椭圆性质
-如何看走势图
2023年2月15日发(作者：广东机械技师学院).
1/6
椭圆
一.考试必"背〞
1椭圆的两种定义：
①平面内与两定点F
1
,F
2
的距离的和等于定长
21
2FFa的点的轨迹,即点集M={P|
|PF
1
|+|PF
2
|=2a,2a＞|F
1
F
2
|}；〔
21
2FFa时为线段
21
FF,
21
2FFa无轨迹〕.其中两定
点F
1
,F
2
叫焦点,定点间的距离叫焦距.
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹,即点集
M={P|
e
d
PF
,0＜e＜1的常数.〔1e为抛物线；1e为双曲线〕
2标准方程：
〔1〕焦点在x轴上,中心在原点：1
2
2
2
2
b
y
a
x
〔a＞b＞0〕；
焦点F
1
〔－c,0〕,F
2
〔c,0〕.其中22bac〔一个Rt〕
〔2〕焦点在y轴上,中心在原点：1
2
2
2
2
b
x
a
y
〔a＞b＞0〕；
焦点F
1
〔0,－c〕,F
2
〔0,c〕.其中22bac
注意：①在两种标准方程中,总有a＞b＞0,22bac并且椭圆的焦点总在长轴上；
②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1〔A＞0,B＞0,A≠B〕,当A＜B时,
椭圆的焦点在x轴上,A＞B时焦点在y轴上.
3．参数方程：椭圆1
2
2
2
2
b
y
a
x
)0(ba的参数方程
4.性质：对于焦点在x轴上,中心在原点：
1
2
2
2
2
b
y
a
x
〔a＞b＞0〕有以下性质：
坐标系下的性质：
①X围：|x|≤a,|y|≤b；
②对称性：对称轴方程为x=0,y=0,对称中心为O〔0,0〕；
③顶点：A
1
〔-a,0〕,A
2
〔a,0〕,B
1
〔0,-b〕,B
2
〔0,b〕,长轴|A
1
A
2
|=2a,短轴|B
1
B
2
|=2b；〔
a
半长轴长,b半短轴长〕；
④准线方程：
c
a
x
2
；或
c
a
y
2
⑤焦半径公式：P〔x
0
,y
0
〕为椭圆上任一点.|PF
1
|=
左
r=a+ex
0
,|PF
2
|=
右
r=a-ex
0
；
|PF
1
|=
下
r=a+ey
0
,|PF
2
|=
上
r=a-ey
0;caPFcaPF
minmax
,
平面几何性质：
.
2/6
⑥离心率：e=
a
c
〔焦距与长轴长之比〕1,0；
e
越大越______,0e是_____.
⑦焦准距
c
b
p
2
；准线间距
c
a22
二、焦点三角形
结论一：若
1
F、
2
F是椭圆)0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
的两个焦点,P是椭圆上一点,且
21
PFF,当点P位于___________时最大,cos=______________.
|PF
1
||PF
2
|的最大值为______________.
2
tan2
21
bS
PFF
结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径最短,通径为__________.
结论三：已知椭圆方程为),0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
两焦点分别为,,
21
FF设焦点三角形
21
FPF,,,
1221
FPFFPF则椭圆的离心率
sinsin
)sin(
e.
结论四：四心的轨迹
、)0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
焦点三角形内心的轨迹与其方程
1
)(2
22
2
2
2
ca
cb
y
c
x
．
、)0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
焦点三角形重心的轨迹与其方程：
、)0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
焦点三角形垂心的轨迹与其方程：
、)0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
焦点三角形的外心的轨迹与其方程
2sin
2sin2
bc
y
b
〔
22
||
2
bc
y
b
〕．
三．中点弦问题
AB是椭圆
22
22
1(0)
xy
ab
ab
的一条弦,中点M坐标为
00
(,)xy,则直线的斜率为.
四．弦长问题.
斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点
111
(,)Pxy,
222
(,)Pxy,则所得的弦长
.
3/6
或.
当直线的斜率不存在时,可求出交点的坐标,直接运算；
经过圆锥曲线的焦点的弦的长度问题,可利用圆锥曲线的定义,将其
转化为利用,往往比利用弦长公式简单.
五．X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：
已知椭圆)0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
,则点到椭圆的最短距离为：_________________.
六．过椭圆上点切线问题
若000
(,)Pxy
在椭圆
22
22
1
xy
ab
上,则过0
P
的椭圆的切线方程是
00
22
1
xxyy
ab
.
习题
1、已知椭圆方程
1
925
2
2
y
x
,椭圆上点M到该椭圆一个焦点的距离是2,N是MF
1
的中点,O是椭圆
的中心,那么线段ON的长是〔〕
〔A〕2〔B〕4〔C〕8〔D〕
2
3
2．点P是椭圆
1
1625
22
yx
上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且△PF
1
F
2
的内切圆半径为1,当P在
第一象限时,P点的纵坐标为_______________.
3.〔20
卷理〕已知1
F
、2
F
是椭圆
1:
2
2
2
2
b
y
a
x
C
〔
a
＞
b
＞0〕的两个焦点,
P
为椭圆
C
上
一点,且21
PFPF
.若21
FPF
的面积为9,则
b
=____________.
4.〔2009文〕椭圆
22
1
92
xy
的焦点为12
,FF
,点P在椭圆上,若1
||4PF
,则2
||PF
；12
FPF
的
大小为.
4．已知椭圆1
916
22
yx
的左、右焦点分别为
1
F、F2,点P在椭圆上,若P、F1、F2是一个直角三
角形的三个顶点,则点P到
x
轴的距离为〔〕
〔A〕
5
9
〔B〕3〔C〕
7
79
〔D〕
4
9
5．椭圆
1
49
22
yx
的焦点1
F
、2
F
,点
P
为其上的动点,当∠1
F
P2
F
为钝角时,点
P
横坐标的取
值X围是_______________..
6.椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,离心率√3/2,椭圆上各点到直线l的最短距离为1,则该椭圆方程
.
4/6
是？直线l为x-y+
5
＋
2
＝0
7.设点P〔x,y〕在椭圆1
9
y
16
x2
2
,〔1〕试求点P到直线05yx的距离d的最大值和最小
值.求x+2y的最小值
8．已知椭圆
22
22
:1(0)
xy
Cab
ab
＞＞
的离心率为
3
2
,过右焦点
F
且斜率为
(0)kk＞
的直线与
C
相交于
AB、
两点．若
3AFFB
,则
k
〔A〕1〔B〕
2
〔C〕
3
〔D〕2
9.已知点P是椭圆方程x2/3+y2=1上的动点,M,N是直线L：y=x上的两个动点,且满足|MN|=t,则
〔1〕存在实数t使△MNP为正三角形的点仅有一个
〔2〕存在实数t使△MNP为正三角形的点仅有两个
〔3〕存在实数t使△MNP为正三角形的点仅有三个
〔4〕存在实数t使△MNP为正三角形的点仅有四个
〔5〕存在实数t使△MNP为正三角形的点有无数个
上述命题中正确的序号是________________.
10.在平面直角坐标系
xOy
中,点
B
与点A〔-1,1〕关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜
率之积等于
1
3
.
求动点P的轨迹方程；
设直线AP和BP分别与直线
x
=3交于点M,N,问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的
面积相等？若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明理由
11.〔2007##理〕设1
F
、2
F
分别是椭圆
1
4
2
2
y
x
的左、右焦点.
〔Ⅰ〕若
P
是该椭圆上的一个动点,求1
PF
·2
PF
的最大值和最小值;
〔Ⅱ〕设过定点
)2,0(M
的直线
l
与椭圆交于不同的两点
A
、
B
,且∠
AOB
为锐角〔其中
O
为
坐标原点〕,求直线
l
的斜率
k
的取值X围.〔最值、求取值X围〕
12.〔本小题共14分〕
已知椭圆的中心在原点
O
,焦点在x轴上,点
A
〔
)0,32
是其左顶点,点
C
在椭圆上,且
0COAC
,
||||COAC
．
〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕若平行于
CO
的直线
l
和椭圆交于
NM,
两个不同点,求
CMN
面积的最大值,并求此时直
.
5/6
线
l
的方程．〔最值〕
13.〔2009##文〕〔本题满分15分〕已知抛物线
C
：
22(0)xpyp
上一点
(,4)Am
到其焦点的
距离为
17
4
．〔I〕求
p
与
m
的值；
〔II〕设抛物线
C
上一点
P
的横坐标为
(0)tt
,过
P
的直线交
C
于另一点
Q
,交
x
轴于点
M
,
过点
Q
作
PQ
的垂线交
C
于另一点
N
．若
MN
是
C
的切线,求
t
的最小值．
SJS14．〔本题满分14分〕
已知椭圆
22
22
1(0)
xy
ab
ab
的离心率为
6
3
,长轴长为
23
,直线
:lykxm
交椭圆于不
同的两点
A
,
B
．
〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕若
1m
,且
0OAOB
,求
k
的值〔
O
点为坐标原点〕；
〔Ⅲ〕若坐标原点
O
到直线
l
的距离为
3
2
,求
AOB
面积的最大值．
FT15、〔13分〕在直角坐标系
xOy
中,点
M
到F
1
(3,0)
、F
2
(3,0)
的距离之和是4,点
M
的轨
迹
C
与
x
轴的负半轴交于点
A
,不过点
A
的直线
l
：
ykxb
与轨迹
C
交于不同的两点
P
和
Q
．
〔1〕求轨迹
C
的方程；
〔2〕当
0APAQ
时,求
k
与
b
的关系,并证明直线
l
过定点．〔过定点〕
16.〔12分〕已知点
)1,1(A
是椭圆
)0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
上的一点,1
F
,2
F
是椭圆的两个焦点,且
满足
4
21
AFAF
.
求椭圆的方程与离心率;
设点
C
,
D
是椭圆上的两点,直线
AC
,
AD
的倾斜角互补,试判断直线
CD
的斜率是否为定值?
并说明理由.〔定值〕
17.
.
6/6
已知椭圆
22
22
1
xy
ab
<
a
＞
b
＞0>的离心率
3
2
e
,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
求椭圆的方程；
设直线
l
与椭圆相交于不同的两点
,AB
．已知点
A
的坐标为<-
a
,0>,点
Q
<0,0
y
>在线段
AB
的垂直平分线上,且
QAQB
=4．求0
y
的值．