什么是阻尼

什么是阻尼

-

2023年2月12日发(作者：)

思考题

3-1如何判断简谐振动？

3-2两个同方向同频率的简谐振动相遇后各点要始终保持不振动，应具备什么条件？

3-3旋转矢量法如何来计算振动方程的初相？

3-4简谐振动的速度和加速度都有负号，是否意味着速度和加速度一定是负值，二者的方

向相同吗？

3-5振动的能量由什么决定？

3-6什么是阻尼振动？阻尼振动与简谐振动有什么不同？受迫振动和阻尼振动一样吗？

3-7什么是共振？

3-8产生机械波要具备什么条件，波在不同介质中传播波长，周期，波速哪些量不变化哪

些量会变化？

3-9波动方程和振动方程有什么区别？

3-10简谐振动和简谐波的能量有什么特点？

3-11什么是波的干涉？两列波相遇后一定会发生干涉现象吗？

3-12什么是驻波？驻波和简谐波有什么区别？

3-13什么是闻阈和痛阈？人耳对声音的反应主要决定是什么？

3-14听觉域的范围是什么？闻阈最敏感的频率是多少？

3-15声强级大的响度级一定高吗？声强级相同的响度级也一定相同吗？

3-16什么是多普勒效应？

3-17超声波和次声波哪种波传的远？哪种波容易阻挡？

参考答案

3-1满足下列方程之一，就可以认为是简谐振动：

①ksF；②02s

dt

ds



；③

)cos(tAs

；

3-2当相位差为的奇数倍时，合振动的振幅最小，等于二者的分振动振幅之差，所以要

具备两个条件，分振动的相位差为的奇数倍，分振动的振幅相等，在相遇的区域满足这两

个条件的合振动振幅为零，即质点始终保持不振动.

3-3位移S轴的正方向与旋转矢量的初始位置的夹角称为初相，沿逆时针方向的夹角取正，

沿顺时针方向的夹角取负.一般在2内，小于取正，大于取负.例如，初相位

2

3

，一

般取

2



.

3-4因为简谐振动的速度和加速度表达式为

),cos(tAs

v=)

2

cos()sin(



tAtA

)cos()cos(22tAtAa

所以速度和加速度不一定是负值随相位值的不同可正可负，二者的方向也不是一定相同,

有时会一样有时会相反,在一、三象限方向一致,二、四象限方向相反，为正时方向和位移轴

的正方向一致，为负时和位移轴正方向相反，显然，速度超前位移

2



滞后加速度

2



.

3-5振动的能量守恒，能量2

2

1

kAE由组成系统的弹簧的倔强系数和振幅的大小来决定.

3-6因各种因素导致振动过程中，振动的能量和振幅都减少的现象称为阻尼振动.

简谐振动是理想的周期振动，在整个振动过程中周期，振幅和能量都保持不变，阻尼振

动严格意义上说不是周期函数，在振动过程中，振幅和能量在减少，如果以连续两次经过振

动位移最小值的时间作为周期，则阻尼振动的周期比固有周期长，阻尼振动根据阻尼系数与

固有频率大小的关系可以分为欠阻尼，过阻尼和临界阻尼.只有欠阻尼的振动具有周期性和

重复性，过阻尼和临界阻尼已经不具备周期性和重复性，过阻尼是缓慢地回到平衡位置就停

止振动，临界阻尼则以较快的速度回到平衡位置停止振动.

受迫振动和阻尼振动不同，阻尼振动只受弹性力和阻尼力，随时间振幅和能量越来越小，

而受迫振动在驱动力、阻尼力和弹性力的共同作用下，达到一定时间后振动将达到稳定状态，

振动的振幅保持不变，驱动力提供的能量刚好补偿阻尼力损耗的能量，振动的能量保持不变.

3-7当外界振动的频率



与系统固有频率

o

满足22

0

这个关系时，系统的振动

振幅达到最大值，这一现象称为共振，阻尼系数越小共振振幅越大，阻尼系数越大，

共振振幅越小，简谐振动是理想振动，阻尼系数为零，所以共振振幅趋于无穷大.

3-8机械波产生需要两个条件：波源和弹性介质.波在不同介质中传播周期保持不变，而波

速随介质不同而变化，因此，波长因波速不同也不同.

3-9振动方程和波动方程都是描写质点的位移.振动方程是描写一个质点随时间的变化规

律，而波动方程是描写空间若干个不同质点随时间的变化规律，所以，振动方程的位移是时

间的函数，而波动方程中的位移是时间和空间质点位置的函数.当波动方程中空间质点的位

置一旦确定，波动方程就变成这个确定质点的振动方程.

3-10简谐振动是理想的振动，能量守恒，能量的大小和振幅的平方成正比，一个周期内动

能和势能交替变化，但是和保持不变，在平衡位置，动能最大势能为零，在最大位移处，动

能为零势能最大.简谐波虽然也是忽略介质对波的吸收，是理想的波动，但是波动的能量不

守恒呈周期性的变化，任一体积元的动能和势能相等，波传到哪里，那里的质点就从前面的

质点获得能量开始振动，振幅达到最大值后就把能量逐渐传给后面质点，能量就这样由近及

远由波源沿波传播的方向传播出去，所以波动也是能量的传播过程.

3-11当两列波在空间相遇的区域内，某些地方振幅始终加强，某些地方振幅始终减弱，这

种现象称为波的干涉.发生波的干涉要具备的条件是：两波源的频率相同，振动方向相同，

相位差恒定.

3-12两列相干波，振幅相同，沿相反方向传播，在它们叠加的区域有些点始终静止不动，

在这些相邻点之间的各点有不同的振幅，中间的振幅最大，这样的波称为驻波.驻波没有能

量和相位的传播，也没有振动状态的传播，所以无所谓的传播方向，是一种波形驻定不移动

的特殊波，不是行波.简谐波是一种行波，沿波传播的方向可以传播波的振动形式、相位和

能量，所以有传播方向.

3-13引起人听觉的最低声强称为闻阈，人耳能够忍受的最高声强称为痛阈，每个频率都对

应有相应的闻阈和痛阈，人耳对声音的反应主要取决于两个因素：声强和频率.

3-14人耳听觉的频率范围是20-20000Hz，所以人的听觉范围是20Hz频率线、20000Hz频率

线，闻阈曲线和痛阈曲线所围城的区域.人耳最敏感的闻阈频率是1000Hz-5000Hz.

3-15声强级大的响度级不一定高.例如，有可能30dB的声音响度级小于10dB的响度级.

在声强级一定的情况下，频率不同响度级不同，例如，50dB的声音响度级在20-20000Hz范

围内有可能是0方-50方中的任何一个值，而且也不是频率越高响度级越大.

3-16当波源或者观察者有相对运动，观察到的频率和波源的频率不同，这种现象称为多普

勒效应.

3-17次声波（小于20Hz）的频率低波长长，超声波(大于20000Hz)的频率高波长短，所以，

次声波很容易在传播，很难用什么东西可以阻挡次声波，超声波不宜在空气中传播，衰减很

快，所以很容易就可以阻挡超声波的传播.

计算题

3-1.作简谐振动的质点分别在下列情况下，位移、速度和加速度的大小及其方向如何？初

相是多少？

⑴在正的最大位移处；

⑵负的最大位移处；

⑶平衡位置，向负方向运动；

⑷平衡位置，向正方向运动.

解：

)cos(tAs

v=)

2

cos(



tA

)cos()cos(22tAtAa

⑴

0,,2AaAs

;v=0

⑵,,2AaAs

;v=0

⑶

2

,0,0



as

;v=-A

⑷

2

,0,0



as

；v=A

3-2.一简谐振动的振幅为A，周期为T，以下列各种情况为起始时刻，分别写出简谐振动

的表达式：（1）物体过平衡位置向s轴负方向运动；（2）过

2

A

处向s轴正方向运动.

)sin(tA

解：⑴由旋转矢量图示法可知，物体过平衡位置时对应的初相为

2



，取正号时物体必

然会向s轴负方向运动时，取负号时物体必然会向s轴正方向运动，由题意得初相为：

2





，振动的表达式为：

)

2

2

cos()cos(





t

T

AtAs

；

⑵由旋转矢量图示法可知，物体过

2

A

处，

3



，取正号时物体必然会向s轴负方向

运动，取负号物体必然会向s轴正方向运动，由题意知向s轴正方向运动初相为：

3





，振动的表达式为

)

3

2

cos()cos(





t

T

AtAs

.

3-3、一弹簧振子放置在光滑的水平面上，弹簧一端固定，另一端连接一质量为

kg2.0

的物

体，设弹簧的劲度系数为1mN8.1

，求在下列情况下的谐振动方程.（1）将物体从平衡位

置向右移m05.0后释放.（2）将物体从平衡位置向右移m05.0后给与向左的速度1sm15.0

.

解：

3

2.0

8.1



m

k

1srad

⑴将物体从平衡位置向右移m05.0后释放，说明物体处在正的最大位移处，下一时刻

向位移的负方向运动，所以，05.0Am,

0.

振动方程为

ts3cos05.0

(m)

（2）将物体从平衡位置向右移m05.0后给与向左的速度1sm15.0

,则

05.0cos

0

As，v

0=15.0sinA

,

205.0)

3

15.0

(05.022



A

(m)，

4

)

305.0

15.0

arctan(









，

振动方程为)

4

3cos(205.0



ts(m)

3-4、质量为m物体和一个轻弹簧组成弹簧振子，其固有周期为T，当它作振幅为A的简谐

振动时，其振动能量E是多少？

解：,

2

T





2

2

2

222

2

1

A

T

m

AmE





3-5、一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动，)

3

2

4cos(05.0

1

ts，

)

3

4

4cos(03.0

2

ts，求合振幅的大小是多少？

解：





2)

3

4

(

3

2

21



)(08.003.005.0

21

mAAA

合振动的振幅为0.08m．

3-6、弹簧振子作简谐振动时，若其振动振幅和频率都分别为原来的三分之一，总能量是多

少？,若振幅增加到原来的两倍，而总能量保持不变，如何实现？

解：

812

1

81

1

)

3

()

3

(

2

1

2

1222222E

Am

A

mAmE











总能量是原来的81分之一.

∵22222222

2

1

2

1

4)2(

2

1

2

1

AmAmAmAmE















∴

2







，即要保持总能量不变，频率必须是原来大小的一半.

3-7、两个同频率同方向的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的相位

差为

61





，若第一个简谐振动的振幅为310cm=17.3cm，则第二个简谐振动的振

幅是多少？两个简谐振动的相位差

)(

21



是多少？

解：已知

6

1





,20Acm,

310

1

A

cm

由矢量关系可知：

100

6

cos310202310(20)cos(22

)

2

11

2

1

22

2





AAAAA

10

2

A

cm

)cos(2

2121

2

2

2

1

2AAAAA

)cos(10310210)310(20

21

222

,0)

21

cos(

,...2,1,0,

2

)12(

21

kk





3-8、波源的振动方程为)

39

t

4

cos(04.0s







m，以2.01sm

无衰减地向X轴正方向传播，

求：①波动方程，②x=8m处振动方程；③x=8m处质点与波源的相位差.

解：①波动方程

]

39

)

2

(

4

cos[04.0]

39

)(

4

cos[04.0





x

t

u

x

ts(m)

②x=8m处振动方程

)

39

38

4

cos(04.0]

39

)

2

8

(

4

cos[04.0



tts(m)

③x=8m处质点与波源的相位差







3939

38

12

3-9、如图3-9图所示一平面简谐波在0t时刻的波形图，求(1)该波的波动表达式；(2)P

处质点的振动方程.

解：从图中可知：

04.0A

m,

40.0m,

08.0u1sm

,

2





5

08.0

40.0



u

T



,



4.0

2



T

(1)波动表达式：

]

2

)

08.0

(4.0cos[04.0





x

ts(m)

(2)P处质点的振动方程．

)

2

3

4.0cos(04.0]

2

)

08.0

2.0

(4.0cos[04.0







tts(m)

3-10、O

1

，O

2

是两列相干波源，相距2.5λ，O

1

超前O

2

相位3π，两列波的振幅都是A，

波长为λ，两列波无衰减地传播，P、Q分别在O

1

，O

2

的连线上，P在O

2

的外侧1.5λ，Q

在O

1

的外侧2.0λ，求：①O

1

，O

2

连线中点处质点的振幅？②P点处质点的振幅？③Q

点处质点的振幅？

解：①











3

02

3

)(2

,21

2121











xx

xx

，

0

21

AAA,

所以连线中点处质点的振幅为零.

②











2

5.22

3

)(2

21

21











xx

AAAA2

21



P点处质点的振幅是A2

③











8

)5.2(2

3

)(2

21

21











xx

AAAA2

21



Q点处质点的振幅是A2

3-11、一波源以)9.1

4

cos(03.0



tsm的形式作简谐振动，并以1001sm

的速度在某种

介质中传播.求：①波动方程；②距波源40m处质点的振动方程；③在波源起振后1.0s，

距波源40m处质点的位移、速度及初相?

解：已知





9.1,100,

4

,03.0uA，则

①波动方程为：

]9.1)

100

(

4

cos[03.0





x

ts(m)

②距波源40m处质点的振动方程

)2

4

cos(03.0]9.1)

100

40

(

4

cos[03.0







tts

（m）

③在波源起振后1.0s，距波源40m处质点的位移、速度及初相?

x(m)

O

-0.04

0.20

u=0.08m/s

s(m)

P

0.400.60

02.0

2

2

03.0)20.1

4

cos(03.0



s

(m)

v=-02.0

2

2

03.0)20.1

4

sin(

4









A(1sm

)

2

3-12、初相相同的两相干波源A和B相距40m，频率为50Hz，波速为5001sm

，求两相干

波源的连线上产生相干加强和相干减弱的位置？

解：以A为坐标原点，A和B连线为X轴，方向由A向B：

则波程差为

402)40(xxxrr

BA

,

10

50

500







u

m

相干加强的位置

kx402，

)3,2,1,0(520kkx

相干减弱的位置

2

)12(402



kx

)3,2,1,0)(5.0(520kkx

3-13、沿绳子传播的波动方程为)

7

310.0cos(05.0



txsm，求波的振幅，频率，传播

速度，波长，绳子上某点最大的横向振动速度.

解：]

7

)

30

(3cos[05.0)

7

310.0cos(05.0









x

ttxs(m)

振幅05.0Am，频率5.1

2

3

2













Hz，传播速度为30u1sm

，

波长为20

5.1

30







u

m，

横向最大振动速度v

max=

1.47)14.33(05.0A

c1sm

3-14、弦线上驻波相邻波节的距离为65cm，振动频率为2102.3

Hz，求波长和波的传播速

度.

解：驻波相邻波节之间的距离为半个波长，所以波长为

130652cm=1.3m

416102.33.12u1sm

3-15、在空气中某点声波的强度为5100.22mW

，振幅为2mm，空气密度1.293mkg，

波速为3441sm

，求波长和平均能流密度.

解：①22

2

1

AuI

4

23

5

2

105.1

)102(34429.1

100.22

2









uA

I





3

4

1039.2

14.32

105.1

2















4.14

1039.2

344

3











u

cm

②581

344

100.2

2

15

22





u

I

A3mJ

3-16、某声音的声强级比声强为26mW10

的声音的声强级大20dB时，问此声音的声强是

多少？

解：60

10

10

lg10

12

6

2







L（Db）

12

0

110

lg10lg10806020





I

I

I

L

410I2mW

3-17、频率为5Mhz的超声波进入人体软组织，求：①波长；②在20cm处软组织中往返一

次所需要的时间（超声波在体内软组织的传播速度为1sm1540

）.

解：①mmm

u

31.0)(1008.3

105

15404

6











②sst260)(1060.2

1540

22.04





3-18、已知空气、软组织、颅骨的密度分别为0.0012、1.016、1.658（3cmg），对应在其

中传播的声速分别为344、1500、3360（1sm

），求超声波垂直入射时空气与软组织、软

组织与颅骨交界面上的声强反射系数？

解：空气、软组织和颅骨的声阻抗分别为

33

111

1041..0uZ12smkg

33

222

116.1uZ12smkg

33

333

158.1uZ12smkg

空气与软组织的反射系数：

9.99999.0)

1041.0101524

1

()(2

33

33

2

12

12













zz

zz

%

软组织与颅骨的反射系数：

5757.0)

1

1

()(2

33

33

2

23

23













zz

zz

%

3-19、一列火车以20m/s的速度行驶，若机车汽笛的频率为600Hz，某人站在机车前和机

车后所听到的声音频率分别是多少？（设空气中声速为340m/s）.

解：在车前听到的频率

5.637600

20340

340













s

u

u

v

(Hz)

在车后听到的频率

(Hz)7.566600

20340

340













s

u

u

v

w

3-20、蝙蝠在洞中飞行，发出频率为38000Hz的超声，在一次朝着表面垂直的墙壁飞行时，

飞行速度是空气中声速的38分之一，问蝙蝠自己听到从墙壁反射回来的超声频率是多少？

解：蝙蝠飞向墙壁时，蝙蝠发出超声波，自己作为声源在运动，而墙壁作为接收者不动，

接收到的频率升高为：



38

39

)

38

1

1(

1





u

u

从墙壁反射回来的超声波以墙壁作为声源不动，蝙蝠作为接收者在向着声源运动，因此，

蝙蝠听到自己发出的超声波的频率应为

4002638000)

38

39

(

38

39

)

38

1

1(2

112













u

u

Hz.