地球半径是多少

地球半径是多少

-小班音乐活动

2023年2月16日发(作者：寿险营销)

第三讲行星的运动与万有引力定律

【知识要点】

一、开普勒行星运动定律：

定律内容图示

开普勒

第一定律

(轨道定律)

所有行星绕运动的轨道都

是，处在椭圆的一个

焦点上.

开普勒

第二定律

(面积定律)

对任意一个行星来说，它与太阳的

连线在相等的时间内扫过相等

的.

开普勒

第三定律

(周期定律)

所有行星的轨道的的三次

方跟它的的二次方的比

值都相等.错误！未找到引用源。

二、万有引力定律

1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积

成正比，跟它们的距离的二次方成反比．

2．公式：

2

21

r

mm

GF

其中m

1

、m

2

是两个质点的质量，r为两质点间的距离，G是万有引力常量，G＝6.67

×10－11N·m2/kg2．（由英国物理学家卡文迪许首先测量出的）

3．适用条件：只适用于两个质点间相互作用的万有引力的计算

特殊情况：①一个质量分布均匀的球体和一个质点的相互作用

②两个质量分布均匀的球体间的相互作用

三、万有引力和重力的关系

如图所示，在纬度为的地表处，物体所受的万有引力为

2R

GMm

F．而物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为

cos2RmF

向

，方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到地球的万有引力的一个分

力充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg．

两极：mg；赤道：mg

由于地球自转缓慢，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球

表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即mg

R

GMm



2

．这是一个分析天体圆运动

问题时的重要的辅助公式．

重力加速度的计算：M代表地球的质量，R表示地球半径，

①地球表面重力加速度g___________

②地球表面高h的地方重力加速度





g

___________

【典型例题】

例1．关于开普勒行星运动的公式

k

T

R



2

3

，以下理解正确的是（）

A．所有行星的轨道都是圆，R是圆的半径

B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的长半轴

为R月，周期为T月，则：

2

3

2

3

T

R

T

月

月

地

地＝

R

C．T表示行星运动的自转周期D．T表示行星运动的公转周期

例2．一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，地球位于椭圆轨道的一个焦点上．如图所示，

卫星距离地球的近地点a的距离为L，距离地球的远地点b的距离为S，求卫星在a点和b

点的速度之比．

例3．如图所示，飞船沿半径为R的圆轨道运动，其周期为T．如果飞船要返回地面，可在

轨道上的某一点A处减速，将速度降低到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭

圆轨道运动，椭圆与地面的B点相切，实现着陆，如果地球半径为

0

R，求飞船由A点运动

到B点的时间．

可得：



g

g

例4．如图所示，在半径为R、质量为M的均匀铜球中，挖去一球形空穴，空穴的半径为

2

R

，

并且跟铜球相切，在铜球外有一质量为m，体积可忽略不计的小球，这个小球位于连接铜球

球心跟空穴中心的直线上，并且在空穴一边，两球心相距是d，试求它们之间的相互吸引力．

例5．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地

球仍可看做是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动．则与开采前相比（）

A．地球与月球的万有引力将变大B．地球与月球的万有引力将变小

C．月球绕地球运动的周期将变长D．月球绕地球运动的周期将变短

例6．地球赤道上的某物体由于地球自转产生的向心加速度为22/1037.3sma，赤道

上重力加速度2/77.9smg，试问：

（1）质量为1kg的物体在赤道上所受的引力为多少？

（2）要使放在赤道上的某物体由于地球的自转而完全没有重力（完全失重），地球自转的角

速度应加快到实际角速度的多少倍？

例7．某行星自转一周所需时间为地球上的6h，在这行星上用弹簧秤测某物体的重量，在该

行量赤道上称得物重是两极时测得读数的90％，若该行星能看做球体，则它的平均密度为

多少?已知万有引力恒量G＝6.67×10－11N·m2／kg2，

例8．在地球某处海平面上测得物体自由下落高度h所需的时间为t，到某高山顶测得物体

自由下落h同样高度所需时间增加了t，已知地球半径为R，试求山的高度H．

例9．一物体在地球表面的重力为16N，它在以5m/s2加速上升的火箭中视重为9N，则求此

时火箭离地球表面的距离为地球半径的多少倍．（g=10m/s2）

【经典练习】

1．如果认为行星围绕太阳做匀速圆周运动，那么下列说法中正确的是（）

A．行星受到太阳的万有引力，万有引力提供行星圆周运动的向心力

B．行星受到太阳的万有引力，行星运动不需要向心力

C．行星同时受到太阳的万有引力和向心力

D．行星受到太阳的万有引力与它运行的向心力不相等

2．某个行星的质量是地球质量的一半，半径也是地球半径的一半，那么一个物体在此行星

表面上的重力是地球表面上重力的（）

A．1/4倍B．1/2倍C．4倍D．2倍

3．离地面高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的

2

1

，则高度是地球半径的（）

A．2倍B．

2

1

倍C．

2

倍D．（

2

－1）倍

4．某星球自转周期为T，在它两极处用弹簧秤称得某物重W，在赤道上称得该物重W，求

该星球的平均密度．

5．宇航员在某一星球的极地着陆时，发现自己在当地的体重是地球上重力的0.01倍，进一

步研究还发现，该行星一昼夜的时间与地球相同，而且物体在赤道上刚好完全失去了重力，

试计算这一行星的半径．

6．中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，观测到它的

自转周期为T=1/30s，问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的的稳定，不至于因

自转而瓦解．（计算时该星体可视为均匀球体，G=6.67×10-11m3/kg·s2）

第四讲万有引力定律的应用

【知识要点】

一、探测未知天体

二、计算天体质量和平均密度

1．已知天体表面的重力加速度

g

和天体半径

R

，天体质量M，平均密度



V

M



2．已知卫星绕行星（或行星绕恒星）做匀速圆周运动的半径r和周期T，

由此得到行星（或恒星）的质量为M，行星（或恒星）的平均密度为

V

M



若卫星绕天体表面运行时（近地卫星），rR，则有

【典型例题】

例1．如图所示为宇宙中有一个恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O

运行的轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R

0

，周期为T

0

。

（1）中央恒星O的质量是多大？

（2）长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t

0

时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着

一颗未知的行星B（假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同），它对A

行星的万有引力引起A轨道的偏离。根据上述现象及假设，你能对未知行星B的运动得到

哪些定量的预测。

例2．下列情况下，哪些能求得地球的质量（）

A．已知地球的半径和地球表面重力加速度

B．已知贴近地面的卫星的周期和它的向心加速度

C．已知地球卫星的轨道半径和周期

D．已知地球卫星的质量和它的高度

例3．天文学上，太阳的半径、体积、质量和密度都是常用的物理量，利用小孔成像原理和

万有引力定律，可以简捷地估算出太阳的密度。在地面上某处，取一个长l＝80cm的圆筒，

在其一端封上厚纸，中间扎直径为1mm的圆孔，另一端封上一张画有同心圆的薄白纸，最小

圆的半径为2.0mm，相邻同心圆的半径相差0.5mm，当作测量尺度，再用目镜（放大镜）进

行观察。把小孔正对着太阳，调整圆筒的方向，使在另一端的薄白纸上可以看到一个圆形光

斑，这就是太阳的实像，为了使观察效果明显，可在圆筒的观测端蒙上遮光布，形成暗室。

若测得光斑的半径为

mmr7.3

0



，试根据以上数据估算太阳的密度

（

2211/1067.6kgmNG

，

一年约为

sT7102.3

）。

例4．宇航员站在一星球表面上的某高度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落至

星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大至2倍，则抛出点

与落地点之间的距离为3L，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径R，万有引力恒

为G，求该星球的质量M．

例5．设“神舟”六号载人飞船在圆轨道上绕地球运行n圈所用的时间为t，若地球表面的

重力加速度为g，地球半径为R，求：

(1)飞船的圆轨道离地面的高度．（2）飞船在圆轨道运行的速率．

例6．一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，

着陆在该行星上．飞船上备有以下实验器材:①精确秒表一只；②已知质量为m的物体一个；

③弹簧秤一个．若宇航员在绕行时及着陆后各作了一次测量，依据测量数据，可求出该星球

的半径R及星球的质量M(已知万有引力常量为G，忽略行星的自转)．

⑴宇航员两次测量的物理量分别应是什么？

⑵用所测数据求出该星球的半径R及质量M的表达式．

例7．宇航员在月球上自高h处以初速度v

0

水平抛出一小球，测出水平射程为L（这时月球

表面可以看作是平坦的），则月球表面处的重力加速度是多大？若已知月球半径为R，在月

球上发射一颗月球卫星，它在月球表面附近环绕月球运行的周期是多少？

例8．如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高

度h，已知地球半径为R，地球自转角速度为

0

，地球表面的重力加速度为g，O为地球中

心．

（1）求卫星B的运动周期

（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在

同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相最近？

【经典练习】

1．一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定

该行星的密度，只需要测量（）

A．飞船的轨道半径B．飞船的运行速度

C．飞船的运行周期D．行星的质量

2．最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一

周的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍，假定该行星绕恒星运

行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有（）

A．恒星质量与太阳质量之比B．恒星密度与地球密度之比

C．行星质量与地球质量之比D．行星运行速度与地球公转速度之比

3．宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到

月球表面（设月球半径为R）据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动

所必须具有速率为（）

A．

t

Rh2

B．

t

Rh2

C．

t

Rh

D．

t

Rh

2

4．地核体积约为地球体积的16%，地核质量约为地球质量的34%，引力常量取G=6.7×10

－11Nm2/kg2，地球半径取R=6.4×106m，地球表面重力加速度取g=9.8m/s2，试估算地核的平

均密度(结果取2位有效数字)．

第五讲人造卫星、宇宙航行

【知识要点】

1．卫星绕地球运动的向心加速度和物体随地球自转的向心加速度

（1）卫星绕地球运动的向心力完全是由地球对卫星的引力提供。卫星绕地球运动的向心加

速度a

1

=Gm

1

/r2，其中m

1

为地球的质量，r为卫星与地心的距离；

（2）放在地面上的物体随地球自转的向心力是由万有引力的一个分力提供。物体随地球自

转的向心加速度a

2

=ω2R=4π2R/T2，其中T为地球自转周期，R为地球半径。

2．卫星的“超重”和“失重”

（1）人造卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动。这两个

过程加速度方向均向上，因而都处于超重状态。

（2）人造卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，所以处于完全失重状态。在

这种情况下凡是与重力有关的力学现象都会停止发生。

3．关于“同步通讯卫星“的几个问题

同步卫星是运行在地球的赤道上空，它绕地球一周的时间与地球自转一周的时间相同。

它相对与地面静止不动，所以称为“同步卫星”。①同步卫星的周期shT41064.824；

②同步卫星离地面的高度

kmh36000

；③同步卫星的线速度

T

hR

v

)(2





（1）发射同步卫星应满足三个条件：

①一是卫星公转的周期应等于地球自转的周期（T=86400S）。

②二是卫星的高度要适当，使得地球的引力刚好等于卫星圆周运动须的向心力。

③三是同步卫星的轨道平面应和地球的赤道平面重合，只有这样卫星才能稳定。

（2）需要几个通讯卫星就能实现全球通讯？

在赤道上空等间隔的放置3颗同步卫星就能实现全球通讯。

4．三种宇宙速度

①第一宇宙速度（环绕速度）：v1=7．9km/s人造卫星环绕地球的最大速度，也是发射卫星

的最小速度。

②第二宇宙速度（脱离速度）：v

2

=11.2km/s物体争脱地球引力的最小发射速度。

③第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7km/s物体争脱太阳引力的最小发射速度。

5．人造地球卫星（只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星）主要运动参量随轨道半径的

变化关系。

由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是

有

2r

GmM

=m

向

a=m

r

v2

=mrw2=mr

2

2

T

4

（1）向心加速度

向

a与r的平方成反比，

向

a随r的增大而减小

22

1

rr

GM

a

向

当r取其最小值时，

向

a取得最大值.a向max

=

2R

GM

=g=9.8m/s2

（2）线速度v与r的平方根成反比，v随r的增大而减小

r

r

GM

v

1

；当r取其最

小值为地球半径R时，v取得最大值.v

max

=

R

GM

=Rg=7.9km/s，即第一宇宙速

度。

（3）角速度与r的二分之三次方成反比，随r的增大而减小

3

3

1

r

r

GM

；

当r取最小值地球半径R时，取得最大值.

max

=

3R

GM

=

R

g

≈1.23×10－3rad/s

（4）周期T与r的二分之三次方成正比，T随r的增大而增大.3

3

2r

GM

r

T

当r取其最小值地球半径R时，T取得最小值.T

min

=2

GM

R3

=2

g

R

≈5.1×103s

【典型例题】

例1．在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球做匀速圆周运动，每到太阳活动期，由于受太

阳的影响，地球大气层的厚度开始增加，从而使得部分垃圾进入大气层，开始做靠近地球的

向心运动，产生这一结果的原因是()

A．由于太空垃圾受到地球引力减小而导致的向心运动

B．由于太空垃圾受到地球引力增大而导致的向心运动

C．由于太空垃圾受到空气阻力而导致的向心运动

D．地球引力提供了太空垃圾做圆周运动所需的向心力，故产生向心运动的结果与空气阻

力无关

例2．某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次

Q

v

3

v

4

测量中卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测量卫星的轨道半径为r

1

，后来变为r

2

，r

2

＜

r

1

，以v

1

、v

2

表示卫星在这两个轨道上的速度，T

1

、T

2

表示卫星在这两个轨道上绕地运动的

周期，则()

A．v

2

＜v

1

，T

2

＜T

1

B．v

2

＜v

1

，T

2

＞T

1

C．v

2

＞v

1

，T

2

＜T

1

D．v

2

＞v

1

，T

2

＞T

1

例3．如右上图所示，发射同步卫星的一种程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后

在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点

为同步圆轨道上的Q，到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道．设卫星在近地圆轨

道上运行的速率为v

1

，在P点短时间加速后的速率为v

2

，沿转移轨道刚到达远地点Q时的

速率为v

3

，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v

4

．

（1）试比较v

1

、v

2

、v

3

、v

4

的大小，并用小于号将它们排列起来：______．

（2）试比较相应处加速度a

1

、a

2

、a

3

、a

4

的大小：______．

例4．欧洲航天局用阿里亚娜火箭发射地球同步卫星。该卫星发射前在赤道附近（北纬5°左

右）南美洲的法属圭亚那的库卢基地某个发射场上等待发射时为1状态，发射到近地轨道上

做匀速圆周运动时为2状态，最后通过转移、调试，定点在地球同步轨道上时为3状态。将

下列物理量按从小到大的顺序用不等号排列：①这三个状态下卫星的线速度大小___

___；②向心加速度大小______；③周期大小______。

例5．我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。“一号”

是极地圆形轨道卫星。其轨道平面与赤道平面垂直，周期是12h；“二号”是地球同步卫星。

两颗卫星相比号离地面较高；号观察范围较大；号运行速度较大。若某天

上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻将

是。

例6．已知地球与月球质量比为81：1，半径之比为3.8：1，在地球表面上发射卫星，至少

需要7.9km/s的速度，求在月球上发射一颗环绕月球表面运行的飞行物需要多大的速度？

例7．地球同步卫星的轨道位于地球赤道的正上方，其运转周期与地球的自转周期相同，相

对于地球静止不动。若地球的质量m地=5.98×1024kg,半径R=6.4×106m，求（1）同步卫星

的周期T；（2）同步卫星离地面的高度h；（3）同步卫星的运转速度。

例8．宇宙飞船以a=

2

1

g=5m/s2的加速度匀加速上升，由于超重现象，用弹簧秤测得质量

为10kg的物体重量为75N，由此可求飞船所处位置距地面高度为多少？(地球半径

R=6400km)

例9．2004年1月4日美国“勇气”号火星车在火星表面成功登陆，登陆时间选择在6万

年来火星距地球最近的一次，火星与地球之间的距离仅有5580万千米，火星车在登陆前绕

火星做圆周运动，距火星表面高度为H，火星半径为R，绕行N圈的时间为t．求：

（1）若地球、火星绕太阳公转为匀速圆周运动，其周期分别为

地

T、

火

T，试比较它的大小；

（2）求火星的平均密度（用R、H、N、t、万有引力常量G表示）；

（3）火星车登陆后不断地向地球发送所拍摄的照片，地球接收到的第一张照片大约是火星

车多少秒前拍摄的．

【经典练习】

1．三颗人造地球卫星A、B、C在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀

速圆周运动，且绕行方向相同，已知R

A

＜R

B

＜R

C

。若在某一时刻，它

们正好运行到同一条直线上，如图所示。那么再经过卫星A的四分之一

周期时，卫星A、B、C的位置可能是（）

BC

Ａ

2．地球半径为Ｒ，地面的重力加速度为g，某卫星距地面的高度为Ｒ，设卫星做匀速圆周

运动，下列说法正确的是（）

A．卫星的线速度为22gRB．卫星的角速度为

R

g

8

C．卫星的加速度为

2

g

D．卫星的周期为

g

R2

2

3．由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么卫星的()

A．速率变大，周期变小B．速率变小，周期变大

C．速率变大，周期变大D．速率变小，周期变小

4．绕地球运行的人造地球卫星的质量、速度、卫星与地面间距离三者之间的关系是（）

A．质量越大，离地面越远，速度越小B．质量越大，离地面越远，速度越大

C．与质量无关，离地面越近，速度越大D．与质量无关，离地面越近，速度越小

5．火星的半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的1/9，那么（）

A．火星的密度是地球密度的8/9

B．火星表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的4/9

C．火星上的第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的

2

3

D．环绕火星表面做匀速圆周运动卫星的周期是环绕地球表面做匀速圆周运动卫星周期的

3

4

倍

6．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R，线速度为v，周期为T，若要

使卫星的周期变为2T，可能的方法是（）

A．R不变，使线速度变为v/2B．v不变，使轨道半径变为2R

C．轨道半径变为34RD．无法实现

7．如下图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法

正确的是（）

A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度

B．b、c向心加速度相等，且大于a的向心加速度

C．c加速可以追上同一轨道上的b，b减速可以等候同一轨道上的c

D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大

地

Ａ

B

A

地

Ａ

B

C

B

地

Ａ

B

C

C

B

C

地

Ａ

D

8．有两颗人造卫星，它们的质量之比是

1

m：

2

m=1：2，运行速度之比

1

v：

2

v=1：2。则：

A．它们周期之比

1

T：

2

T=；B．它们轨道半径之比

1

r：

2

r=；

C．向心加速度之比

1

a：

2

a=；D．所受向心力之比

1

F：

2

F=。

9．晴天夜晚，人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内，一个可看成漫反

射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动，春分期间太阳垂直射向赤

道，赤道上某处的人在日落后8小时是在西边的地平线上恰能看到它，之后极快地变暗而看

不到了，如图所示，已知地球的半径R=6.4×106m，地面上的重力加速度为10m/s2，估算（答

案要求精确到两位数）（1）卫星离地面的高度（2）卫星的速度大小。

10．一物体在某一行星表面上做自由落体运动，在连续的两个1s内，下降的高度分别为12m

和20m，若该星球的半径为100km，则环绕该行星的卫星的最小周期为多少？

11．1990年3月，紫金山天文台将1965年9月20日发现的第2752号小行星命名为吴建雄

星，其直径为32km，如该小行星的密度与地球相同，则该小行星的第一宇宙速度为多少？

12．“嫦娥一号”探月卫星在空中运动的简化示意图

卫星

太

阳

光

地

球

O

如下．卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转

移轨道，再次调速后进入工作轨道．已知卫星在停泊轨道和工作轨道运行半径分别为R和

R

1

，地球半径为r，月球半径为r

1

，地表面重力加速度为g，月球表面重力加速度为

6

g

．求：

（1）卫星在停泊轨道上运行的线速度；

（2）卫星在工作轨道上运行的周期．

13．1957年10月4日，苏联发射了世界上第一颗人造地球卫星以来，人类活动范围从陆地、

海洋、大气层扩展到宇宙空间，宇宙空间成为人类第四疆域，人类发展空间技术的最终目的

是开发太空资源。

（1）宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的航天飞机中，会处于完全失重状态，下列说法中

正确的是：（）

A．宇航员仍受重力作用B．宇航员受力平衡

C．重力正好为向心力D．宇航员不受任何力作用

（2）宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站：（）

A．只能从较低轨道上加速B．只能从较高轨道上加速

C．只能从同空间站同一高度轨道上加速D．无论在什么轨道上，只要加速都行

（3）已知空间站周期约为90min，地球半径约为6400km，地面重力加速度约为10m/s2，由

此计算国际空间站离地面的高度？

第六讲万有引力定律综合

【知识要点】

一、开普勒行星运动定律：①轨道定律②面积定律③周期定律

二、万有引力定律

1．公式：

2

21

r

mm

GFG＝6.67×10－11N·m2/kg2．（由英国物理学家卡文迪许首先测

量出的）

2．适用条件：只适用于两个质点

．．

间相互作用的万有引力的计算

特殊情况：①一个质量分布均匀的球体和一个质点的相互作用

②两个质量分布均匀的球体间的相互作用

三、物体在地面上所受的万有引力与重力的区别和联系

1．考虑地球自转：万有引力分解为一个向心力和一个重力

两极：

引

Fmg赤道：

向

引

FFmg

2．不考虑地球自转：万有引力全部提供为重力，即：mg

R

Mm

G

2

①地球表面重力加速度

2R

GM

g

②地球表面高h的地方重力加速度

2)(hR

GM

g







四、计算天体质量和平均密度

1．已知天体表面的重力加速度

g

和天体半径

R

，天体质量

G

gR

M

2

，平均密度

RG

g

V

M





4

3



2．已知卫星绕行星（或行星绕恒星）做匀速圆周运动的半径r和周期T，

由此得到行星（或恒星）的质量为

2

324

GT

r

M



，行星（或恒星）的平均密度为

32

33

RGT

r

V

M





若卫星绕天体表面运行时（近地卫星），rR，则有

2

3

GT





五、人造地球卫星：

由

向

引

FF可得：r

T

mrm

r

v

m

r

GMm

2

2

2

2

2

4

，可得：

r

GM

v，

3r

GM

，

GM

r

T

3

2

六、地球同步卫星

可得：

2

2)(

R

hR

g

g





1．同步卫星的周期shT41064.824

2．同步卫星离地面的高度

kmh36000

3．同步卫星的线速度

T

hR

v

)(2





4．同步卫星只能位于赤道上空

七、三个宇宙速度

1．第一宇宙速度（环绕速度）：v1=7.9km/s人造卫星环绕地球的最大速度，也是发射卫星

的最小速度．

2．第二宇宙速度（脱离速度）：v

2

=11.2km/s物体挣脱地球引力的最小发射速度．

3．第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7km/s物体挣脱太阳引力的最小发射速度．

【课堂练习】

1．如图我国是能够独立设计和发射地球同步卫星的国家之一．发射地球

同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道１．然后经点火，使其沿椭圆轨

道２运动，最后再次点火，将卫星送入轨道３．如图所示，轨道１、２相

切于Ｑ点，轨道２、３相切与Ｐ点，则当卫星分别在１、２、３轨道上运

行时，下列说法正确的有（）

A．卫星在轨道３上的速率大于在轨道１上的速率

B．卫星在轨道３上的角速度小于在轨道１上的角速度

C．卫星在轨道１上经过Ｑ点时的加速度大于它在轨道２上经过Ｑ点时的加速度

D．卫星在轨道２上经过Ｐ点时的加速度等于它在轨道３上经过Ｐ点时的加速度

2．在赤道上的某个物体由于地球的自转产生的向心加速度为a，而赤道上的重力加速度为g，

先要使赤道上的物体刚好对地面没有压力，要使地球自转的角速度是原来的多少倍（）

A．

a

ag

B．

a

ag

C．

a

g

D．

ag

g



3．火箭载着宇宙探测器飞向某行星,火箭内平台上放有测试仪器,如图所示,火箭从地面起飞

时,以加速度g

0

/2竖直向上做匀加速直线运动（g

0

为地面附近的重力加速度）,已知地球半径

为R.

（1）升到某一高度时，测试仪器对平台的压力是刚起飞时压力的

18

17

，求此时火箭离地面的

高度h。

（2）探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，

若测得探测器环绕该行星运动的周期为T

0

，试问：该行星的平均密度为多少？（假定行

星为球体，且已知万有引力恒量为G）

（3）若已测得行星自转周期为T（T>T

0

），行星半径恰等于地球半径,一个物体在行星极地

表面上空多高H处,所受引力大小与该行星赤道处对行星表面的压力大小相等？

地

Q

2

3

P

1

4．设地球质量为M，绕太阳做匀速圆周运动。有一质量为m的飞船由静止开始从P点在恒

力F作用下，沿PD方向做匀加速直线运动，一年后在D点飞船掠过地球上空，再过三个

月飞船又在Q点掠过地球上空，如下图，根据以上条件，求地球与太阳之间的万有引力。（忽

略飞船受地球和太阳的万有引力作用影响）

5．(2005广东高考)已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星

距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T

1

，地球的自转周期T

2

，地球表面的重力加速度g．某

同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由

h

T

m

h

Mm

G2

2

2

)

2

(



得

2

2

324

GT

h

M



，

(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．

(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．

6．在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停

下来．假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，

速度大小为

0

v，求它第二次落到火星表面时速度的大小．（计算时不计火星大气阻力，已知

火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为

0

T．火星可视为半径为

0

r的均匀球体．）

7．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀

速圆周运动．现测得两星中心距为R，其运动周期为T，求两星的总质量．

8．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略

其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三

颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是

三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体

的质量均为m．

（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．

（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

9．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射

的此卫星，试问春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见

此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大

气对光的折射．

10．已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v

2

=

R

Gm2

,其中G、m、R分别是引力

常量、地球的质量和半径.已知G=6.67×10-11N·m2/kg2,c=2.9979×108m/s.求下列问题：

（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫作黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量m=1.98×

1030kg，求它的可能最大半径；

（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样

一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能

脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？

11．根据天文观测，月球半径为R=1738km，月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加

速度的1/6，月球表面在阳光照射下的温度可达127℃，此时水蒸气分子的平均速度达到

v

0

=2000m/s。试分析月球表面没有水的原因。（取地球表面的重力加速度g=9.8m/s2）（要求

至少用两种方法说明）