空间点到直线的距离公式

空间点到直线的距离公式

-b模

高一数学◆必修2◆导学案编写、校审：高一数学备课组

1

§4.3空间直线坐标系§4.3.2空间两点间的距离公式

课前预习案

一、预习目标

1.用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法．

2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐

标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．

二、预习内容（预习教材P

134

~P

138

，回答下列问题）

1．如何确定一个点在一条直线上的位置？。

2．如何确定一个点在一个平面内的位置？。

3.从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴：x轴,y轴,z轴.这样就建

立了，点O叫作，x轴、y轴、z轴叫作，这三条坐

标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为,,.

4.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指

向z轴的正方向则称这个坐标系为。

5.空间任意点A的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做

点A在此，记作。其中x叫做点A的，y

叫做点A的，z叫做点A的。

6.空间两点间的距离公式。

三、小试牛刀

1.关于空间直角坐标系叙述正确的是（）.

A．

(,,)Pxyz

中,,xyz的位置是可以互换的

B．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系

C．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分

D．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同

2.已知点

(3,1,4)A

，则点A关于原点的对称点的坐标为（）.

A．

(1,3,4)

B．

(4,1,3)

C．

(3,1,4)

D．

(4,1,3)

3.坐标原点到下列各点的距离最小的是（）

Ａ．

(111)，，

Ｂ．

(122)，，

Ｃ．

(235)，，

Ｄ．

(304)，，

4.在空间直角坐标系中，画出下列各点：

A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2）．

四、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请写下来：

课内学习案

一、学习目标

1.让学生用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方

法产生和发展的过程．

2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐

标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．

3.通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式

学习重点：求一个几何图形的空间直角坐标。

学习难点：掌握空间直角坐标系中两点间的距离公式及推导，并能利用公式求空间中两点的

距离.

2011年下学期月日班级姓名第四章圆与方程

2

二、学习过程

学习探究1.

问题1．怎么样建立空间直角坐标系？

问题2．什么是右手表示法？

问题3．什么是空间直角坐标系，怎么表示？

思考：坐标原点O的坐标是什么？

讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程

学习探究2.

问题1．类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下空间两点),,(

1111

zyxP，

),,(

2222

zyxP间的距离公式吗？

新知．空间中任意一点),,(

1111

zyxP与点),,(

2222

zyxP之间的距离公式

21

PP

问题2．如果OP是定长

r

，那么2222rzyx表示什么图形？

注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；⑵公式中

1212

,,,xxyy

12

,zz可交换位置；⑶公式的证明充分应用矩形对角线长222abc这一依据.

典型例题

例1在长方体OBCDDABC



中，3,4OAOC



写出,,,DCAB

四点坐标.

讨论：若以C点为原点，以射线,,BCCDCC

方向分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，

则各顶点的坐标又是怎样的呢？

例2VABCD为正四棱锥，O为底面中心，若2,3ABVO，试建立空间直角坐标系，

并确定各顶点的坐标.

反思：

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例3求点P

1

(1,0,-1)与P

2

(4,3,-1)之间的距离及

21

,pp

的中点坐标。

例4在空间直角坐标系中，已知ABC的顶点分别是

15

(1,2,3),(2,2,3),(,,3)

22

ABC

.求证：

ABC是直角三角形.

反思：

当堂检测

1.点

(321)P，，

关于平面

xOy

的对称点是，关于平面

yOz

的对称点

是，关于平面zOx的对称点是，关于

x

轴的对称点

是，关于

y

轴的对称点是，关于

z

轴的对称点

是．

2.设有长方体ABCDABCD



，长、宽、高分别为4,3,5,ABcmADcmAAcmN



是线

段CC

的中点.分别以,,ABADAA

所在的直线为

x

轴，

y

轴，

z

轴，建立空间直角坐标系.

⑴求,,,,,,,ABCDABCD

的坐标；⑵求N的坐标；

3.在

z

轴上，求与两点

(4,1,7)A

和

(3,5,2)B

等距离的点.

4.如图，正方体''''CBADOABC的棱长为a,CNAN2,'2MCBM

,求MN的

长。

三．学习小结

1．空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，

另外要建立右手直角坐标系.。求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点

向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标.

2．关于一些对称点的坐标求法(,,)Pxyz关于坐标平面xoy对称的点

1

P（）；

(,,)Pxyz关于坐标平面yoz对称的点

2

P（）；(,,)Pxyz关于坐标平面xoz对称

的点

3

P（）；(,,)Pxyz关于x轴对称的点

4

P（）；(,,)Pxyz关

于y对轴称的点

5

P（）；(,,)Pxyz关于z轴对称的点

6

P（）

3．空间两点间的距离公式，如果

1111

(,,)Pxyz，

2222

(,,)Pxyz，则两点间的距离为

2011年下学期月日班级姓名第四章圆与方程

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12

PP.

课后练习案

1.（ABC）在空间直角坐标系中，点

(123)P，，

，过点

P

作平面

xOy

的垂线

PQ

，则

Q

的

坐标为（）

Ａ．

(020)，，

Ｂ．

(023)，，

Ｃ．

(103)，，

Ｄ．

(120)，，[高考学习网XK]2.（ABC）空间两点

(3,2,5),(6,0,1)AB

之间的距离（）.

A．6B．7C．8D．9

3.（ABC）在

x

轴上找一点P，使它与点

0

(4,1,2)P

的距离为30，则点P为（）.

A．

(9,0,0)

B．

(1,0,0)

C．

(9,0,0)(1,0,0)

D．都不是

4.（ABC）设点B是点

(2,3,5)A

关于xoy面的对称点，则AB（）.

A．10B．10C．38D．38

5.（ABC）已知ABCD为平行四边形，且

(4,1,3),(2,5,1)AB

，

(3,7,5)C

则顶点D的坐

标.

6.（ABC）已知

(3,5,7)A

和点

(2,4,3)B

，则线段AB在坐标平面yoz上的射影长度

为.

7.（ABC）已知ABC的三点分别为

(3,1,2),(4,2,2)AB

，

(0,5,1)C

则BC边上的中线长

为.

8.（AB）已知空间三点的坐标为

)2,5,1(A

，

)1,4,2(B

，

)2,3,(qpC

，若A，B，C三点

共线，则

p

，

q

9.（ABC）在四棱锥ABCDP中，底面ABCD为正方形，且边长为a2，棱PD底面

ABCD，bPD2，取各侧棱的中点E，F，G，H，建立适当的空间直角坐标系，并写出

E，F，G，H的坐标。

10.（ABC）求证：以

(419)A，，

，

(1016)B，，

，

(243)C，，

为顶点的三角形是

等腰直角三角形．