相似三角形教案

相似三角形教案

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2023年2月15日发(作者：CIST)

§

第一课时

学习目标

知识与技能

理解并掌握相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）之间的关系，掌握定理的证明方

法，并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质，提高分析和推理的能力。

过程与方法

在对性质定理的探究中，学生经历“观察--猜想--论证--归纳”的过程，培养学生主动探究、

合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇

于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力。

情感、态度与价值观

1、在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律。

2、通过学生之间的合作交流使学生体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心。

教学重难点

重点

相似三角形性质定理的探究及应用

难点

综合应用相似三角形的性质与判定定理探索相似三角形中对应线段之间的关系。

教学准备

多媒体课件、、三角板、铅笔、橡皮等。

教学方法

问题教学法、观察法、合作探究式教学法等。

教学过程

一、复习回顾

1、相似三角形的判定方法有哪些？

2、相似三角形中有哪些性质？

3、三角形中的相关线段有哪些？

同学交流后找同学一一回答。

二、问题引入

如图所示△ABC∽△A′B′C′，除对应角相等,对应边成比例外,还有哪些性质呢?这就是今

天这节课我们要学习的内容。板书课题：§。

三、共同探究，获取新知

（1）探究活动1、相似三角形对应边上的高有什么关系呢？

幻灯片出示：

如图，△ABC∽△A′B′C′,相似比为k，则对应边上的高有什么关系呢？说说你判断

的理由是什么？

师：这个题目中已知了哪些条件？

生：△ABC∽△A'B'C',相似比为k，AD和A´D´分别是它们的高。

师：我们要证的是什么？

生：它们的高的比等于它们的对应边的比，等于这两个三角形的相似比。

师：你是怎样证明的呢？请同学们思考，交流。

找一位同学口头表述证明过程，老师板书：

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，

∴∠B=∠B´.

又∵AD和A´D´分别是它们的高，

A

B

C

A´

B´

C´

A

B

D

C

B’

D′

C’

A′

∴∠ADB=∠A´D´B´=90°

∴ΔADB∽ΔA´D´B´（两角对应相等的两个三角形相似)

∴

K

BA

AB

DA

AD



''''

由此归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。

（2）探究活动2、相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？

幻灯片出示：

已知△ABC∽△A′B′C′′D′分别是它们的对应中线,那么CD和C′D′有什么关系

呢?你能说明理由吗？

请各小组同学讨论交流，选一个小组的一名同学在黑板上板书出证明过程。

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，

∴∠B=∠B´，

K

BA

AB

CB

BC



''''

.

又∵CD,C’D’分别是它们的中线，

∴BD=

2

1BA,B’D’=

2

1B’A’,

K

AB

BA

AB

BA

DB

BD

''''

2

1

2

1

''

∴ΔCBD∽ΔC’B’D’.(两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似）

∴

K

CB

BC

DC

CD



''''

由此归纳：相似三角形对应边上的中线的比等于相似比。

（3）探究活动3、相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？

幻灯片出示：

D

B

A

C

D’

C’

B’

A’

已知△ABC∽△A′B′C′,相似比为k.

如果CD和C′D′分别是它们的对应角平分线,那么CD和C′D′有什么关系呢?

请各小组同学讨论交流，选一个小组的一名同学在黑板上板书出证明过程。

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，

∴∠A=∠A’,∠ACB=∠A’C’B’.

又∵CD,C’D’分别是它们的角平分线，

∴∠ACD=2

1

∠ACB,∠A’C’D’=2

1

∠A’C’B’.

∴∠ACD=∠A’C’D’.

∴ΔACD∽ΔA’C’D’.（两角对应相等的两三角形相似）

∴

K

CA

AC

DC

CD



''''

.

由此归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比。

（4）通过以上三个探究活动，带领同学们一起归纳总结：（幻灯片出示）

相似三角形的性质定理1：

相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

提醒同学们要特别注意“对应”二字！

四、课堂练习，巩固新知

课堂练习(1)

1、两个相似三角形对应边的比为3:5，那么相似比为_____，对应边上的高之比为

____，对应边上的中线比为______，对应角的角平分线的比为______。

D’

C’

D

B

A

C

B’

A’

2、两个相似三角形对应角的角平分线的比为1:4，可直接得到对应边上的高之比为

____，对应边上的中线的比为____。

课堂练习(2)

如图，电灯A在横杆DE的正上方，DE在灯光下的影子为BC且DE∥BC，DE＝2m,BC＝5m.

点A到DE的距离为1m，则A到BC的距离为_____.

课堂练习(3)

如图是一个照相机成像的示意图。如果底片AB宽35mm，焦距是70mm，拍摄5m外的景

物A′B′有多宽？如果焦距是50mm呢？

以上问题由学生先自主解答，然后由老师提问并评讲。

五、课堂小结

师：这节课你学到了什么？请自主小结。

主要内容：

相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

六、课下作业

1、基础训练70面5、6、7三题。

2、探究思考题：

(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.求Rt△ABC内接正方形的边长。

A

BC

DE

(2)如图，在Rt△ABC内画有边长为9,6，x的三个正方形，则x的值为多少？

七、教学反思

在本节课的教学中，我先让学生回顾了相似三角形的性质即对应角相等，对应边成比例，

以及相似三角形的判定定理，这为后面的证明做了铺垫。在已有知识的基础上用类比联想的

思想去探究新知，让学生充分体会数学知识之间的内在联系，达到了顺理成章的效果，以此

激发学生的学习兴趣，使课堂气氛活跃起来，尤其让学生亲自板演证明过程，以此展示他们

的学习所得，并呈现出了学生易错的地方，使学生的薄弱环节得到加强，同时又将课堂回归

学生，使学生成为学习的主人。在课堂上，给予学生肯定，赞扬和鼓励也在学生情感上收到

了良好的效果。

B

C

A

9

6

x

类型一：相似三角形的判定方法

Ⅰ

（一）.三角形中的平行线

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条

直线平行于三角形的第三边。

【经典例题1】如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是：___________

A

AD

AB

AE

AC

B

CE

CF

EA

FB

..

C

DE

BC

AD

BD

D

EF

AB

CF

CB

..

【搭配练习1】将三角形ABC纸片的一面沿DE向下翻折，使点A落在BC边上，且DE平行

于BC，则下列结论中不成立是（）

A

、角

AED=

角

CB

、

AD/DB=DE/BC

C

、

DE=1/2BCD

、三角形

ADB

是等腰三角形

【搭配练习

2

】如图在□

ABCD

中

P

，

Q

三等分

AC

，

DP

的延

长线交

BC

于

E

，

EQ

的延长线交

AD

于

F

，已知

BC=18

，求

AF

的长。

（二）两角对应相等，三角形相似

【经典例题1】如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上

一点，且∠APD=60°，

BPCDABC1

2

3

，，求△的边长。

【搭配习题】如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B

以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同

时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明

理由．

（三）两边对应成比例，夹角相等，三角形相似

【典型例题1】已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作

∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD

求证：△DBE∽△ABC

【典型例题2】如图，△ABC中，若a∶b∶c=4∶5∶6,

求证：∠ACB=2∠A

【搭配练习1】如图，△ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，∠B=75°，∠CDB=60°，求证：

△ABC∽△CBD。

B

【搭配练习2】如图，Rt△ABC是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC交斜边

于点E，CC的延长线交BB于点F．

（1）证明：△ACE∽△FBE；

（2）设∠ABC=，∠CAC=，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE

是全等三角形，并说明理由．

（四）三边对应成比例，三角形相似

【经典例题1】下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）

【搭配练习1】一个铁质三角形框架三边长分别为24cm,30cm,36cm，要估做一个与它相似的铁

质三角形框架，现有长为27cm,45cm,的两根铁材，要求以其

中的一根为边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外

两边，截法有（）

A,0B,1C,2

D,3

【搭配练习2】如图：四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，（1）求证：△AEF∽

△CEA。

（2）求证：∠AFB+∠ACB=45°。

（A）．（B）．（C）．（D）．

【搭配练习3】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF

的顶点都在方格纸的格点上．

(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

(2)P

1

，P

2

，P

3

，P

4

，P

5

，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个

点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，

并在图中连结相应线段，不必说明理由

类型二：相似三角形的性质

（一）相似证线段成比例

【典型例题1】如图，EF∥BC，若

AE∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,

则AM∶AN=________,BN∶NC=________

【典型例题2】已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线，交BC延长线于

E.求证：DE2=BE·CE.

A

C

B

F

E

D

P1

P2

P3

P4

P5

【搭配练习1】如图四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线OG∥AB交BC于E，交

AD于F，交CD的延长线于G，求证：OG2=GE·GF.

【搭配练习2】已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC

于点E，交BA的延长线于点D。

求证：（1）MA2=MD•ME；（2）

MD

ME

AD

AE



2

2

（二）相似证角相等

【经典例题1】已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且

3

1



AD

AF

AB

EB

。

求证：∠AEF=∠FBD

【搭配练习

1

】如图一

,

等边三角形

ABC

中

,D

是

AB

边上的动点

,

以

CD

为一边

,

向上作等边三角形

EDC,

连结

AE.

A

B

C

D

E

M

1

2

A

BC

D

E

F

G

(1)

求证

:AE//BC;

(2)

如图二

,

将

(1)

中等边三角形

ABC

的形状改成以

BC

为底边的等腰三角形

,

所作三角形

EDC

该

成相似于三角形

ABC.

请问

:

是否仍有

AE//BC?

证明你的结论。

（三）相似证线段相等

【经典例题1】直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE

是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求

证：FC=FG

【搭配练习1】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD

于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·AD=16，AB45。（1）

求证：CE=EF。（2）求EG的长。

【搭配练习2】已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底

平行，交AB于E，交CD于F。求证：OE=OF。

A

B

C

D

F

G

E

（四）相似得到两线平行

【经典例题】已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求

证：AF∥CD

【搭配练习】如图，△ABC

中，P是中线AD上的任意一点，BP，CP的延长线

分别与AC，AB相交于E，F，求证：EF∥BC

（四）相似中的面积与周长比

【经典例题1】.已知平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，

求△AEF与△CDF的周长比，如果S

△AEF

=6cm2,求S

△CDF

.

【搭配练习1】如图，△ABC中，AD∥BC，连结CD交AB于E，

O

A

B

C

D

E

F

且AE∶EB=1∶3，过E作EF∥BC，交AC于F，S

△ADE

=2cm2，求S

△BCE

，S

△AEF

.

【搭配练习2】如图，在梯形AGHB中，AB∥CD∥EF∥GH，且面积S

1

=S

2

=S

3

求证：AB2+GH2=CD2+EF2

类型三：相似中常见的图形

（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC

（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；

E

A

D

C

B

E

A

D

C

B

A

D

C

B

（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．

（4）当

ADAE

ACAB

或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．

A

D

CB

E

A

D

CB

【搭配练习】1

、如图

1,

∠

ADC=

∠

ACB=900,

∠

1=

∠

B,AC=5,AB=6,

则

AD=______.

2.

如图

2,AD

∥

EF

∥

BC,

则图的相似三角形共有

_____

对

.

3.

如图

3,

正方形

ABCD

中

,E

是

AD

的中点

,BM

⊥

CE,AB=6,CE=

35,

则

BM=______.

4.ΔABC

的三边长为2,10,2,ΔA'B'C'

的两边为

1

和5,

若

ΔABC

∽

ΔA'B'C',

则

ΔA'B'C'

的笫三边

长为

________.

5.

两个相似三角形的面积之比为

1

∶

5,

小三角形的周长为

4,

则另一个三角形的周长为

_____.

6.

如图

4,RtΔABC

中

,

∠

C=900,D

为

AB

的中点

,DE

⊥

AB,AB=20,AC=12,

则四边形

ADEC

的面积为

__________.

7.

如图

5,RtΔABC

中

,

∠

ACB=900,CD

⊥

AB,AC=8,BC=6,

则

AD=____,CD=_______.

8.

如图

6,

矩形

ABCD

中

,AB=8,AD=6,EF

垂直平分

BD,

则

EF=_________.

9.

如图

7,ΔABC

中

,

∠

A=

∠

DBC,BC=,S

ΔBCD∶

S

ΔABC

=2

∶

3,

则

CD=______.

10.

如图

8,

梯形

ABCD

中

,AD

∥

BC,

两腰

BA

与

CD

的延长线相交于

P,PF

⊥

BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,

则

PF=_____.

11.

如图

9,ΔABC

中

,DE

∥

BC,AD

∶

DB=2

∶

3,

则

S

ΔADE∶

S

ΔABE

=___________.

12.

如图

10,

正方形

ABCD

内接于等腰

ΔPQR,

∠

P=900,

则

PA

∶

AQ=__________.

13.

如图

11,ΔABC

中

,DE

∥

FG

∥

BC,AD

∶

DF

∶

FB=1

∶

2

∶

3,

则

S

四边形DFGE

∶

S

四边形FBCG

=_________.

14.

如图

12,ΔABC

中

,

中线

BD

与

CE

相交于

O

点

,S

ΔADE

=1,

则

S四边形BCDE

=________.

15.

已知

:

如图

,ΔABC

中

,CE

⊥

AB,BF

⊥

AC.

求证

:ΔAEF

∽

ΔACB.

E

A

F

DC

B

16.

已知

:

如图

,ΔABC

中

,

∠

ABC=2

∠

C,BD

平分∠

ABC.

求证

:AB·BC=AC·CD.

17

．已知

:

如图

,CE

是

RtΔABC

的斜边

AB

上的高

,BG

⊥

AP

。

求证

:(1)CE2=AE·EB;(2)AE·EB=ED·EP

18.已知，如图，在△ABC中，D为BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，

•EC与AD相交于点F．

（1）求证：△ABC∽△FCD；

（2）若S△FCD

=5，BC=10，求DE的长。

类型五：相似中常用的辅助线作法

【能力提升部分】

1.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B和C都为锐

角，M为AB一动点（点M与点AB、不重合），过点M作MNBC∥，交AC于点N，在

AMN△中，设MN的长为

x

，MN上的高为h．

（1）请你用含

x

的代数式表示h．

（2）将AMN△沿MN折叠，使AMN△落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的

点为

1

A，

1

AMN△与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当

x

为何值时，y最大，最大值为

多少？

2.如图，已知直线

1

28

:

33

lyx与直线

2

:216lyx相交于点Cll

12

，、

分别交

x

轴于

AB、两点．矩形DEFG的顶点DE、分别在直线

12

ll、上，顶点FG、都在

x

轴上，且点G

与点B重合．

（1）求ABC△的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从原点出发，沿

x

轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时

间为(012)tt≤≤秒，矩形DEFG与ABC△重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，

并写出相应的t的取值范围．

3.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿

AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C

时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

A

D

B

E

O

C

F

x

y

y1

l

y

2

l

（G）