极坐标公式
衬衫袖口-车载电台
2023年2月15日发(作者：花生地).
.
一、坐标系
1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定
2、平面直角坐标系
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建
立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定。
3、空间直角坐标系
在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单
位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确
定。
二、平面直角坐标系的伸缩变换
定义：设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
).0('
)0(,'
:
yy
xx
④的作用下，
点P（x，y）对应到点P’（x’，y’），称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
三．例题讲解
例1在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。
（1）2x+3y=0；（2）x2+y2=1
三、极坐标系
1、极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取
逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的
角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极
坐标。
特别强调：由极径的意义可知≥0;当极角的取值范围是[0,2
)时,平面上的点(除去极点)就与极
坐标（，）建立一一对应的关系.们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角.
3、负极径的规定
在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角
当＜0时，点M（，）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。
M（，）也可以表示为))12(,()2,(kk或
)(zk
4、数学应用
例1写出下图中各点的极坐标
A（4，0）B（2）C（）D（）
E（）F（）G（）
规定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。
.
.
变式训练
在极坐标系里描出下列各点
A（3，0）B（6，2
）C（3，
2
）D（5，
3
4
）E（3，
6
5
）F（4，
）G（6，
3
5
）
例2在极坐标系中，
（1）已知两点P（5，
4
5
），Q)
4
,1(
，求线段PQ的长度；
（2）已知M的极坐标为（，）且=
3
，R，说明满足上述条件的点M的位置。
变式训练
1、若ABC的的三个顶点为.),
6
7
,3(),
6
5
,8(),
2
5
,5(判断三角形的形状
CBA
2、若A、B两点的极坐标为),(),,(
2211
求AB的长以及AOB的面积。（O为极点）
例3已知Q（，），分别按下列条件求出点P的极坐标。
（1）P是点Q关于极点O的对称点；
（2）P是点Q关于直线
2
的对称点；
（3）P是点Q关于极轴的对称点。
变式训练
1.在极坐标系中,与点)
6
,8(
关于极点对称的点的一个坐标是()
)
6
,8(),
6
5
,8(),
6
5
,8(),
6
,8(
DCBA
2在极坐标系中，如果等边ABC的两个顶点是),
4
5
,2(),
4
,2(BA
求第三个顶点C的坐标。
.
.
四、极坐标与直角坐标的互化
直角坐标系的原点O为极点，
x
轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取
相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为),(yx和
),(，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
sin
cos
y
x
)0(tan
222
x
x
y
yx
说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，0≤≤2。
3化公式的三个前提条件
1.极点与直角坐标系的原点重合;
2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3.两种坐标系的单位长度相同.
三、数学应用
例1（1）把点M的极坐标)
3
2
,8(
化成直角坐标；（2）把点P的直角坐标
)2,6(
化成极坐标。
变式训练
在极坐标系中,已知),
6
,2(),
6
,2(
BA求A,B两点的距离
例2若以极点为原点,极轴为
x
轴正半轴,建立直角坐标系.
(1)已知A的极坐标),
3
5
,4(
求它的直角坐标,
(2)已知点B和点C的直角坐标为)15,0()2,2(和求它们的极坐标.(＞0,0≤＜2
)
变式训练
把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定＞0,0≤＜2))4,3(),4,3(),2,0(),1,1(DCBA
.
.
例3在极坐标系中,已知两点)
3
2
,6(),
6
,6(
BA.求A,B中点的极坐标.
变式训练
在极坐标系中,已知三点)
6
,32(),0,2(),
3
,2(
PNM.判断PNM,,三点是否在一条直线上.
五、常用曲线的极坐标方程
1、若直线l经过
),(
00
M且极轴到此直线的角为，求直线l的极坐标方程。
变式训练：直线l经过)
2
,3(
M且该直线到极轴所成角为
4
，求此直线l的极坐标方程。
2、若圆心的坐标为
),(
00
M，圆的半径为r，求圆的方程。运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极
坐标方程。
3、在圆心的极坐标为)0,4(A，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹。
三、巩固与练习
.
.
在极坐标系中，已知圆C的圆心)
6
,3(
C，半径3r，
（1）求圆C的极坐标方程。
（2）若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且2:3:OPOQ，求动点P的轨迹方程。
1、圆锥曲线的统一方程
设定点的距离为P，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数
e
的点的轨迹的极坐标方程。
分析：①建系②设点③列出等式
④用极坐标、表示上述等式，并化简得极坐标方程
说明：⑴为便于表示距离，取F为极点，垂直于定直线l的方向为极轴的正方向。
⑵
e
表示离心率，P表示焦点到准线距离。
2、例题讲解
例1．2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准
确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远
地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km，然后进入距地面约343km的圆形轨道。若地球半
径取6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。
例2．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。
变式训练
设P、Q是双曲线)0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
上的两点，若OQOP。
求证：
22||
1
||
1
OQOP
为定值；
.
.
三、巩固与练习
已知抛物线xy42的焦点为F。
（1）以F为极点，
x
轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；
（2）过取F作直线l交抛物线于A、B两点，若|AB|＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l的倾斜
角。
基础训练
1．直线
2
()cos(
k
m)zk的斜率是
2．极坐标方程
sin2
16
表示的曲线是
3．曲线2sin和)20,0(sin4的交点坐标
4．在极坐标系中与圆sin4相切的一条直线方程为（）
A、2sinB、2cosC、4cosD、4cos
5．椭圆
cos45
9
的长轴长
二、讲解新课：
例1．求曲线01cos关于直线
4
对称的曲线方程。
例2．求下列两曲线的交点坐标。
cos1和
)cos1(2
1
.
.
例3．已知圆2，直线4cos，过极点作射线交圆于点A，交直线于点B，当射线以极点为中
心转动时，求线段AB的中点M的轨迹方程。
例4．已知A、B为椭圆)0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
上两点，若OBOA。（O为原点）
（1）求证
22||
1
||
1
OBOA
为定值；
（2）求AOB面积的最值。