什么是连续函数
-秋天的怀念阅读理解及答案
2023年2月15日发(作者：琥珀拼音)一、连续与间断
在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足
够小
,x
x
的时候，输出的变化也会随之足够小
)(),(xfxf
的函数。如果输入值的某
种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的
函数（或者说具有不连续性）。
I、def设函数)(xf在
0
x的领域),(
0
xU上有定义，如果对
0，存在
0，使
得只要||
0
xx，就有
|)()(|
0
xfxf
我们就说函数)(xf在
0
x点连续，或者说
0
x点是函数)(xf的连续点.
例常值函数cxf)(，在每一个点
0
x处都是连续的，因为0|)()(|
0
xfxf
II、等价定义：)(xf在点
0
x连续)()(lim
0
0
xfxf
xx
几何解释：它的图像为一个单一的不破的曲线，并且没有间断、跳跃或无限逼近的
振荡
III、基本函数的连续性
1、常数函数cxf)(
2、kxxf)((|||||)()(|
00
xxkxfxf
3、三角函数,cos|),||sinsin|sin
00
xxxxxx（
IV、基本性质
1、)(xf在
0
x点连续，则存在
0，使得)(xf在),(
0
xU上有界.
2、)(xf和)(xg都在
0
x点处连续，则有
a、)()(xgxf也在
0
x点处连续；
b、)()(xgxf也在
0
x点处连续；cxf)(时，)(xcg也在
0
x处连续
例由xxf)(连续可知nxxf)(也是连续的.
01
)(axaxaxfn
n
也是连续的.
c、
)(
)(
xg
xf
也在
0
x点处连续0)(
0
xg；
例,
sin
cos
cot,
cos
sin
tan
x
x
x
x
x
x连续；类似可证明
xxcsc,sec
连续
01
01)(
bxbxb
axaxa
xf
m
m
n
n
也是连续的.
d、|)(|xf也在
0
x点处连续（|)()(|||)(||)(||
00
xfxfxfxf）
e、)()(
00
xgxf，则存在
0，使得在),(
0
xU内有)()(xgxf.
3、)(xf在
0
x点处连续，且
00
)()(lim
0
yxfxf
xx
，)(yg在
0
y点处连续，则复合函
数))(()(xfgxgf在
0
x点处连续
IV、单侧连续性
def函数)(xf在
0
x点处的左极限存在且)()(lim
0
0
xfxf
xx
是称)(xf在
0
x点处
左连续.
def函数)(xf在
0
x点处的右极限存在且)()(lim
0
0
xfxf
xx
是称)(xf在
0
x点处
右连续.
pro
函数)(xf在
0
x点处连续的充分必要条件是左右连续且相等
)(lim)(lim)()(lim
00
0
0
xfxfxfxf
xxxx
xx
例证明x
a
log)1,0(aa连续
分析设
1a
，任给0
0
x，先证0
0
logloglimx
a
x
a
xx
任给
0
，往证
0
0
000
1
//
0
loglog|log||loglog||)()(|x
xx
a
xx
a
xx
a
x
a
x
a
xfxf
即使得)1(1
00
0
0
axxxa
x
xx
所以令0)1(
0
ax即证0
0
logloglimx
a
x
a
xx
成立右连续.
然后00
0
00
loglogloglimloglimloglim
1
)
1
(
1
x
a
x
a
y
a
x
y
x
a
xx
x
a
xx
即证.
结合复合函数的连续性
例x
aaxxflog)(
，而x
a
ylog连续的，ya也是连续，所以复合起来依然是连
续的因此
xxf)(是连续函数
V、函数f如果在区间
I
上严格单调并且连续，则f的反函数也在)(If上严格单调
连续.
由此
xa是连续函数;
x
1
是连续
xxarccos,arcsin连续
小结
xxxxxxxf
bxbxb
axaxa
xf
axaxaxf
xf
axf
xxf
kxxf
cxf
m
m
n
n
n
n
x
a
x
csc,sec,cot,tan,cos,sin)(
;)(
;)(
;log)(
;)(
;)(
;)(
;)(
01
01
01
在整个定义域上连续，注意省略的某些条件。依据性质这些函数的组合，复合也是
连续函数，我们称这些函数的组合，复合为初等函数，
定理初等函数是连续函数.
结合连续函数的定义)()(lim
0
0
xfxf
xx
我们可以解决一些关于求极限的问题
例求
x
x
x
11
lim
2
0
分析虽然是初等函数但是分母的极限为0，因此要进行一定的转化.
)11()11(
)11)(11(11
22
222
x
x
xx
xx
x
x
,这样分母的极限不为0
将
0x
代入的0
11
lim
2
0
x
x
x
例求
x
x
a
x
)1(
0
log
lim
分析同上分母极限为0，需要转化
xx
a
x
a
x
1
)1(
1
log
log
利用极限的运算性质
ax
e
a
x
a
x
a
x
x
a
x
x
x
x
ln
1
loglogloglim
log
lim
1
0
1
)1(lim
)1(
0
1
0
例
x
ax
x
1
lim
0
令1xat则t
a
x1log当0x时0t因此
极限为a
t
t
a
t
ln
log
lim
1
0
性质)()(xvxu的极限，要求1)(,0)(xvxu在bxvaxu)(lim,)(lim时
bxvaxu)()(lim
VI、间断（不连续的情形）
1、)(xf在),(
0
xU内有定义，并且左右极限存在，但是
)(lim)(lim
00
xfxf
xxxx
我们称这样的
0
x点位第一类间断点.
2、)(xf在),(
0
xU内有定义，但是至少有一个单侧极限不存在，我们称这样的
0
x点
为第二类间断点.
3、例子
a、
0,0
0,
sin
)(
x
x
x
x
xf
事实上：}0{Rx都是连续的（原因c、），而
0x
是)(xf的第一类间断点
x
x
x
x
xxxx
sin
lim1
sin
lim
00
第一类间断点
如果令函数f在
0x
处的值改变为1，则
)()(lim
sin
lim1
sin
lim
0
0
00
xfxf
x
x
x
x
xx
xxxx
得到一个处处连续的函数'f
0,1
0,
sin
)('
x
x
x
x
xf
这样的
0x
点称为可去间断点.
二、闭区间上连续函数的性质
def如果函数)(xf在闭区间],[ba上有定义，在每一点],[bax连续，在a点右侧连
续，在
b
点左侧连续，那么我们就说函数)(xf在闭区间],[ba上连续.
I、介值定理设函数)(xf在闭区间],[ba上连续，如果)(af，)(bf异号：0)()(bfaf
那么必定存在一点],[bac，使得0)(cf
例子判断方程的根0522xx
令52)(2xxxf，因为16)3(01)2(ff，因此存在]3,2[c
对分区间判断
介值定理（推广）设函数)(xf在闭区间],[ba上连续，如果)(af，)(bf
如果],[（我们假设），再有],[bac，使得)(cf.
II、有界定理函数f在闭区间],[ba上连续，则)(xf在],[ba有界.
反例开区间上不成立比如
)1,0(,
1
)(
x
xf
III、最值定理函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则)(xf能在],[ba取到最大值和最小值，
即存在],[],,[
21
baxbax使得],[),()()(
21
baxxfxfxf.
一致连续
def函数)(xf在区间
I
上有定义，如果对于任给
0，都存在
0，使得当Ixx
21
,时
且||
21
xx，都有|)()(|
21
xfxf，我们就称)(xf是一致连续的.
例xxfsin)(在
R
上一致连续.
证明任给
0
，取
，则当||
21
xx
|||
2
sin|2|
2
sin
2
cos2||sinsin|
21
212121
21
xx
xxxxxx
xx.
得证.
一致连续函数一定是连续函数.（反之不成立，
x
xf
1
sin)(连续不一致连续）
一致连续性定理闭区间上的连续函数一定是一致连续.