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-舌尖上的新年

2023年2月15日发(作者：抛物线的性质)

第五章相似矩阵

1．教学目的和要求：

(1)理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量.

(2)了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵

化为相似对角矩阵.

(3)简单了解Jordan标准形.

2．教学重点：

(1)方阵的特征值与特征向量.

(2)矩阵的相似对角化.

3．教学难点：矩阵的相似对角化.

4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵

A

和向量

X

的运算:

AX

.从矩

阵上提出的问题是：能否找一个数



和一个非零向量

X

,使

XAX

,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征

向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan

标准形.

5．教学内容：

§5.1方阵的特征值与特征向量

1.特征值与特征向量的概念

在一些应用问题中常会用到一系列的运算:

.,,,,2XAXAAXk

为了简化

运算，希望能找到一个数



和一个非零向量

X

，使

XAX

，这样的数



和向量

X

就是方阵的特征值与特征向量.

定义：对于

n

阶方阵A,若有数



和向量

0x

满足

xxA

,称



为A的特征值,

称

x

为A的属于特征值



的特征向量．

下面给出特征值与特征向量的求法：

特征方程：

0)(xEAxxA

或者

0)(xAE

0)(xEA

有非零解

0)(detEA

0)(detAE

特征矩阵：

EA

或者

AE

特征多项式：

















nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

EA









21

22221

11211

)(det)(

])1([

01

1

10

n

nn

nnaaaaa





A的特征值与矩阵A又有什么关系呢？

定理1：设

n

阶方阵

)(

ij

aA

的

n

个特征值为n

,,

21

则(1)

nnn

aaa

221121



)(

1

Atra

n

i

ii





称为矩阵A的迹。(主对角元素之和)

(2)

A

n

n

i

i







21

1

例1求



























201

034

011

A

的特征值与特征向量．

例2，例3见书第136、137页.

2.特征向量的性质

方阵A关于特征值i



的特征向量是齐次线性方程组

0)(XAI

i



的非零解。由齐次线性方程组解得性质得：当21

,XX

是A对应于i



的特征向量时，它们的任何非零线性组合：

)0(

2211

XkXk

仍是A

关于i



的特征向量。在此，我们重点关注矩阵A的特征向量的线性

相关性。

定理2：设r

XXX,

21

，

是矩阵A的不同特征值所对应的特征向量，

则r

XXX,

21

，

是线性无关的。

定理3：矩阵A的

s

个不同特征值所对应的

s

组各自线性无关的特征

向量并在一起仍是线性无关的。

定理4：设0



是

n

阶方阵A的一个

t

重特征值，则0



对应的特征向量中

线性无关的最大个数

.t

由以上定理可知，若A有

n

个互异的特征值：

,,,

21n



则每个i



仅

对应一个线性无关的特征向量，从而A共有

n

各线性无关的特征向量。

例4求























122

212

221

A

的特征值与特征向量．

解

2)1)(5(

122

212

221

)(

















0)(



1,5

321



求

5

1



的特征向量：





























422

242

224

5EA



























000

110

101

行

,























1

1

1

1

p

)0(

111

kpkx

求

1

32



的特征向量：























222

222

222

)1(EA























000

000

111

行

,

























0

1

1

2

p

,

























1

0

1

3

p

3322

pkpkx

（32

,kk

不同时为0）

例5设33

A

的特征值为

3,2,1

321



,求

)3(det3EAA

．

解设

13)(3tttf

,则

EAAAf3)(3

的特征值为

17)(,3)(,1)(

321

fff

故

51)17(3)1()3(det3EAA

思考题：设4阶方阵A满足条件：

,0det,2,0)3det(AEAAAET

求*A

的一个特征值。

(答案：

3

4

)

作业：习题册第五章第一节。

§5.2矩阵相似对角化

1．相似矩阵：对于

n

阶方阵A和B,若有可逆矩阵P使得

BAPP1,

称A相似于B,记作BA~．

相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下列三个性质：

(1)AA~：

AAEE1

(2)

ABBA~~

：

APBP)()(111

(3)

CACBBA~~,~

若两个矩阵相似时，我们可以得到什么结论呢?

定理1:设

n

阶方阵A和B相似，则有

(1)

,)()(BrAr

(2)

，BA

A)3(

和B的特征多项式相同，即

,BIAI

从而A和B的特征值相同。

证明：性质(1),(2)显然，下面只证明性质(3).因为

,~BA

故存在可逆矩阵P

使

,1BAPP

于是

.)(111AIPAIPPAIPAPPIBI

显然，若方阵A与对角阵相似，则对角阵对角线上的元素即为A的特征值。

例1：设矩阵





























124

22

421

xA

与

























4

5

y

，求

.,yx

解：利用

A

得到方程

,0843yx

再利用

)()(trAtr

，得到

.12yx

有了对角阵，我们可以利用它来计算矩阵的方幂：若1PBPA

，

则

.1PPBAkk

2．矩阵相似对角形

若方阵A能够与一个对角矩阵相似,称A可对角化．

定理2

n

阶方阵A可对角化

A

有

n

个线性无关的特征向量．

证必要性．设可逆矩阵P使得







def

1

1























n

APP

即

PAP．划分



n

ppP

1



,则有



nn

ppppA

11





nnn

pppApA

111



),,2,1(nippA

iii



因为P为可逆矩阵,所以它的列向量组n

pp,,

1



线性无关．

上式表明：n

pp,,

1



是A的

n

个线性无关的特征向量．

充分性．设n

pp,,

1



线性无关,且满足

),,2,1(nippA

iii



,

则



n

ppP

1



为可逆矩阵,且有



nnn

pppApAAP

111



Ppp

n



1

即

APP1．

[注]

~A

的主对角元素为

A

的特征值．

推论1nn

A

有

n

个互异特征值

A

可对角化．

推论2设nn

A

的全体互异特征值为m

,,,

21



,重数依次为m

rrr,,,

21



,

则A可对角化的充要条件是,对应于每个特征值i



,A有i

r

个线性

无关的特征向量．

例2判断下列矩阵可否对角化：

(1)

























6116

100

010

A

,(2)























122

212

221

A

,(3)



























201

034

011

A

解(1)

)3)(2)(1()(

A有3个互异特征值

A

可对角化

对应于

3,2,1

321



的特征向量依次为























1

1

1

1

p

,























4

2

1

2

p

,























9

3

1

3

p

构造矩阵























941

321

111

P

,





























3

2

1

则有

APP1．

(2)2)1)(5()(

例1求得A有3个线性无关的特征向量

A

可对角化

对应于

1,5

321



的特征向量依次为























1

1

1

1

p

,

























0

1

1

2

p

,

























1

0

1

3

p

构造矩阵

























101

011

111

P

,

























1

1

5

则有

APP1．

(3)2)1)(2()(

,例2求得,对应于2重特征值

1

32



,

A只有1个线性无关的特征向量

A

不可对角化．

例3设























122

212

221

A

,求

),3,2(kAk

．

解例4求得

























101

011

111

P

,

























1

1

5

,使得

APP1：

11,PPAPPAkk

故









































































211

121

111

3

1

)1(

)1(

5

101

011

111

k

k

k

kA



































2555

5255

5525

3

1

kkk

kkk

kkk

（k)1(

）

思考题：设

,

32

54

















A

求

.100A

(答案:

















101101

100100

2522

255252

3

1

)

作业：习题册第五章第二节。

§5.3Jordan标准形

从上节我们看到，不是每个方阵都能相似于对角阵的，当

矩阵不能相似于对角阵时，总是希望能找到形式尽可能简单一些

的矩阵，使任何方阵都能相似于这种矩阵。这就是这一节将要介

绍的Jordan矩阵。在此，我们只介绍Jordan矩阵和方阵相似于

Jordan矩阵的一种求法。

1Jordan矩阵：形如

的

r

阶方阵称为一个

r

阶Jordan块。称主对角线子块为Jordan块

)(

ii

J

的准对角矩阵

为Jordan矩阵。

定理1：在复数域上，每个

n

阶方阵

A

都相似于一个Jordan矩阵J，

即存在可逆矩阵

P

，使得

知道了什么是Jordan矩阵后，现在的问题是如何求Jordan标准形。

Jordan标准形:当矩阵A与Jordan矩阵J相似时，就说J是A的Jordan

标准形，并记为A

J

.若矩阵能相似对角化，对角矩阵

就是其Jordan标准形。

rr

J













































1

1

1

)(































)(

)(

)(

22

11

mm

J

J

J

J









.

)(

)(

)(

22

11

1



























mm

J

J

J

JAPP









求

n

阶方阵A的Jordan矩阵J和可逆矩阵P的方法如下：

(1)求A的特征多项式

互异，从而i



是A的i

k

重特征值，由此确定

)(

ii

A

阶数为i

k

.

(2)由

0)(XIA

i



求A的i

t

个线性无关的特征向量

由此确定

)(

ii

A

中有i

t

个Jordan块

)(

iij

J

.

(3)若

,

ii

kt

则在i



对应的特征向量集合



i

t

,,,

21



中适当选

取特征向量1i



，求Jordan链

,,,,

21

j

inii



确定Jordan块

iiij

tiJ,,2,1),(

，特别地，长度为1的Jordan链即为一个

特征向量，它对应一阶Jordan块

).(

i



(4)以i



对应的i

t

条Jordan链为列构成矩阵i

P

，即i

P

位含i

k

个列的

矩阵，而且

则满足，

即

例1设

,)()()(21

21

s

k

s

kkAI

s

,,

1



,,,,

21

i

t



,,,2,1,)(

)(

)(

)(

2

1

siAp

J

J

J

PAP

iii

iit

ii

ii

ii

i













































s

pppP

21



,

)(

)(

11

A

ss

PJ

A

A

PAP





























.1

A

JAPP





























211

367

233

A

求变换矩阵P和Jordan矩阵A

J

，使

.1

A

JAPP

解由

0)2)(1(2AI

得，

,2,1

321



所以

)(

ii

A

是主对角元素为i



的Jordan矩阵。由

1

1



是单根，

得

1)1(A

，从

0)(XIA

，求得一个特征向量

T1,2,1

1



，

当

2

32



时，由

0)2(XIA

，即

解得只有一个线性无光的特征向量

T1,1,1

2



从而

)2(

2

A

只含一个Jordan块，即

求解

,

1

1

1

)2(

























IA

取

T0,2,1

，得到一个广义特征向量



,

011

212

111

21

























P

,

)2(

)1(

2

1













A

A

J

A

,0

011

347

235





























X















20

12

)2(

2

A

.

2

12

1























A

J