∠
C
．
∵∠
BAC
＝
120°
，∠
BAC+
∠
B+
∠
C
＝
180°
，
∴∠
B
＝∠
C
＝
30°
．
∵
AD
⊥
AC
，
∴∠
DAC
＝
90°
．
∴
DC
＝
2AD
，∠
BAD
＝∠
BAC
﹣∠
DAC
＝
30°
．
∴∠
BAD
＝∠
B
．
∴
BD
＝
AD
＝
3
．
∴
BC
＝
BD+DC
＝
3BD
＝
9
．
故答案为：
9
．
【点睛】本题考查含
30
度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，
30°
角所对的直角边等于斜边的一半．同
时考查了等腰三角形的判定与性质．