映射和函数的区别

映射和函数的区别

-调研心得

2023年2月15日发(作者：天猫营销策略)

函数与映射概念的理解

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玩转函数第一招

第1招：函数与映射概念的理解

【知识点理解】

①映射.映射f:AB的概念。

对于两个集合A，B如果按照某种对应法则f，

对于集合A中的任何一个

．．．．

元素在集合B中都有

唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B

及f）叫做从集合A到集合B的映射.记作：f：

A→B.

ff

ff

(1)(2)

(3)(4)

在以上的四种对应关系中，（1）（3）不是映射，

（2）（4）是映射.

对于映射这个概念，应明确以下几点：

①映射中的两个集合A和B可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它

元素的集合.

②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的.

③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象，而这个象是唯一确

1

A2

3

4

5B

6

1

A2

3

4

6

5B

1

A2

3

4

5B

6

1

A2

3

4

6

5B

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A、M中每一个元素在N中必有象

B、N中每一个元素在M中必有原象

C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的

D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；

（2）、若从集合A到集合B的映射f满足B

中的任何一个元素在A中都有原象，则称映射f

为从集合A到集合B的满射，现集合A中有3个

元素，集合B中有2个元素，则从集合A到集合

B的满射f的个数是：A、5B、

6C、8D、9（答：B）

（3）点),(ba在映射f的作用下的象是),(baba，则

在f作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，

－1））；

（4）a、b为实数，集合xxfaN

a

b

M:},0,{},1,{表示把集合M中的元素x映射到集合

N中仍为x，则ba=A、1B、0C、－1D、±1

（5）若}4,3,2,1{A，},,{cbaB，,,abcR，则A到B的映

射有个，B到A的映射有个，A到B的函数

有个（答：81,64,81）；

（6）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}MN，映射:fMN满足

条件“对任意的xM，()xfx是奇数”，这样的映

射f有____个（答：12）；

（7）设2:xxf是集合A到集合B的映射，若

B={1,2}，则BA一定是_____（答：或{1}）.

（8）、已知集合{1,2,3}A，{1,0,1}B，则满足条件

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(3)(1)(2)fff的映射:fAB的个数是

()（A）2（B）4

（C）5（D）7

（9）、从集合{1,2,3}A到{3,4}B的映射:fAB中满足

条件(3)3f个数是

()（A）2（B）3

（C）4（D）6

（10）、已知集合{1,2,3}A，在AA的映射中满足

条件(3)3f，(2)1f个数是

()

（11）、．A=｛1，2，3，4，5，｝，B=｛6，7，

8，｝从集合A到B的映射中满足f（1）≤f（2）

≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（）

A、27B、9C、21

D、12

解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B中的

一个元素对应），则f有C1

3

个

（2）有一个不等号时的映射（即与B中的

两个元素对应），f有C1

4

·C2

3=12个

（3）有二个不等号的映射，f有C2

4

·C2

3=6个。

所以共有3+12+6=21个，答案选C。

（12）、已知映射:fAB，其中集合

{2,1,0,1,2,3,4}A，集合B中的元素都是A中元素在

映射f下的象，且对任意的aA，在B中和它对

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应的元素为2a

，则集合B的真子集个数是———

—。

（13）、设集合{,}Aab，:fAA是映射，且满足条

件

ffxfx





，这样的从AA自身的映射个数是

（A）1（B）2（C）

3（D）4

（14）、已知集合{,,}Mxyz，{1,0,1}N，则满足条件

()()()fxfyfz的映射:fMN的个数是（A）1

（B）5（C）7（D）

10

（15）、从任何一个正整数n出发，若n是偶数

就除以2，若n是奇数就乘3再加1,如此继续下

去…,现在你从正整数3出发，按以上的操作，

你最终得到的数不可能是

A，10B，4C，2

D，1

（16）、已知集合{1,0,1}A，{2,1,0,1,2}B，则满足条

件：对每一个

,xAxfx恒使是偶数的映射:fAB的

个数是

（A）4（B）7（C）

12（D）非上述结果

（17）、由

43

2

2

3

1

4

43

2

2

3

1

41111bxbxbxbxaxaxaxax

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定义映射

f

：

43214321

,,,,,,bbbbaaaa，则1,2,3,4

的象是（）

A、4,3,2,1

B、0,4,3,0

C、2,2,0,1

D、1,4,3,0

（18）、定义运算'

'

xacx

ybdy









，则'

{

'

xaxcy

ybxdy





，按照

'21

'

xx

ypqy











，称点（x,y）映到点（x’,y’）

的一次变换。把直线y=kx上的各点映到这

点本身，而把直线y=mx上的各点映到这点

关于原点的对称点。这时，k=m=

p=q=24，1，3，3，-2

（19）设M＝{平面内的点(a，b)}，N＝{f(x)|f(x)

＝acos2x+bsin2x}，给出M到N的映射

f：(a，b)→f(x)＝acos2x＋bsin2x，则点(1，3)的

象f(x)的最小正周期为

A．πB．2πC．

π

2

D．

π

4

②函数：

1函数定义

a:传统（古典）定义：如果在某变化过程中，有

两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每

一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一

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确定的值和它对应，那么y就是x的函数.x叫做

自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x

的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫

做函数的值域.

b:近代（映射）定义：设A，B都是解空的数

的集合，f是从A到B的一个对应法则，那么A

到B的映射f：A→B叫做A到B的函数.记作

y=f(x)，其中x∈A，y∈B.

原象的集合A叫做函数f(x)的定义域。

.,)(BCxfC的值域叫做函数象集合

注：（1）两种定义的比较：

①相同点：1°实质一致

2°定义域，值域意义一致

3°对应法则一致

②不同点：1°传统定义从运动变化观点出发，

对函数的描述直观，具体生动.

2°近代定义从集合映射观点出

发，描述更广泛，更具有一般性.

（2）对函数定义的更深层次的思考：

①映射与函数的关系：函数是一种特殊的映

射f：A→B，其特殊性表现为集合A，B均为非

空的数集.

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.函数f:AB是特殊的映射。特殊在定义域

A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与

x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公

共点可能没有，也可能有任意个。

小结：函数概念8个字：非空数集上的映射。

②函数三要素

1°核心——对应法则

等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x，在

“对应法则f”的作用下，即可得到y.因此，f

是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系x

与y的纽带，从而是函数的核心.对于比较简单

的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但

在不少较为复杂的问题中，函数的对应法则f也

可以采用其他方式（如图表或图象等）.

2°定义域

定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一

个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相

同的函数，应看作是两个不同的函数.

在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解

析式表示的.如果没有特别说明，函数的定义域

就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集

合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的

具体的量的允许取值范围问题.

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3°值域

值域是全体函数值所组成的集合.在一般情况

下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也

就随之确定.因此，判断两个函数是否相同，只

要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同

就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个

不同，就不是同一个函数.

同一函数概念。构成函数的三要素是定义

域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应

法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应

法则相同时，它们一定为同一函数。

③关于函数符号y=f(x)

1°、y=f(x)即“y是x的函数”这句话的数

学表示.仅仅是函数符号，不是表示“y等于f

与x的乘积”.f(x)也不一定是解析式.

2°、f(x)与f(a)的区别：f(x)是x的函数，

在通常情况下，它是一个变量.f(a)表示自变量

x=a时所得的函数值，它是一个常量即是一个数

值.f(a)是f(x)的一个当x=a时的特殊值.

3°如果两个函数的定义域和对应法则相同虽

然表示自变量的与函数的字母不相同，那么它们

仍然是同一个函数，但是如果定义域与对应法则

中至少有一个不相同，那么它们就不是同一个函

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数.

例：y=f(x)=ax2+bx+c，a，b，c为常量且x≥0

与S=g（t）=at2+bt+c、a，b，c为相同的常量且

t≥0.则我们说这两个函数是同一个函数，对于它

们的图象是一个相同的曲线.

4°有些函数在它的定义中，对于自变量x的

不同的取值范围，对应法则不相同，例如：

x,x>0

y=f(x)=|x|=0,x=0这样的函数通常

称为分段函数.注意，分段函数是一个函数，

-x,x<0

而不是几个函数.

2．函数的常用的表示法

（1）解析法：将两个变量的函数关系用一个

等式来表示.

（2）列表法：利用表格来表示两个变量的函

数关系.

（3）图象法：用图象来表示两个变量的函数

关系.

3．实数集的三种表示方法：集合表示法，不

等式表示法，区间表示法.

这个问题实质上涉及到函数的定义域与值域

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的表示法，而定义域的确定和值域的确定是函数

概念中两个重要的问题.

而区间的概念在函数的定义域中，显得十分重

要.

设a，b∈R且a

实数x的集合可分别表示为：

（1）a≤x≤b表示为闭区间[a，b].数

轴表示为:

（2）a

数轴表示为

（3）a≤x

数轴表示为:

（4）a

数轴表示为

（5）x∈R表示为（-∞，+∞）

数轴表示为整个数轴

（6）x≤a，表示为（-∞，a]

数轴表示为

ab

a

b

ab

0

a

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（7）x≥a表示为[a，+∞]数轴表示为:

【精准训练】

（1）已知函数)(xfy,bax,,那么集合

}2|),{(]},[),(|),{(xyxbaxxfyyx

中所含元素的个数是

A.0个B.1个C.0或1个D.0

或1或无数个

（2）若函数42

2

1

2xxy的定义域、值域都是闭区

间]2,2[b，则b＝（答：2）

（3）若一系列函数的解析式相同，值域相同，

但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，

那么解析式为2yx，值域为{4，1}的“天一函数”

共有______个（答：9）

（4）若一系列函数的解析式相同，值域相同，

但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那

么函数解析式为y=2x2+1，值域为{5,19}的“孪

生函数”共有

A、10个B、9个C、8

个D、7个

（5）已知函数)(xfy,它的图象与直线的交点的个

a

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数是（）

（A）至少一个（B）至多一个（C）

一个或两个（D）可能有无数个

（6）.已知两个函数)(xf和)(xg的定义域和值域都

是集合{1,2,3},其定义如下表.

填写下列)]([xfg的表格,其三个数依次为

A.3,1,2

B.2,1,3C.1,2,3

D.3,2,1

附：趣说函数

函数是一种特殊的映射，当,AB时非空的数的

集合时，映射:fAB就叫做从A到B的函数，记作

()yfx，其中,xAyB.

解析式()yfx表示，对于集合A中的任意一个

x123

f（x）231

x123

g（x）

1

32

x123

g(f

（x）)

共18页第15页

x，在对应法则f的作用下，即可得到y，因此，f

是使“对应”得以实现的方式和途径，是联系x与

y的纽带，从而是函数的核心.f可用一个或多个

解析式来表示，也可以用数表或图象等其他方式

表示.

原象集合A叫函数()fx的定义域，象集合B叫函

数()fx的值域，很明显CB.

“函数”概念是初中和高中阶段的重点和难

点，有不少的同学直到高三还不能深刻理解这一

概念.原因在于这一概念的抽象性，如果把“函

数”与我们实际生活结合起来，同学们学起来就

会觉得既有意义又容易理解和运用.

1函数是个“信使”

“函”字本身就有“信件”之意，每封信都是

由邮递员按地址投到不同的的地方，每封信上都

写有确定的地址，不能含混不清.同样，“函数”

也是这样，每个自变量x都要按一定的对应法则

与确定的y一一对应.自变量x就是一封信，它被

“对应法则”这个信使送到确定的“收信人”—

—y手里.

2函数是个“产品加工厂”

工厂里把原料按规格加工成不同的产品.函数

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就是把自变量x按规格——“对应法则”“加工”

成不同产品——y.它也象“数字发生器”把原料

——自变量x，投入不同的“数字发生器”——

“对应法则”就会得到不同的产物——因变量y.

3函数是个“无能的射手”

有本领的射手可以“一箭双雕”，可函数不行，

有可能射不中目标，但它能多箭一雕.正如，由

数集A到数集B的映射中，B中每个元素必有原

象，也可有多个原象.A中元素在B中可以没有

象.

4函数是“封建社会的婚宴”

在封建社会，流传着“好女不嫁二夫”，但“一

夫可多妻”.同样函数中多个自变量x可对应一个

函数值y，但是一个“妇女”——自变量x不能找

多个“婆家”——y值.在现代社会是“一夫一妻”

制，这正如有反函数的函数x与y之间必须是一一

对应的.

有了上面的解释，你对“函数”这个概念是否

更加了解了呢？其实，只要我们对数学产生了兴

趣，能经常和我们的生活联系在一起，就易学多

了.

共18页第17页

（7）设a、b为常数，FxbxaxfxfM};sincos)(|)({：把

平面上任意一点

（a，b）映射为函数.sincosxbxa

（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个

函数；

（2）证明：当Mxf)(

0时，Mtxfxf)()(

01，这里t

为常数；

（3）对于属于M的一个固定值)(

0

xf，得

}),({

01

RttxfM，在映射F的作用下，M

1

作为象，

求其原象，并说明它是什么图象？

7解：(1)假设有两个不同的点（a，b），（c，d）

对应同一函数，即xbxabaFsincos),(与

xdxcdcFsincos),(相同，

即xdxcxbxasincossincos对一切实数x均成立。

特别令x=0，得a=c；令

2



x，得b=d这与（a，

b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.

故不存在两个不同点对应同函数。

（2）当Mxf)(

0

时，可得常数a

0

，b

0

，使

xbxaxfsincos)(

000



)()(

01

txfxf)sin()cos(

00

txbtxa

xtatbxtbtasin)sincos(cos)sincos(

0000

。

共18页第18页

由于tba,,

00

为常数，设

nmntatbmtbta,,sincos,sincos

0000

则是常数.

从而Mxnxmxfsincos)(

1

。

（3）设Mxf)(

0

，由此得xnxmtxfsincos)(

0



（tbtamsincos

00

其中，tatbnsincos

00

）

在映射F下，)(

0

txf的原象是（m，n），则M

1

的

原象是

},sincos,sincos|),{(

0000

Rttatbntbtamnm

消去t得2

0

2

0

22banm，即在映射F下，M

1

的原

象}|),{(2

0

2

0

22banmnm是以原点为圆心，2

0

2

0

ba为

半径的圆．