函数的极值
-脉诊
2023年2月15日发(作者：变力做功)导数与函数的极值、最值
最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的
极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最
小值(其中多项式函数不超过三次).
知识梳理
1.函数的极值与导数
(1)判断f(x
0
)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x
0
处连续且f′(x
0
)＝0，
①如果在x
0
附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x
0
)是极大值；
②如果在x
0
附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x
0
)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤：
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)
在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值
和最小值.
(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值
和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值.
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
精彩PPT展示
(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(×)
(2)函数的极大值不一定比极小值大.(√)
(3)对可导函数f(x)，f′(x
0
)＝0是x
0
点为极值点的充要条件.(×)
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(√)
2.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有()
A.极小值－1，极大值1B.极小值－2，极大值3
C.极小值－2，极大值2D.极小值－1，极大值3
解析因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解
得x＝±1，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)
f′(x)－0＋0－
f(x)极大值极小值
所以f(x)的极小值为f(－1)＝－1，f(x)的极大值为f(1)＝3.
答案D
3.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝
(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
()
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；
当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x
＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.
答案D
4.(2015·陕西卷)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________.
解析由y＝xex可得y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，从而可得y＝xex在(－∞，－1)
上递减，在(－1，＋∞)上递增，所以当x＝－1时，y＝xex取得极小值－e－1，
因为y′|
x＝－1
＝0，故切线方程为y＝－e－1，即y＝－
1
e
.
答案y＝－
1
e
5.(人教A选修1－1P97例5改编)函数f(x)＝
1
3
x3－4x＋4在[0，3]上的最大值
与最小值分别为________.
解析由f(x)＝
1
3
x3－4x＋4，得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＞0，
得x＞2或x＜－2；
令f′(x)＜0，得－2＜x＜2.所以f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增；
在(－2，2)上单调递减，而f(2)＝－
4
3
，f(0)＝4，f(3)＝1，故f(x)在[0，3]
上的最大值是4，最小值是－
4
3
.
答案4，－
4
3
考点一利用导数研究函数的极值问题
[微题型1]求不含参函数的极值
【例1－1】已知函数f(x)＝
x
4
＋
a
x
－lnx－
3
2
，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点
(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝
1
2
x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值.
解(1)对f(x)求导得f′(x)＝
1
4
－
a
x2
－
1
x
，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝
1
2
x，
知f′(1)＝－
3
4
－a＝－2，解得a＝
5
4
.
(2)由(1)知f(x)＝
x
4
＋
5
4x
－lnx－
3
2
，则f′(x)＝
x2－4x－5
4x2
.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去.
当x∈(0，5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)上为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)上为增函数.
由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5，
f(x)无极大值.
[微题型2]求含参函数的极值
【例1－2】(2015·银川一中一模)求函数f(x)＝lnx－ax，a∈R的极值.
解函数f(x)的定义域为(0，＋∞).
求导数，得f′(x)＝
1
x
－a＝
1－ax
x
.
(1)若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，无极值；
(2)若a＞0，令f′(x)＝0，得x＝
1
a
.
当x∈
0，
1
a
时，f′(x)＞0，f(x)在
0，
1
a
上是增函数；
当x∈
1
a
，＋∞
时，f′(x)＜0，f(x)在
1
a
，＋∞
上是减函数.
∴当x＝
1
a
时，f(x)有极大值，极大值为f
1
a
＝ln
1
a
－1＝－lna－1.
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；
当a＞0时，f(x)极大值为－lna－1，无极小值.
规律方法运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：
(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程
f′(x)＝0的根；(3)检查导数f′(x)在方程根左右的值的符号.
[微题型3]已知极值求参数
【例1－3】已知关于x的函数f(x)＝－
1
3
x3＋bx2＋cx＋bc在x＝1处有极值－
4
3
，
试求b，c的值.
解∵f′(x)＝－x2＋2bx＋c，由f(x)在x＝1处有极值－
4
3
，
可得
f′（1）＝－1＋2b＋c＝0，
f（1）＝－
1
3
＋b＋c＋bc＝－
4
3
.
解得
b＝1，
c＝－1
或
b＝－1，
c＝3.
若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，此时f(x)没有极值；
若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1).
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)
f′
(x)
－0＋0－
f(x
)
极小值－12
极大值－
4
3
∴当x＝1时，f(x)有极大值－
4
3
，故b＝－1，c＝3即为所求.
规律方法已知函数的极值求参数时，通常利用函数的导数在极值点处的取值等
于零来建立关于参数的方程.需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只
是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是
否符合函数取得极值的条件.
【训练1】设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a＞0).
(1)当a＝1，且函数图象过(0，1)时，求函数的极小值；
(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围.
解由题意得f′(x)＝3ax2－4x＋1.
(1)函数图象过(0，1)时，有f(0)＝c＝1.
当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1.
令f′(x)＞0，解得x＜
1
3
或x＞1；
令f′(x)＜0，解得
1
3
＜x＜1.
所以函数在
－∞，
1
3
和(1，＋∞)上单调递增；
在
1
3
，1
上单调递减，
故函数f(x)的极小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.
(2)若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，即f′(x)≥0或
f′(x)≤0恒成立.
当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；
当a≠0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－
4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥
4
3
.
综上，a的取值范围是
4
3
，＋∞
.
考点二利用导数解决函数的最值问题
【例2】(2015·德阳模拟)已知函数f(x)＝
1
3
x3－ax＋1.
(1)当x＝1时，f(x)取得极值，求a的值；
(2)求f(x)在[0，1]上的最小值.
解因为f′(x)＝x2－a，
(1)当x＝1时，f(x)取得极值，
所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1，
又当x∈(－1，1)时，f′(x)＜0；
x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1时符合题意.
(2)①当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0，1)恒成立，
所以f(x)在(0，1)上单调递增，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1.
②当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，解得x＝－a或a.
ⅰ.当0＜a＜1时，a＜1，
当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－
2aa
3
.
ⅱ.当a≥1时，a≥1.
x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝
4
3
－a.
综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1，
当0＜a＜1时，f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－
2aa
3
，当a≥1时，f(x)
在x＝1处取得最小值f(1)＝
4
3
－a.
规律方法(1)如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，
那么它必有最大值和最小值.(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是
极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可.(3)当连续函数的
极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值.
【训练2】(2014·江西卷)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)x，其中a＜0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值.
解(1)当a＝－4时，由f′(x)＝
2（5x－2）（x－2）
x
＝0得x＝
2
5
或x＝2，由
f′(x)＞0得x∈
0，
2
5
或x∈(2，＋∞)，
故函数f(x)的单调递增区间为
0，
2
5
和(2，＋∞).
(2)f′(x)＝
（10x＋a）（2x＋a）
2x
，a＜0，
由f′(x)＝0得x＝－
a
10
或x＝－
a
2
.
当x∈
0，－
a
10
时，f(x)单调递增；
当x∈
－
a
10
，－
a
2
时，f(x)单调递减；
当x∈
－
a
2
，＋∞
时，f(x)单调递增.
易知f(x)＝(2x＋a)2x≥0，且f
－
a
2
＝0.
①当－
a
2
≤1，即－2≤a＜0时，
f(x)在[1，4]上的最小值为f(1)，
由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，
得a＝±22－2，均不符合题意.
②当1＜－
a
2
≤4，即－8≤a＜－2时，
f(x)在[1，4]上的最小值为f
－
a
2
＝0，不符合题意.
③当－
a
2
＞4，即a＜－8时，f(x)在[1，4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取
得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当
a＝－10时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8，
符合题意.
综上，a＝－10.
考点三利用导数研究生活中的优化问题
【例3】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面
半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面
的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总
建造成本为12000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，
底面的总成本为160πr2元.
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元.
又根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，
所以h＝
1
5r
(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝
π
5
(300r－4r3).
因r>0，又由h>0可得0＜r<53，
故函数V(r)的定义域为(0，53).
(2)因V(r)＝
π
5
(300r－4r3)(0＜r＜53)，
故V′(r)＝
π
5
(300－12r2)，
令V′(r)＝0，解得r＝5或－5(因r＝－5不在定义域内，舍去).
当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；
当r∈(5，53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，53)上为减函数.
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.
规律方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建
立函数关系式，并确定其定义域，利
用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合.用导数求解实际问
题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，
该极值点也就是最值点.
【训练3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千
克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝
a
x－3
＋10(x－6)2，其中3＜x
＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该
商品所获得的利润最大.
解(1)因为x＝5时，y＝11，所以
a
2
＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝
2
x－3
＋10(x－6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)[
2
x－3
＋10(x－6)2]
＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6).
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x(3，4)4(4，6)
f′(x)＋0－
f(x)单调递增极大值42单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点.
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
[思想方法]
1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而
且条理，减少失分.
2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小.
3.可导函数y＝f(x)在点x
0
处取得极值的充要条件是f′(x
0
)＝0，且在x
0
左侧与
右侧f′(x)的符号不同.
4.若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调
函数，即在某区间上单调函数没有极值.
[易错防范]
1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减
少失分的可能.
2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下
结论.