反比例函数练习题

反比例函数练习题

-

1

反比例函数

知识点1反比例函数的定义

一般地，形如

x

k

y（k为常数，0k）的函数称为反比例函数，它可以从以下几

个方面来理解：

⑴x是自变量，y是x的反比例函数；

⑵自变量x的取值范围是0x的一切实数，函数值的取值范围是0y；

⑶比例系数0k是反比例函数定义的一个重要组成部分；

⑷反比例函数有三种表达式：

①

x

k

y（0k），

②1kxy（0k），

③kyx（定值）（0k）；

⑸函数

x

k

y（0k）与

y

k

x（0k）是等价的，所以当y是x的反比例函数

时，x也是y的反比例函数。

（k为常数，0k）是反比例函数的一部分，当k=0时，

x

k

y，就不是反比例函数了。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数

x

k

y（0k）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，

就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或

第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x，函数

值0y，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，

但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：

⑴列表；

⑵描点；

⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画

成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质

☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

2

反比例函数

x

k

y（0k）

k的符号0k0k

图像

性质

①

x

的取值范围是0x，

y的取值范围是0y

②当0k时，函数图像的

两个分支分别在第一、第

三象限，在每个象限内，y

随x的增大而减小。

①

x

的取值范围是0x，y

的取值范围是0y

②当0k时，函数图像的

两个分支分别在第二、第四

象限，在每个象限内，y随

x的增大而增大。

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k

时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，

由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。如

x

k

y

在第一、第三象限，则可知0k。

☆反比例函数

x

k

y（0k）中比例系数k的绝对值k的几何意义。

如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，

E、F分别为垂足，则

OEPF

SPEPFyxxy

矩形

k

☆反比例函数

x

k

y（0k）中，k越大，双曲线

x

k

y越远离坐标原点；k越小，

双曲线

x

k

y越靠近坐标原点。

☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直

线y=x和直线y=－x。

例题

【例1】如果函数222kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k的值是多

少？

3

【答案】由反比例函数的定义，得：











0

1222

k

kk

解得















0

2

1

1

k

kk或

1k

【例2】在反比例函数

x

y

1

的图像上有三点

1

x，

1

y，

2

x，

2

y，

3

x，

3

y。若

321

0xxx则下列各式正确的是（A）

A．

213

yyyB．

123

yyyC．

321

yyyD．

231

yyy

【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

知识点一：反比例函数的定义

例1：在下列函数中，是反比例函数的是。

（1）

3

x

y；（2）1

3

1



x

y；（3）

x

y

2

；（4）2

2

1

1xy；（5）

x

y

2

3

；

（6）

2

1

xy；（7）

2

8

x

y；（8）1xy；（9）2

x

y

；

例2：当

m

取何值时，1222mmxmmy是关于x的反比例函数？并求出其表达式。

知识点二：反比例函数表达式的确定

例3：由欧姆定律可知：电压不变时，电流强度I与电阻R成反比例。已知电压保持不变，

电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。（1）求I与R的函数关系式；（2）当R=5

欧姆时，求电流强度。

重点一：反比例函数与其他函数的综合应用

例1：已知

21

yyy，

1

y与x成正比例，

2

y与x成反比例，并且当x=2时，4y；

当1x时，5y.求y与x的函数表达式。

4

重点二：反比例函数的实际应用

例2：水产公司有一种海产品工艺2104千克，为寻求合适的销售价格，公司进行了8天的

试销，试销情况入下：

售价x

（元/千

克）

第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天

450125120

销售量

y/千克

300

观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画出这种海产品每天的销售情况量y（千克）与

销售价格x（元/千克）之间的关系。现假设这批海产品每天的销售量y（千克）与销售价

格x（元/千克）都满足这一关系。

（1）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；

（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都

按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？

练习：

1.已知函数7222kkxkky是关于x的反比例函数，求k的值。

2.已知定A（1，-k+2）在双曲线

x

k

y上，求常数k的值。

4、正比例函数0

11

kxky与反比例函数0

2

2k

x

k

y的图象交于A、B两点，点A

坐标为（2,1）.(1)求正比例函数、反比例函数的表达式（2）求点B的坐标。

5

5、已知

21

yyy，

1

y与x成反比例，

2

y与2x成正比例，且当x=-1时，5y；当1x

时，1y.求y与x的函数表达式。

6、已知一次函数0kbkxy

和反比例函数

x

k

y

2

的图象交于点A（1,1），求两

个函数的解析式。

7、已知正比例函数0kkxy和反比例函数

x

m

y的图象交于点（4，2）。

（1）求两个函数的解析式。

（2）这两个函数图象还有其他交点吗？若有，请求出交点的坐标，若没有，请说明理由。

知识点一：反比例函数的图象

例1：反比例函数反比例函数2213mxmy的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，

求反比例函数的解析式。

例2：在反比例函数

x

m

y

21

的图像上有A（

11

,yx），B（

22

,yx）两点，当

21

0xx时，有

21

yy，则m的取值范围是。

6

知识点二：反比例函数的性质

例3：设A（

11

,yx），B（

22

,yx）反比例函数

x

y

3

的图象上的任意两点，且

21

yy，

则

21

,xx可能满足的关系是（）

A、0

21

xxB、

21

0xxC、

12

0xxD、0

12

xx

知识点三：反比例函数0k

x

k

y中k的几何意义

说明：在反比例函数0k

x

k

y的图象上任取一点，过这一点分别作x轴、y轴的平行

线，与坐标轴围成的矩形面积总是等于常量。

例3：如图，直线OA与妇女比例函数0k

x

k

y的图象在第一象

限内交于点A，AB⊥x轴于点B,△OAB的面积为2，则k=。

练习：如右图，若点A在反比例函数0k

x

k

y的图象上，AM⊥x轴于点M,

△OAM的面积为3，则k=。

重点：反比例函数和一次函数的综合应用

例1：在同一平面直角坐标系中，函数baxy和0ab

x

ab

y的图象大致是（）

练习：已知0k，在同一平面直角坐标系中，函数1xky和

x

k

y的图象大致是

（）

xB

O

y

A

M

Ox

A

y

x

A

O

y

x

B

O

y

x

O

C

y

x

O

D

y

x

B

O

y

x

A

O

y

xO

C

y

x

D

O

y

7

例2：已知反比例函数

x

k

y的图象与一次函数mxy3的图象相交于（1,5）。

（1）求这两个函数的解析式；（2）求这两个函数的另一个交点的坐标。

练习：

1、已知点M（-2,3）在双曲线

x

k

y上，则下列各点一定在双曲线上的是（）

A、（3，-2）B、（-2，-3）C、（2，3）D、（3，2）

2、已知，反比例函数0k

x

k

y的图象与经过原点的直线l相交于A、B两点，已知

点A的坐标为（-2,1），那么点B的坐标为。

3、已知，一次函数为常数mmxy

1

的图象与反比例函数0

2

kk

x

k

y为常数，

的图象相交于A（1,3）。

（1）求这两个函数的解析式及图象的另一交点B的坐标；

（2）观察图象，写出使函数值

21

yy的自变量x的取值范围。

4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数1kxy的图象与反比例函数

x

y

3

的图象在

第一象限相交于点A。过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为B、C。如果四边形OBAC

是正方形，求一次函数的解析式。

x

A

O

y

B

x

A

O

y

B

8

反比例函数综合检测题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、反比例函数y＝

x

n5

图象经过点（2，3），则n的值是（）．

A、－2B、－1C、0D、1

2、若反比例函数y＝

x

k

（k≠0）的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点

（）．

A、（2，－1）B、（－

2

1

，2）C、（－2，－1）D、（

2

1

，2）

3、已知甲、乙两地相距

s

（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）

与行驶速度

v

（km/h）的函数关系图象大致是（）

4、若y与x成正比例，x与z成反比例，则y与z之间的关系是（）．

A、成正比例B、成反比例C、不成正比例也不成反比例D、无法确定

5、一次函数y＝kx－k，y随x的增大而减小，那么反比例函数y＝

x

k

满足（）．

A、当x＞0时，y＞0B、在每个象限内，y随x的增大而减小

C、图象分布在第一、三象限D、图象分布在第二、四象限

6、如图，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作x轴的垂

线PQ交双曲线y＝

x

1

于点Q，连结OQ，点P沿x轴正方向运动时，

Rt△QOP的面积（）．

A、逐渐增大B、逐渐减小C、保持不变D、无法确定

7、在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量

m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变．

ρ与V在一定范围内满足ρ＝

V

m

，它的图象如图所示，则该

气体的质量m为（）．

A、1.4kgB、5kgC、6.4kgD、7kg

8、若A（－3，y1），B（－2，y2），C（－1，y3）三点都在函数y＝－

x

1

的图象上，则y1，

y2，y3的大小关系是（）．

A、y1＞y2＞y3B、y1＜y2＜y3C、y1＝y2＝y3D、y1＜y3＜y2

9、已知反比例函数y＝

x

m21

的图象上有A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＜x2＜0时，

y1＜y2，则m的取值范围是（）．

Q

p

x

y

o

t/h

v/(km/h)

O

t/h

v/(km/h)

O

t/h

v/(km/h)

O

t/h

v/(km/h)

O

A．B．C．D．

9

A、m＜0B、m＞0C、m＜

2

1

D、m＞

2

1

10、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两

点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围

是（）．

A、x＜－1B、x＞2

C、－1＜x＜0或x＞2D、x＜－1或0＜x＜2

二、填空题（每小题3分，共30分）

11.某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y与平均每天使用的小时数

x

之间的函

数关系式为.

12、已知反比例函数

x

k

y的图象分布在第二、四象限，则在一次函数bkxy中，y

随

x

的增大而（填“增大”或“减小”或“不变”）．

13、若反比例函数y＝

x

b3

和一次函数y＝3x＋b的图象有两个交点，且有一个交点的纵

坐标为6，则b＝．

14、反比例函数y＝（m＋2）xm

2

－10的图象分布在第二、四象限内，则m的值为．

15、有一面积为S的梯形，其上底是下底长的

3

1

，若下底长为x，高为y，则y与x的函

数关系是．

16、如图，点M是反比例函数y＝

x

a

（a≠0）的图象上一点，

过M点作x轴、y轴的平行线，若S阴影＝5，则此反比例函数解析

式为．

17、使函数y＝（2m2－7m－9）xm

2

－9m＋19是反比例函数，且图象在每个象限内y随x的增大

而减小，则可列方程（不等式组）为．

18、过双曲线y＝

x

k

（k≠0）上任意一点引x轴和y轴的垂线，所得长方形的面积为______．

19.如图，直线y＝kx(k＞0)与双曲线

x

y

4

交于A（x1，y1），

B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝___________．

20、如图，长方形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、

y轴上，点B的坐标为B（－

3

20

，5），D是AB边上的一点，

将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的

点E处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析

式是．

三、解答题（共60分）

21、（8分）如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x

轴的距离为3，到y轴的距离为2，求这个反比例函数的解析式．

10

22、（9分）请你举出一个生活中能用反比例函数关系描

述的实例，写出其函数表达式，并画出函数图象．

举例：

函数表达式：

23、（10分）如图，已知A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线y＝

x

k

在第一象限内的分支上的

两点，连结OA、OB．（1）试说明y1＜OA＜y1＋

1

y

k

；

（2）过B作BC⊥x轴于C，当m＝4时，求△BOC的面积．

24、（10分）如图，已知反比例函数y＝－

x

8

与一次函数y＝kx＋b的图象交于A、B两点，

且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2．

求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积．

25、（11分）如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝

x

k

的图象交于M、N两点．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．

11

26、（12分）如图，已知反比例函数y＝

x

k

的图象与一次函数y＝ax＋b的图象交于M（2，

m）和N（－1，－4）两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）求△MON的面积；

（3）请判断点P（4，1）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．

参考答案:

一、1、D2、A3、C4、B5、D6、C7、D8、B9、D10、D．

二、11、y＝

x

1000

12、减小13、514、－315、y＝

x

s

2

3

16、y＝－

x

5

17、











0972

1199

2

2

＞mm

mm

；18、|k|；19、20；20、y＝－

x

12

．

三、21、y＝－

x

6

．

22、举例：要编织一块面积为2米2的矩形地毯，地毯的长x（米）与宽y（米）之间的函

数关系式为y＝

x

2

（x＞0）．

x…

2

1

1

2

3

2…

y…42

3

4

1…

（只要是生活中符合反比例函数关系的实例均可）

画函数图象如右图所示．

23、（1）过点A作AD⊥x轴于D，则OD＝x1，AD＝y1，因为点A（x1，y1）在双曲线y＝

x

k

上，

故x1＝

1

y

k

，又在Rt△OAD中，AD＜OA＜AD＋OD，所以y1＜OA＜y1＋

1

y

k

；（2）△BOC

的面积为2．

24、（1）由已知易得A（－2，4），B（4，－2），代入y＝kx＋b中，求得y＝－x＋2；

（2）当y＝0时，x＝2，则y＝－x＋2与x轴的交点M（2，0），即|OM|＝2，于是S△AOB＝S

12

△AOM＋S△BOM＝

2

1

|OM|·|yA|＋

2

1

|OM|·|yB|＝

2

1

×2×4＋

2

1

×2×2＝6．

25、（1）将N（－1，－4）代入y＝

x

k

，得k＝4．∴反比例函数的解析式为y＝

x

4

．将M

（2，m）代入y＝

x

4

，得m＝2．将M（2，2），N（－1，－4）代入y＝ax＋b，得











.ba

,ba

4

22

解得











.b

,a

2

2

∴一次函数的解析式为y＝2x－2．

（2）由图象可知，当x＜－1或0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值．

26、解（1）由已知，得－4＝

1

k

，k＝4，∴y＝

x

4

．又∵图象过M（2，m）点，∴m＝

2

4

＝

2，∵y＝ax＋b图象经过M、N两点，∴,

4

22











ba

ba

解之得,

2

2











b

a

∴y＝2x－2．

（2）如图，对于y＝2x－2，y＝0时，x＝1，∴A（1，0），OA＝1，∴S△MON＝S△MOA＋S△NOA＝

2

1

OA·MC

＋

2

1

OA·ND＝

2

1

×1×2＋

2

1

×1×4＝3．

（3）将点P（4，1）的坐标代入y＝

x

4

，知两边相等，∴P点在反比例函数图象上．