函数奇偶性的判断口诀
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2023年2月15日发(作者：增资方案)高中数学判断函数奇偶性的常见方法
由于函数的奇偶性在高中数学研究函数的性质和图像上起着非常重要的作用，因此广大同学
应该熟练掌握函数的奇偶性.下面介绍高中阶段判断函数奇偶性的常见方法.
一、定义法
设的定义域关于原点对称，若，即，则称是定义域上的偶函数；若，即，则称是定义域上的
奇函数.根据定义，判断一个函数是否为奇偶函数，首先必须满足定义域关于原点对称，否则
该函数为非奇非偶函数.当定义域关于原点对称，再去检验与的关系，若关系不明朗，可以等
价判断是否等于零.
例1.判断下列函数的奇偶性.
对于任意的底数，（2）（3）都是奇函数，可以作为常见常考的结论；（4）在作函数图像
时用处很大，比如为偶函数，图像关于轴对称.
二、图像法
由奇偶函数的定义可知，偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称.所以根据
函数的图像，我们可以识别一个函数是否为奇偶函数.
例2．函数的图象可能是()
解：由定义知是奇函数，则其图像关于原点对称，且当时，，故选C.
例3．判断常数函数（）的奇偶性.
解：由常数函数的图像，当时，是偶函数；当时，既是奇函数，也是偶函数.
三、图像平移法
1.设，函数关于直线对称函数是偶函数；
2.设，函数关于点对称函数是奇函数.
显然由函数图像之间的平移变换，易得该结论.如已知函数的图象关于直线对称，则函数的
图像关于轴对称，是偶函数.
四、利用常见的小结论快速判断
1.若，则是偶函数，如；
若，则是奇函数，如.
2.设是两个奇函数，是两个偶函数，则有下面结论：
（1），是奇函数，，是偶函数，即两个奇函数的和与差是奇函数，积与商是偶函数.如，是
奇函数，，是偶函数.
（2），，，是偶函数，即两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数.如，，，都是偶函数.
（3），都为奇函数，即一个奇函数与一个偶函数的积与商都是奇函数，但和与差是无法判
断的.如，就是奇函数.
例4.若函数是偶函数，则.
解：偶函数之和为偶函数，所以必然没有奇次方，从而奇次方系数等于零，即有.
五、抽象函数的奇偶性
抽象函数考虑奇偶性问题时，往往采用赋值法求出与间的关系，用定义去判断.
例5.若对于定义域为的函数满足，且.试判断的奇偶性.
解：令，则.因为，则.
令，则，整理得，故是偶函数.
函数的奇偶性作为函数最基本的性质，在高中阶段往往和函数的单调性、对称性和周期性结
合在一起进行考察，只要我们能够快速判断出函数的奇偶性，常常在解题时就起到了举足轻
重的作用.以上五种判断函数奇偶性的方法，如果同学们能够熟练掌握，在解决函数性质的相
关问题时，就能取到事半功倍的效果。
参考文献：
[1]陈柯彤.高中数学函数的单调性,奇偶性及周期性的研究[J].科学技术创新,2018(32):40-41.
[2]梁爽.高中数学函数奇偶性的多重分析[J].数学学习与研究,2018(19):130.