等差中项

等差中项

-胃解剖图

2023年2月15日发(作者：意志坚强的成语)

1.等差数列基本公式：

末项=首项+(项数-1)×公差

项数=(末项-首项)÷公差+1

首项=末项-(项数-1)×公差

和=(首项+末项)×项数÷2

2.通项公式：

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d(1)

前n项和公式

前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)

以上n均属于正整数.

3.推论：

1.从(1)式可以看出,an是n的一次函数(d≠0)或常数函数

(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数

(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.

2.从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}

3.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有

am+an=ap+aq,S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,

…,Snk-S(n-1)k…

4.若m+n=2p,则am+an=2ap

4.其他推论：

和＝（首项＋末项）×项数÷2

项数＝（末项-首项）÷公差＋1

首项=2倍和÷项数-末项

末项=2倍和÷项数-首项

末项=首项+（项数-1）×公差

推论3：

证明：

若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有若m,n,p,q∈N*,且

m+n=p+q,则有am+an=ap+aq

如am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d

=2a1+(m+n-2)d

同理得,

ap+aq=2a1+(p+q-2)d

又因为

m+n=p+q;

a1,d均为常数

所以

若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq

注：1.常数列不一定成立

2.m,p,q,n大于等于自然数

等差中项

在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为

Am,An的等差中项,且为数列的平均数.

且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式.