闭区间上连续函数的性质

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轴承游隙标准-下一步工作

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1.9连续函数的运算与初等函数的连续性.闭区间上连续函数的性质

一、连续函数的和、积及商的连续性

定理1

设函数f(x)和g(x)在点x

0

连续则函数

f(x)g(x)f(x)g(x)

)(

)(

xg

xf

(当0)(

0

xg时)

在点x

0

也连续

f(x)g(x)连续性的证明

因为f(x)和g(x)在点x

0

连续所以它们在点x

0

有定义从而f(x)g(x)

在点x

0

也有定义再由连续性和极限运算法则有

)()()(lim)(lim)]()([lim

00

000

xgxfxgxfxgxf

xxxxxx







根据连续性的定义f(x)g(x)在点x

0

连续

例1sinx和cosx都在区间()内连续故由定理3知tanx和

cotx在它们的定义域内是连续的

三角函数sinxcosxsecxcscxtanxcotx在其有定义的区间内都

是连续的

二、反函数与复合函数的连续性

定理2如果函数f(x)在区间I

x

上单调增加(或单调减少)且连续那么

它的反函数xf1(y)也在对应的区间I

y

{y|yf(x)xI

x

}上单调增加(或

单调减少)且连续

证明（略）

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例2由于ysinx在区间]

2

,

2

[



上单调增加且连续所以它的反函

数yarcsinx在区间[11]上也是单调增加且连续的

同样yarccosx在区间[11]上也是单调减少且连续yarctanx在

区间()内单调增加且连续yarccotx在区间()内单调减

少且连续

总之反三角函数arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它们的定

义域内都是连续的

定理3设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成

gf

DxU



)(

0

若

0

)lim

0

uxg

xx





而函数yf(u)在

0

u连续则

)()(lim)][lim

0

00

ufufxgf

uuxx







简要证明要证00当0|xx

0

|时有|f[g(x)]f(u

0

)|

因为f(u)在

0

u连续所以00当|uu

0

|时有|f(u)f(u

0

)|



又g(x)u

0

(xx

0

)所以对上述00当0|xx

0

|时有

|g(x)u

0

|

从而|f[g(x)]f(u

0

)|

(2)定理的结论也可写成)](lim[)]([lim

00

xgfxgf

xxxx

求复合函数f[g(x)]的

极限时函数符号f与极限号可以交换次序

)(lim)]([lim

00

ufxuf

uuxx

表明在定理3的条件下如果作代换ug(x)那么

求)]([lim

0

xgf

xx

就转化为求)(lim

0

uf

uu

这里)(lim

0

0

xgu

xx



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把定理5中的xx

0

换成x可得类似的定理

例3求

9

3

lim

2

3



x

x

x



解

9

3

lim

2

3



x

x

x9

3

lim

2

3





x

x

x6

1



提示

9

3

2





x

x

y是由uy与

9

3

2





x

x

u复合而成的

9

3

lim

2

3



x

x

x6

1

函数uy在点

6

1

u连续g(x

0

)

定理4设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成

U(x

0

)D

fog

若函数ug(x)在点x

0

连续函数yf(u)在点u

0

g(x

0

)连续

则复合函数yf[(x)]在点x

0

也连续

证明因为(x)在点x

0

连续所以

0

lim

xx

(x)(x

0

)u

0



又yf(u)在点uu

0

连续所以

0

lim

xx

f[(x)]f(u

0

)f[(x

0

)]

这就证明了复合函数f[(x)]在点x

0

连续

例4讨论函数

x

y

1

sin的连续性

解函数

x

y

1

sin是由ysinu及

x

u

1

复合而成的

sinu当

x

1

当

根据定理4函数

x

1

sin在无限区间(0)和(0)内是连续的

三、初等函数的连续性

在基本初等函数中我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们

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的定义域内是连续的

我们指出指数函数ax(a>0a1)对于一切实数x都有定义且在区间

()内是单调的和连续的它的值域为(0)

由定理4对数函数log

a

x(a>0a1)作为指数函数ax的反函数在区

间(0)内单调且连续

幂函数yx的定义域随的值而异但无论为何值在区间(0)

内幂函数总是有定义的可以证明在区间(0)内幂函数是连续的

事实上设x>0则

yxx

aalog因此幂函数x可看作是由yauulog

a

x复合而成

的由此根据定理6它在(0)内是连续的如果对于取各种不

同值加以分别讨论可以证明幂函数在它的定义域内是连续的

结论基本初等函数在它们的定义域内都是连续的

最后根据初等函数的定义由基本初等函数的连续性以及本节有

关定理可得下列重要结论一切初等函数在其定义区间内都是连续

的所谓定义区间就是包含在定义域内的区间

初等函数的连续性在求函数极限中的应用

如果f(x)是初等函数且x

0

是f(x)的定义区间内的点

则

0

lim

xx

f(x)f(x

0

)

例5求2

0

1limx

x







解初等函数f(x)21x在点0

0

x是有定义的

所以111lim2

0





x

x



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例6求x

x

sinlnlim

2







解初等函数f(x)lnsinx在点

20



x是有定义的

所以0

2

sinlnsinlnlim

2









x

x



例7求

x

x

x

11

lim

2

0







解

x

x

x

11

lim

2

0



)11(

)11)(11(

lim

2

22

0





xx

xx

x

0

2

0

11

lim

2

0







x

x

x



例8求

x

x

a

x

)1(log

lim

0







解

x

x

a

x

)1(log

lim

0





x

a

x

x

1

0

)1(loglim

a

e

aln

1

log

例9求

x

ax

x

1

lim

0







解令ax1t则xlog

a

(1t)x0时t0于是

x

ax

x

1

lim

0







a

t

t

a

t

ln

)1(log

lim

0







§110闭区间上连续函数的性质

一、最大值与最小值

最大值与最小值对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x

0

I

使得对于任一xI都有

f(x)f(x

0

)(f(x)f(x

0

))

则称f(x

0

)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）

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例如函数f(x)1sinx在区间[02]上有最大值2和最小值0又如

函数f(x)sgnx在区间()内有最大值1和最小值1在开区间

(0)内sgnx的最大值和最小值都是1但函数f(x)x在开区间(a

b)内既无最大值又无最小值

定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一

定能取得它的最大值和最小值

定理1说明如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续那么至少有一点



1

[ab]使f(

1

)是f(x)在[ab]上的最大值又至少有一点

2

[ab]

使f(

2

)是f(x)在[ab]上的最小值

注意如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么

函数在该区间上就不一定有最大值或最小值

例在开区间(ab)考察函数yx

又如如图所示的函数在闭区间[02]上无最大值和最小值



















213

11

101

)(

xx

x

xx

xfy

定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界

证明

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二、介值定理

零点如果x

0

使f(x

0

)0则x

0

称为函数f(x)的零点

定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)

异号那么在开区间(ab)内至少有一点使f()0

定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且在这区间的

端点取不同的函数值

f(a)A及f(b)B

那么对于A与B之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点

使得

f()C

定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)那

么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一

点使得

f()C

证设(x)f(x)C则(x)在闭区间[ab]上连续且(a)AC与

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(b)BC异号根据零点定理在开区间(ab)内至少有一点使得

()0(a<

但()f()C因此由上式即得

f()C(a<

定理4的几何意义连续曲线弧yf(x)与水平直线yC至少交于一

点

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间

的任何值

例1证明方程x34x210在区间（01）内至少有一个根

证函数f(x)x34x21在闭区间[01]上连续又f(0)1>0

f(1)2<0

根据零点定理在(01)内至少有一点使得f()0即34

210(0<<1)

这等式说明方程x34x210在区间（01）内至少有一个根是

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