函数定义域怎么求
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2023年2月16日发(作者：小学学校章程)百度文库-让每个人平等地提升自我
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函数
一、函数的定义域及求法
1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；
2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；
3、正切函数：x≠kπ+π/2,k∈Z；余切函数：x≠kπ,k
∈Z；
4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；
5、定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）法；利用其
反函数的值域法；
6、复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论．
[例题]：
1、求下列函数的定义域
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3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R，求实数m的取值范围．
[解析]：[利用复合函数的定义域进行分类讨论]
当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3，→原函数的定义域为R；
当m≠0时，则mx2-4mx+m+3＞0，
①m＜0时，显然原函数定义域不为R；
②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)<0时，即０＜m＜１，
原函数定义域为R，
所以当m∈[0,1)时，原函数定义域为R．
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4、求函数y=log
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x+1(x≥4)的反函数的定义域．
[解析]：［求原函数的值域］
由题意可知，即求原函数的值域，
∵x≥4,∴log
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x≥2∴y≥3
所以函数y=log
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x+1(x≥4)的反函数的定义域是[3，+∞)．
5、函数f(2x)的定义域是[-1，1]，求f(log
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x)的定义域．
[解析]：由题意可知2-1≤2x≤21→f(x)定义域为[1/2，2]
→1/2≤log
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x≤2→√￣2≤x≤4．
所以f(log
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x)的定义域是[√￣2,4]．
二、函数的值域及求法
1、一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；
2、二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a，当a＜0时，
y≤-△/4a；
3、反比例函数的值域：y≠0；
4、指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R；
5、正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函
数的值域为R；
6、值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用
求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量
法．
[例题]：：求下列函数的值域
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[解析]：
1、[利用求反函数的定义域求值域]
先求其反函数：f-1(x)=(3x+1)/(x-2)，其中x≠2，
由其反函数的定义域，可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2}
2、[利用反比例函数的值域不等于0]
由题意可得，
因此，原函数的值域为[1/2,+∞)
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4、[利用分离变量法和换元法]
设法2x＝t，其中t＞0，则原函数可化为y=(t+1)/(t-1)→
t=(y+1)/(y-1)＞０
∴y>1或y<-1
5、[利用零点讨论法]
由题意可知函数有3个零点-3，1，2，
①当x<-3时，
y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x∴y>9
②当-3≤x<1时，
y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6∴5 ③当1≤x<2时， y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4∴5≤y<6 ④当x≥2时， y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x∴y≥6 综合前面四种情况可得，原函数的值域是[5,+∞) 百度文库-让每个人平等地提升自我 6 6、[利用函数的有界性] 三、函数的单调性及应用 1、A为函数f(x)定义域内某一区间， 百度文库-让每个人平等地提升自我 7 2、单调性的判定：作差f(x 1 )-f(x 2 )判定；根据函数图象判定； 3、复合函数的单调性的判定：f(x),g(x)同增、同减，f(g(x))为增函 数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x))为减函数． [例题]： 百度文库-让每个人平等地提升自我 8 2、设a＞0且a≠1，试求函数y=log a (4+3x-x2)的单调递增区间． [解析]：[利用复合函数的单调性的判定] 由题意可得原函数的定义域是（－１，４）， 设u=4+3x-x2，其对称轴是x=3/2， 所以函数u=4+3x-x2，在区间（－１，3/2]上单调递增；在区间 [3/2，4）上单调递减． ①a＞１时，y=log a u在其定义域内为增函数，由x↑→u↑→y↑， 得函数u=4+3x-x2的单调递增区间（－１，3/2]，即为函数y=log a (4+3x-x2) 的单调递增区间． ②０＜a＜１时，y=log a u在其定义域内为减函数，由 x↑→u↓→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2，4），即为函 数y=log a (4+3x-x2)的单调递增区间． 3、已知y=log a (2-ax)在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围。 [解析]：[利用复合函数的单调性的判定] 由题意可知，a＞０．设u＝g(x)=2－ax，则g(x)在［０，１］上 是减函数，且x=１时， g(x)有最小值u min =2-a． 百度文库-让每个人平等地提升自我 9 又因为u＝g(x)＝2－ax＞０，所以，只要u min =2-a＞０则可，得a ＜２． 又y=log a (2-ax)在[0，1]上是x减函数，u＝g(x)在［０，１］上 是减函数， 即x↑→u↓→y↓，所以y=log a u是增函数，故a＞１． 综上所述，得１＜a＜2． ４、已知f(x)的定义域为（０，＋∞），且在其上为增函数，满足 f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，试解不等式f(x)+f(x-2)<3． ［解析］：［此题的关键是求函数值３所对应的自变量的值］ 由题意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2， 3=2+1=f(4)+f(2)=f(4×2)=f(8) 又f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) 所以原不等式可化成f(x2-2x) 所以原不等式的解集为｛x|2 四、函数的奇偶性及应用 百度文库-让每个人平等地提升自我 10 1、函数f(x)的定义域为D，x∈D，f(-x)=f(x)→f(x)是偶函数； f(-x)=-f(x)→是奇函数 2、奇偶性的判定：作和差f(-x)±f(x)=0判定；作商f(x)/f(-x)= ±1,f(x)≠0判定 3、奇、偶函数的必要条件是：函数的定义域关于原点对称； 4、函数的图象关于原点对称奇函数； 函数的图象关y轴对称偶函数 5、函数既为奇函数又为偶函数f(x)=0,且定义域关于原点对称; 6、复合函数的奇偶性：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶， 奇×偶=奇． [例题]： [解析]：①[利用作和差判断] 由题意可知，函数的定义域是R，设x为R内任意实数， 百度文库-让每个人平等地提升自我 11 即，f(x)=-f(x)，∴原函数是奇函数． ②［利用作商法判断］ 由题意可知，函数的定义域是R，设x为R内任意实数， 百度文库-让每个人平等地提升自我 12 （２）∵f(x)的图象关于直线x=1对称， 百度文库-让每个人平等地提升自我 13 ∴f[1-(1-x)]＝f[1+(1-x)]，x∈R，即f(x)＝f(2-x)， 又∵f(x)在R上为偶函数，→f(-x)＝f(x)＝f(2-x)＝f(2+x) ∴f(x)是周期的函数，且2是它的一个周期． 五、函数的周期性及应用 1、设函数y=f(x)的定义域为D，x∈D,存在非0常数T，有 f(x+T)=f(x)→f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期； 2、正弦、余弦函数的最小正周期为2π，函数y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期是T=2π/|ω|； 3、正切、余切函数的最小正周期为π，函数y=Atan(ωx+φ)和 y=Acot(ωx+φ)的周期是T=π/|ω|； 4、周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法； 5、一般地，sinωx和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半，tanωx 和cotωx类函数加绝对值或平方后周期不变（如：y=|cos2x|的周期是 π/2，y=|cotx|的周期是π． [例题]： 1、求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期． [解析]：[利用周期函数的定义] 百度文库-让每个人平等地提升自我 14 y=|sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx| =|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)| 即对于定义域内的每一个x，当x增加到(x+π/2)时，函数值重 复出现，因此函数的最小正周期是π/2． 3、求函数y=sin3x+tan(2x/5)的最小正周期． [解析]：[最小公倍数法和公式法]， （设f(x)、g(x)是定义在公共集合上的两上三角周期函数，T 1 、、 T 2 分别是它们的周期，且T 1 ≠T 2 ，则f(x)±g(x)的最小正周期等于T 1 、、 T 2 的最小公倍数．） （注：分数的最小公倍数=分子的最小公倍数/分母的最大公约数）． 百度文库-让每个人平等地提升自我 15 由题意可知，sin3x的周期是T 1 =2π/3，tan(2x/5)的周期是T 2 =5π/2， ∴原函数的周期是T=10π/1=10π． 4、求函数y=|tanx|的最小正周期． [解析]：[利用函数的图象求函数的周期] 函数y=|tanx|的简图如图： 由函数y=|tanx|的简图可知， 其最小正周期是π． 5、设f(x)是（-∞，+∞）上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x, 求f ［解析］：[利用周期函数的定义] 由题意可知，f(2+x)=f(x) ∴f＝f＝f＝－f＝－０.５