矢量叉乘运算法则

矢量叉乘运算法则

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2023年2月15日发(作者：比较教育研究)

1

《微分几何简介》笔记

Ch.1矢量代数及其在解析几何中的简单应用

§1矢量代数

定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。

1.1直角坐标系-点的坐标与矢的分量

在三维空间中，取任意一点O和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位

矢量

1

e，

2

e，

3

e，构成一个直角坐标系（或标架）。用],,;[

321

eeeO表示；O称为的

原点，

1

e，

2

e，

3

e称为的基矢(或底矢)。

若P为空间任意一点，以O为始点，P为终点的矢量

OPr

称为P点在标架



里的径

矢。P点在



里的坐标

1

x，

2

x，

3

x就是r径矢在里的分量：

332211

eeerxxx

若P、Q为空间两点，它们在



里的径矢依次为

332211

eeerxxx，

332211

eeesyyy

则矢量

333222111

)()()(eeersxyxyxyOPOQPQ

其中

)3,2,1(ixy

ii

就是该矢量在



里的分量。各分量均为0的矢量称为零矢。

在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。

矢量

332211

eeeαaaa的长为

2

3

2

2

2

1

aaaα

若1α，

α

为单位矢量（幺矢）。0α，则

α/

i

a

叫做

α

在



里的方向余弦，它们是

α

和

1

e间的角],0[之间的余弦。零矢没有方向余弦。

1.2矢量的基本代数运算

现有矢量

332211

eeeαaaa和

332211

eeeβbbb，则

2

1）矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则。

333222111

)()()(eeeβαbababa

2）矢量差：矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算。

333222111

)()()(eeeβαbababa

3）纯量（或数量）乘矢量：若为纯量，则

332211

eeeαaaa

4）数积（点乘）：矢量α，β的数积是纯量

cos

332211

βαβαbababa

其中],0[是

α

，β之间的角。

矢量

α

，β相互垂直的充要条件是它们的数积等于零。零矢与任意矢量垂直。

矢量

α

和单位矢量

e

的数积等于

α

在

e

的方向的垂直投影。

5）矢积（叉乘）：矢量

α

，β的矢积是矢量

nβα

eee

βαsin

321

321

321



bbb

aaa

其中n为

α

，β不平行时，同时垂直于

α

，β的幺矢，且

α

，β，n按此次序构成右手

系。

αβα，ββα

矢量

α

，β相互平行的充要条件是它们的矢积等于零。零矢与任意矢量平行。

运算规律一览

若

α

，β，γ是任意矢量，，是任意纯量，则

1）结合律：

αα)()(

)()(γβαγβα

)()(βαβα

)()(βαβα

2）交换律：

αββα

3

αββα

必须注意：αββα

3）分配律：

ααα)(

βαβα)(

γαβαγβα)(

γαβαγβα)(

1.3混合积、三矢矢积、拉格朗日恒等式

1）混合积：已给三个矢量

α

，β，γ，则βα是矢量，γβα)(是纯量。若

i

a，

i

b，

i

c依此是

α

，β，γ的分量，则其混合积为

321

321

321

),,()(

ccc

bbb

aaa

γβαγβα

根据行列式性质，有

),,(),,(),,(),,(),,(),,(αβγγαββγαβαγαγβγβα

混合积),,(γβα的绝对值表示以

α

，β，γ为棱的平行六面体的体积。

三个矢量

α

，β，γ共面的充要调价是它们的混合积等于零。

若三个矢量

α

，β，γ共面，且

α

，β不平行，则γ是

α

，β的线性组合：

βαγ

2）三矢矢积：若

α

，β，γ是矢量，则三矢矢积为

αγββγαγβα)()()(

3)拉格朗日（Lagrange）恒等式：

))(())(()()(γβδαδβγαδγβα

特殊地

2222)()(βαβαβα

可以证明：只有零矢量同时垂直于三个不共面的矢量。

4

1.4对于空间的点、直线和平面的简单应用

不妨在标架],,;[

321

eeeO中来考察空间的点、直线和平面。

显然，空间的任意一点P可用其径矢

OPr

来表示。

1)令空间任意一直线经过某固定点

0

r，它与一单位矢量v平行，r为直线上任意点，

则该直线可表示为

vrrt

0

其中t是纯量。

以上方程称为直线的矢方程，其中t是参数，因而也叫做参数矢方程。

2)令空间任意一平面经过某固定点

0

r，它与一单位矢量n垂直，r为平面上任意点，

则该平面的矢方程为

0)(

0

rrn

注意：通常平面具有方向性，与n同向的一侧称为正侧。

另外，两点确定一条直线，三个不共线的点、两条相交直线、两条平行直线也可以确定

一个平面。

3)过点

1

r，作直线vrrt

0

的垂线，其垂足

vvrrrr])[(

0101





点到直线的距离

11

rr



d

4)点

1

r到平面0)(

0

rrn的距离

)(

01

rrnd

点到平面的垂足

nnrrrr])[(

0111





5)两相错直线

11101

αrrt与

22202

αrrt的公垂线单位矢量

21

21

αα

αα

n







它们间的最短距离

21

211020

),,(

αα

ααrr





d

5

§2坐标变换

2.1基矢变换

在研究齿轮啮合运动时，我们通常取三个标架，一个固定在空间，称为基础标架，另两

个分别和运动中的两个齿轮相固连。因此，有必要考察两个标架或坐标之间的相互关系。

设],,;[

321

eeeO，],,;[

321

eee







O为任意两个直角坐标系。考察基矢

321

,,eee

和

321

,,eee



之间的关系，设在坐标系里，标架

的基矢

321

,,eee



为

)3,2,1(

3

1







ia

j

jiji

ee

即





































































3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

e

e

e

e

e

e

aaa

aaa

aaa

则

321iii

aaa，，是

i

e



在坐标系里的分量，也是方向余弦，即

i

e



依次和

321

,,eee之间的角

的余弦：

)3,2,1,(



jia

ijji

ee

而在在坐标系

里，标架



的基矢

321

,,eee为

)3,2,1(

3

1









ia

j

jjii

ee

或





































































3

2

1

332313

322212

312111

3

2

1

e

e

e

e

e

e

aaa

aaa

aaa

若引进方阵的概念和符号，令























333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A，























332313

322212

312111

aaa

aaa

aaa

TA

则A，TA互为转置方阵，且

IAAT，IAAT

其中I表示三阶单位方阵。A和TA都是正常正交方阵表明：从一个坐标系的基矢到另一个

坐标系的基矢的变换是具有正常正交方阵的线性变换，称为正常正交变换。若从



到

的

基矢的变换方阵是A，则从

到



的基矢的变换方阵是TA。

6

设有三个坐标系，

和

，若从到

的基矢的变换方阵是A，从

到

的基

矢的变换方阵是B，则从到

的基矢的变换方阵为

BAC

2.2矢量的分量变换

设

1

x，

2

x，

3

x是任意矢量r在坐标系里的分量，则在坐标系

里的分量为





































































3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

x

x

x

aaa

aaa

aaa

x

x

x

或

AXX



2.3点的坐标变换

设任意点P在坐标系

],,;[

321

eeeO里的坐标是X，在坐标系],,;[

321

eee







O

里的坐标是X



，再设O点在

里的坐标是

0

X，则

AXXX



0

§3刚体变换

刚体是指在运动中，其上任意两点的距离始终保持不变的物体。通常我们假定齿轮是刚

体，齿轮运动是刚体运动。

设],,;[

321

eeeO为基础标架，],,;[

321

eee







O为与齿轮相固连的标架，那么，

研究齿轮运动的过程即可归结为

的运动的研究。标架

的原点和基矢在



里都是时间t

的函数，这样位置的变化，就叫做刚体位置变换或简称刚体变换。