隐函数的求导法则
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2023年2月15日发(作者：思念家乡的诗歌)...
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z...
河北地质大学
课程设计（论文）
题目：隐函数求偏导的方法
学院：信息工程学院
专业名称：电子信息类
小组成员：史秀丽
角子威
季小琪
2016年05月27日
...
.
z...
摘要.........................................................................................................................3
一．隐函数的概念..............................................................................................3
二．隐函数求偏导..............................................................................................3
1.隐函数存在定理1..................................................................................3
2.隐函数存在定理2..............................................................................4
3.隐函数存在定理3.....................................................................................4
三.隐函数求偏导的方法..................................................................................5
1.公式法..........................................................................................................5
2.直接法..........................................................................................................6
3.全微分法......................................................................................................6
参考文献................................................................................................................8
...
.
z...
摘要
本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的
方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导
关键字：隐函数偏导数方法
一．隐函数的概念
一般地，如果变量yx和满足方程0,yxF，在一定条件下，当x取某区间的任一
值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程0,yxF在该区间内确
定了一个隐函数。例如，方程013yx表示一个函数，因为当变量
x
在，内取
值时，变量y有确定的值与其对应。如等时时321,10yxyx。
二．隐函数求偏导
1.隐函数存在定理1设函数0),(yxF在P（x。，y。）在某一领域内具有连续偏导数，
且0),(
yxF，0),(
yxF
y
，则方程0),(yxF在点（x。，y。）的某一领域内恒能唯
一确定一个连续且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(
xfy，并有
yx
y
F
F
d
d
x。
例1:验证方程2x-2y=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1
时y=1的隐函数y=
)(x
f，并求该函数的导数
dx
dy
在x=1处的值。
解令
),(yx
F=2x-2y,则
x
F=2x，
y
F=-2y，
)1,1(
F=0，
)1,1(y
F=-2≠0
由定理1可知，方程2x-2y=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，
当x=1时，y=1的隐函数为y=x，且有
dx
dy
=
y
x
F
F
=
y
x
2
2
=
y
x
...
.
z...
故
1=xdx
dy
=
)1,(!y
x
=1
2.隐函数存在定理2设函数zyxF,,
在点）（
zyxP,,的某一邻域内具有连续偏
导数，且
）（
zyxF,,
=0，0,,）（
zyxF
z
，则方程0,,zyxF在点
zyx,,的某一邻域
内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数yxfz,,它满足条件
yxfz,并
有
z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
,。
例2：设函数yxzz,由方程zyxzxy2所确定，求
y
z
解：设zyxzxyzyxF2,,
则012xyF
z
（将x，y当常数，对z求偏导）
12xyzF
z
（将x，y当做常数，对y求偏导）
根据定理2：
221
12
1
12
xy
xyz
xy
xyz
F
F
y
z
z
y
3.隐函数存在定理3设vuyxF,,,、vuyxG,,,在点
0000
,,,vuyxP的某一邻域
内具有对各个变量的连续偏导数，又0,,,,0,,,
00000000
vuyxGvuyxF，且偏导数所
组成的函数行列式（或称雅可比
(Jacobi)）
v
F
v
G
u
F
u
Gvu
GF
J
,
,
在点
0000
,,,vuyxP不等于零，则方程组0,,,,0,,,
00000000
vuyxGvuyxF在点
0000
,,,vuyx的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数
),(),,(yxvvyxuu,它们满足条件),(
000
yxuu，),(
000
yxvv，并有
...
.
z...
GvGu
FvFu
GvGx
FvFx
vx
GF
J
u
),(
),(1
x
GvGu
FvFu
GxGu
FxFu
xu
GF
J
v
),(
),(1
x
GvGu
FvFu
GvGy
FvFy
vy
GF
J
u
),(
),(1
y
GvGu
FvFu
GyGu
FyFu
yu
GF
J
v
),(
),(1
y
例3：设1,0xvyuyvxu，求.,,,
y
v
x
v
y
u
x
u
解：
u
x
v
y
x
u
x
v
x
v
x
x
u
y
y
x
v
x
u
xu
x
v
xv
x
u
y
x
yvxu
xvyu
0
0
0
1
求导方程两边对
由定理3可求
022
JyxJy
x
x
y
v
F
v
G
u
F
u
G
且
则
22yx
yvxu
x
u
y
x
x
y
y
x
u
v
22yx
xvyu
x
v
y
x
x
y
u
v
x
y
v
y
v
y
y
u
x
u
y
v
x
y
u
y
y
v
yv
y
u
x
y
v
x
y
u
yu
yvxu
xvyu
0
0
y
0
1
求导方程两边对
同上可求得
22yx
yuxv
y
u
22yx
yuxv
y
v
三.隐函数求偏导的方法
1.公式法：即将方程中所有非零项移到等式一边，并将其设为函数F,注意应将x,y,z看作
...
.
z...
独立变量，对F(x,y,z)=0分别求导，利用公式=
x
z
-
Z
X
F
F
,=
y
z
-
z
y
F
F
。
类型条件公式
0,yxF
00
xy
FF或
x
y
y
x
F
F
dx
dy
F
F
dx
dy
或
类型条件公式
0,,zyxF
0
x
F
x
z
x
y
F
F
z
x
F
F
y
x
,
0
y
F
y
z
y
x
F
F
z
y
F
F
x
y
,
0
z
F
z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
,
0,,,
0,,,
vuyxF
vuyxG
0
,
v
F
v
G
u
F
u
Gvu
GF
J
，
vx
GF
Jx
u
,
,1
，
xu
GF
Jx
v
,
,1
vy
GF
Jy
u
,
,1
，
yu
GF
Jy
v
,
,1
2.直接法：分别将F(x,y,z)=0两边同时对x,y看作独立变量，z是x,y的函数，得到含
y
z
x
z
,
的
两个方程，解方程可求出
y
z
x
z
,
.
3.全微分法：利用微分形式的不变性，对所给方程两边求微分，整理成
,),,(),,(dyzyxvdxzyxudz+=则
dydx,
的系数便是
y
z
x
z
,
，在求全微分时，z应看做自变量.
例1.已知
x
y
yxarctanln22=+
，求
2
2
dx
yd
.
解.方法一：
令22ln),(yxyxF+=
-
)ln(
2
1
arctan22yx
x
y
+=
x
y
arctan
则
2222
),(,),(
yx
xy
yxF
yx
yx
yxF
yx
所以=
dx
dy
y
x
F
F
xy
yx
...
.
z...
上式再对x求导得
3
22
2
'
2
2
)(
)(2
)(
22
yx
yx
yx
yxy
dx
yd
方法二：
方程,0arctanln22
x
y
yx两端分别对x求导得
22
'
yx
yyx
0
22
'
yx
yxy
yx
yx
dx
dy
3
22
2
'
2
2
)(
)(2
)(
22
yx
yx
yx
yxy
dx
yd
方法三：
方程
x
y
yxarctanln22，两端分别求微分得
)(arctan)(ln22
x
y
dyxd
利用全微分不定性，上式化为
x
y
d
x
y
yx
dydx
2
2
22
22
1
1
2
1
由全微分运算法则计算并化简得
3
22
2
'
2
2
)(
)(2
)(
22
)()(
yx
yx
yx
yxy
dx
yd
xy
yx
dx
dy
dxyxdyyx
...
.
z...
参考文献
【1】同济大学数学系.高等数学第七版下册【M】
：高等教育出版社，2014.7
【2】段生贵，曹南斌.高等数学学习指导【M】
：电子科技大学出版社，2014.8
【3】邵燕南.高等数学【M】
：高等教育出版社，2014.7
【4】王顺风，吴亚娟.高等数学【M】
：东南大学出版社，2014.5
【5】陈纪修，於崇华，金路.数学分析【M】
：高等教育出版社，2004.4