反函数与原函数的关系
-褐石建筑
2023年2月15日发(作者：创业资金来源)互为反函数的两个函数图象之间的关系
我们先来看两个函数：指数函数y2
x
与对数函数ylog
2
x.我们知道对数来源于指
数，即指数与对数两者之间可以进行相互转换。
指数函数y
2
x
，若将之转化为用y来表示x即：x
log
2
y，将其中y作为自变量，x
作为
R
中与之对应的唯一的值，我们就可以把函数
x
log
2y
（
y
(0,
)）
叫做指数函数
y2
xxlog
y（y(0,)）
ylog
x（x(0,)）
的反函数，习惯上我们把函数
22
，记作，
即底数同为2的指数函数与对数函数互为反函数。
根据指数与对数的性质，我们也可以知道所有同底的指数函数与对数函数均互为反函
数，即指数函数
yax(a
0,a1)与对数函数ylogax(a0,a1)互为反函数。
通常我们将原函数记作
yf(x)
，反函数记作
y
f1(
x)
。
因为原函数与反函数本质是将x与y互换，所以我们
就可以得到：原函数的定义域就是它的反函数的值域，原
函数的值域就是它的反函数的定义域。
现在请你应用所学的数学知识，通过下面几个问题来
探究一下互为反函数的两个函数图象之间的关系，让我
们亲自来发现其中的奥秘吧！
问题1在同一平面直角坐标系（横、纵轴长度单位一
致）中，画出指数函数
y2
x
及其反函数y
log2x的图象，你能发现这两个函数的图象有
什么对称关系吗？
问题2取y2
x
图象上的几个点，如
P1(1,1
),P2(0,1),P3.(1,2).P1,P2,P3关于直线yx的
2
对称点的坐标是什么？它们在的图象上吗？为什么？
问题3如果点P（x,y）
x
的图象上，那么
P（x,y）
x的对称点
00
0在函数y2000关于直线y
在函数ylog
2
x的图象上吗？为什么？
问题4由上述探究过程可以得到什么结论？
问题5上述结论对于指数函数
ya
x
(a0,a1)及其反函数ylog
a
x(a
0,a1)也成
立吗？为什么？
通过上面的问题的探究我们可以知道互为反函数的两个函数，函数yf(x)图象上的点
关于yx的对称点一定是在yf
1
(x)有图象上，并且函数yf(x)图象与反函数
yf
1
(x)的图象关于yx对称.
例1求下列函数的反函数
（1）yx
1(x1)
2x1
（2）
y
3x
解：（1）由y
x
1解出x
(y
1)
2
又写成：y
(x1)
2
函数y
x1(x1)
的值域为[0,)
所求的反函数为
y(x
1)
2
(x[0,)).
注意：如果不注明反函数定义域，得出
y(x
1)
2
是错误的.
（2）由y
2x
1
（x
3）y2x1
x(y2)3y1x3y1
，改写成
x3y2
y
3x1
即为所求.
x2
说明：一般地，求分式函数y
ax
b
(c
0,ad
bc)的反函数时，直接解出xf
1
(y)，
cxd
再改写成yf
1
(x)即可.因为使所求出的解析式有意义的x的范围，已知函数的值域.
例2已知函数y
axb(x
b
)的图象过点(1，2)，它的反函数图象也过此点，求函
a
数f(x)的解析式.
解法一：由y
ax
b得x
y
2
b
a
∴当x
b
时，y
0
a
∴函数y
axb(x
b
)的反函数是f
1
(x)x
2
b
(x0)
aa
又∵点(1，2)既在函数f(x)上，也在函数
f
1
(x)上
2ab
∴有
1b
解得：a
3,b7
2
a
∴函数f(x)＝
3x
7
(x7)
3
解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线yx的对点为(2，
1)，可以得到函数f(x)的图象还过点(2，1)
∴得到
2ab
12ab
解得：a
3,b7
∴函数f(x)＝
3x7(x7)
3
巩固练习：
1．函数y
x
2
2x(x
0)的反函数的定义域是（
）
A、
,0
B、
0,1
C、
,1
D、[0,
)
2．设f(x)
2x
1
(xR,x
3
),则f
1
(2)的值等于（
）
4x34
A、
5
B、
2
C、
2
D、
5
65511
3．设a0,a1，函数y
log
a
x的反函数和ylog
1
x的反函数的图象关于
（）
a
[来源:][来源:]
(A)x轴对称(B)y轴对称(C)yx轴对称(D)原点对称
4．点(a,b)在yf(x)的图象上，则下列的点
在其反函数图象上的是（）
A.P(a,f
1
(a))
B.P(f
1
(b),b)
C.P(f
1
(a),a)D.P(b,f
1
(b))
5．已知函数f(x)(
1
)
x
1，则f
1
(
x)的图象只可能是（
）
y
2
yyy
xx
1
x2x
O1
1
O
2O1O
(A)(B)(C)(D)
6．设f(x)
x
2
1(0
x1)
，则f1(5)
．
2
x
(1x
0)4
7．若yax6与y
1xb的图象关于直线yx对称，且点(b,a)在指数函数f(x)的图象
3
上，则
f(x)
．
x1
xR,且x
1
8．给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y
1
．试证明：这个函数
axa
的图象关于直线y=x成轴对称图形．
参考答案：
1．A，2．A，3．B，4．D，5．C，
6．
1
．7．f(x)(3)
x
．
2
8．证明：先求所给函数的反函数:由
y
x1
ax1
(xR,x
1),
a
得y(ax－1)=x－1，
即(ay－1)x=y－1．
假如ay10,则y
1
,代入所给函数的解析式,得
1
x1
aaax1
即ax－a=ax－1，
由此得a=1，与已知矛盾，所以ay－1≠0．
因此得到
xy
1
,其中y
1,
ay1a
这表明函数y
x1
(xR,且x
1
)的反函数是
ax1a
y
x1
,(xR,且x
1
).
ax1a
由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称，所以函数
y
x1
R,且x
1
ax
(x)的图象关于直线y=x成轴对称图形.
1a