对勾函数最值

对勾函数最值

五年级上册日积月累-二十八星宿吉凶

2023年2月15日发(作者：爱作文结尾)

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1

学大教育个性化教学学案

对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

姓名年级性别

课题对勾函数

教学目的了解对勾函数的概念、性质和图像

教学重难点

运用对勾函数的性质和图像解决实际问题。

教学过程(内容可附后)

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2

一、对勾函数f(x)=ax+错误!未找到引用源。的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总

喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一)对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。（接

下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x“叠加”

而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状

酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作

是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

a>0b>0a<0b<0

对勾函数的图像（ab同号）

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3

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的

一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很

容易得出结论了。

(二)对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：

当x>0时，

错误!未找到引用源。。

当x<0时，错误!未找到引用源。。

即对勾函数的定点坐标：

(三)对勾函数的定义域、值域

由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值

域等性质。

对勾函数的图像（ab异号）

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4

(四)对勾函数的单调性

(五)对勾函数的渐进线

由图像我们不难得到：

(六)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数

二、类耐克函数性质探讨

函数

x

b

axy，在时或00ba为简单的单调函数，不予讨论。

在时且00ba有如下几种情况：(1)0,0ba(2)0,0ba

(3)0,0ba(4)0,0ba

设axy

1

，

x

b

y

2

，则

x

b

axyyy

21

，其定义域为0,|xRxx且

(1)0,0ba时，axy

1

，

x

b

y

2

在),0(),0,(上分别单调递增。

故

x

b

axyyy

21

在),0(),0,(为单调递增函数。

(2)0,0ba时，axy

1

，

x

b

y

2

在),0(),0,(上分别单调递减。

故

x

b

axyyy

21

在),0(),0,(为单调递减函数

(3)0,0ba图像略

y

X

O

y=ax

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5

1当0x时，0

1

axy，0

2



x

b

y

ab

x

b

ax

x

b

axyyy22

21



。当且仅当

x

b

ax，即

a

b

x取等号。

2当0x时0

1

axy，0

2



x

b

y

ab

x

b

ax

x

b

ax

x

b

axyyy22)(

21







，当

且仅当

x

b

ax，即

a

b

x

（因为0x，故舍掉

a

b

x

）取等号。

4)0,0ba

1当0x时，

0

1

axy

，

0

2



x

b

y

ab

x

b

ax

x

b

ax

x

b

axyyy22)(

21







。当且仅

当

x

b

ax，即

a

b

x

取等号。

2当0x时0

1

axy，0

2



x

b

y

ab

x

b

ax

x

b

axyyy22

21



，当且仅当

x

b

ax，即

a

b

x取等号。

三、关于求函数0

1

x

x

xy最小值的十种解法

1.均值不等式

0x，2

1



x

xy，当且仅当

x

x

1

，即1x的时候不等式取到“=”。当1x

的时候，2

min

y

2.法

01

1

2yxx

x

xy

若y的最小值存在，则

042y必需存在，即2y或2y（舍）

找到使2y时，存在相应的

x

即可。通过观察当1x的时候，2

min

y

3.单调性定义

设

21

0xx





















21

21

21

2121

1

1

11

xx

xx

xx

xxxfxf



21

21

21

1

xx

xx

xx





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6

当对于任意的

21

,xx，只有

21

,xx1,0时，

21

xfxf

0，此时xf单调递增；

当对于任意的

21

,xx，只有

21

,xx,1时，

21

xfxf

0，此时xf单调递减。

当1x取到最小值，21

min

fy

4.复合函数的单调性

2

112





















x

x

x

xy

x

xt

1

在,0单调递增，22ty在0,单调递减；在,0单调递增

又

x1,00,tx,1,0t原函数在1,0上单调递减；

在,1上单调递增

即当1x取到最小值，21

min

fy

5.求一阶导

2

'

1

1

1

x

y

x

xy当1,0x时，0'y，函数单调递减；当,1x时，

0'y，函数单调递增。

当1x取到最小值，21

min

fy

6.三角代换

令tanx，















2

,0





，则

cot

1



x





2sin

2

cottan

1



x

xy















2

,0





,02

当

4



，即

2

2



时，12sin

max

，2

min

y，显然此时1x

7.向量

ba

x

x

x

xy1

1

1

1

，1,1,

1

,













b

x

xa

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7

bacosbacos2a

根据图象，a为起点在原点，终点在

x

y

1

0x图象上的一个向量，cosa的几何意

义为a在b上的投影，

显然当

ba

时，cosa

取得最小值。此时，1x，

222

min

y

8．图象相减















x

x

x

xy

11

，即y表示函数xy和

x

y

1

两者之间的距离

求

min

y，即为求两曲线竖直距离的最小值

平移直线xy，显然当xy与

x

y

1

相切时，两曲线竖直距离最小。

x

y

1

关于直线xy轴对称，若xy与

x

y

1

在1x处有一交点，根据

对称性，在10x处也必有一个交点，即此时xy与

x

y

1

相交。显然不是距离最小

的情况。

所以，切点一定为1,1点。此时，1x，2

min

y

9.平面几何

依据直角三角形射影定理，设

x

EBxAE

1

,，则

x

xADAB

1



显然，

x

x

1

为菱形的一条边，只用当ADAB，即AD为直线AB和

CD之间的距离时，

x

x

1

取得最小值。即四边形ABCD为矩形。

此时，

x

x

1

，即1x，2

min

y

10.对应法则

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8

设txf

min2xf

2

2

1

x

x

,0x，,02x，对应法则也相同

txf

min

2

2

11

2

22

x

xxf

x

xxf

左边的最小值右边的最小值

122ttt（舍）或2t当2xPx，即1x时取到最小值，

且2

min

y

练习：

1．若x>1.求

1

1





x

xy的最小值

2.若x>1.求

1

222







x

xx

y的最小值

3.若x>1.求

1

12







x

xx

y的最小值

4.若x>0.求

x

xy

2

3的最小值

5.已知函数)),1[(

22





x

x

axx

y

（1）求的最小值时，求)(

2

1

xfa

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9

（2）若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a范围

6.:方程sin2x－asinx+4=0在[0,2



]内有解，则a的取值范围是__________

7.函数

10

27yxx

x

的最小值为____________；函数

10

27yxx

x

的最

大值为_________。

8.函数

x

xy

4

32的最大值为。

9、若14x，则

22

222







x

xx

y的最值是。

10.函数x

x

y2

2

sin4

sin

9

的最小值是。

11.若不等式

22

2

9t

t

a

t

t





在2,0t上恒成立，则

a

的取值范围是。

12.求函数1

1

161

2





x

x

x

x

xxf的最值。

13.的值域时，求，当

14

2

)()10(





x

x

xfx

14.的值域求

3

1

)(

2

2





xx

xxxf