奇函数的导数一定是偶函数吗

奇函数的导数一定是偶函数吗

-位分辨率

高中导数与函数知识点总结归纳

一、基本概念

1.导数的定义：

设

0

x是函数)(xfy定义域的一点，如果自变量x在

0

x处有增量x，则函数值y也引起相应的增量

)()(

00

xfxxfy；比值

x

xfxxf

x

y











)()(

00

称为函数)(xfy在点

0

x到xx

0

之间的平均变化

率；如果极限

x

xfxxf

x

y

xx











)()(

limlim00

00

存在，则称函数)(xfy在点

0

x处可导，并把这个极限叫做

)(xfy在

0

x处的导数。

fx在点

0

x处的导数记作

x

xfxxf

xfy

x

xx















)()(

lim)(00

0

0

0

2导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）

函数)(xfy在点

0

x处的导数的几何意义就是曲线)(xfy在点))(,(

0

xfx处的切线的斜率，也就是说，曲

线)(xfy在点P))(,(

0

xfx处的切线的斜率是)(

0

'xf，切线方程为).)((

0

'

0

xxxfyy

3．基本常见函数的导数:

①0;C



（C为常数）②1;nnxnx



③(sin)cosxx



;④(cos)sinxx



;

⑤();xxee



⑥()lnxxaaa



;

⑦

1

lnx

x



;⑧

1

lglog

aa

oxe

x



.

二、导数的运算

1.导数的四则运算：

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即：fxgxfxgx











法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：fxgxfxgxfxgx











常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：).())((''xCfxCf(C为常数)

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：











2

0

fxfxgxfxgx

gx

gx

gx



















。

2.复合函数的导数

形如)]([xfy的函数称为复合函数。法则：[()]()*()fxfx

.

三、导数的应用

1.函数的单调性与导数

（1）设函数)(xfy在某个区间),(ba可导，

如果

'f)(x0，则)(xf在此区间上为增函数；

如果

'f0)(x，则)(xf在此区间上为减函数。

（2）如果在某区间内恒有

'f0)(x，则)(xf为常函数。

2．函数的极点与极值：当函数)(xf在点

0

x处连续时，

①如果在

0

x附近的左侧)('xf＞0，右侧)('xf＜0，那么)(

0

xf是极大值；

②如果在

0

x附近的左侧)('xf＜0，右侧)('xf＞0，那么)(

0

xf是极小值.

3．函数的最值：

一般地，在区间],[ba上连续的函数)(xf在],[ba上必有最大值与最小值。函数

)(xf

在区间上的最值],[ba值点处取得。只可能在区间端点及极

求函数)(xf

在区间上最值],[ba的一般步骤：①求函数)(xf的导数，令导数0)('xf解出方程的跟

②在区间],[ba列出)(),(,'xfxfx的表格，求出极值及)()(bfaf、的值;③比较端点及极值点处的函数值的大

小，从而得出函数的最值。

4．相关结论总结：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

四、函数的概念

1.函数的概念

①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数

x

，在集合B中都有唯

一确定的数()fx和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B

的一个函数，记作:fAB．

y

x

o

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．

五、函数的性质

1.函数的单调性

①定义及判定方法

函数的

性质

定义图象判定方法

函数的

单调性

如果对于属于定义域I内某

个区间上的任意两个自变量

的值x1、x2,当x

．1

．

．．2

．

时，都

有f(x

．．．1

．

)

．．．．．2

．

)

．

，那么就说

f(x)在这个区间上是增函数

．．．

．

x

1

x

2

y=f(X)

x

y

f(x)

1

f(x)

2

o

（1）利用定义

（2）利用已知函数的

单调性

（3）利用函数图象（在

某个区间图

象上升为增）

（4）利用复合函数

如果对于属于定义域I内某

个区间上的任意两个自变量

的值x1、x2，当x

．1

．

．．2

．

时，都

有f(x

．．．1

．

)>f(x

．．．．．2

．

)

．

，那么就说

f(x)在这个区间上是减函数

．．．

．

y=f(X)y

x

o

xx

2

f(x)

f(x)2

1

1

（1）利用定义

（2）利用已知函数的

单调性

（3）利用函数图象（在

某个区间图

象下降为减）

（4）利用复合函数

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，

减函数减去一个增函数为减函数．

③对于复合函数[()]yfgx，令()ugx，若()yfu为增，()ugx为增，则

[()]yfgx为增；若()yfu为减，()ugx为减，则

[()]yfgx为增；若()yfu为增，()ugx为减，则[()]yfgx为减；若

()yfu为减，()ugx为增，则[()]yfgx为减．

（2）打“√”函数()(0)

a

fxxa

x

的图像与性质

()fx分别在(,]a、[,)a上为增函数，分别在[,0)a、(0,]a上为减函数．

2.最大（小）值（较常用导数求函数最值，类比记忆函数的极值）

①一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有()fxM；

（2）存在

0

xI，使得

0

()fxM．那么，我们称M是函数()fx的最大值，记作

max

()fxM．

②一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有()fxm；

（2）存在

0

xI，使得

0

()fxm．那么，我们称m是函数()fx的最小值，记作

max

()fxm．

3.奇偶性

①定义及判定方法

函数的

性质

定义图象判定方法

函数的

奇偶性

如果对于函数f(x)定义域内

任意一个x，都有f(

．．

－

．

x)=

．．．

－

．

f(x)

．．．．

,那么函数f(x)叫做奇函

．．

数

．

．

（1）利用定义（要先

判断定义域是否关于

原点对称）

（2）利用图象（图象

关于原点对称）

如果对于函数f(x)定义域内

任意一个x，都有f(

．．

－

．

x)=

．．．

f(x)

．．．．

,

那么函数f(x)叫做偶函数

．．．

．

（1）利用定义（要先

判断定义域是否关于

原点对称）

（2）利用图象（图象

关于y轴对称）

②若函数()fx为奇函数，且在0x处有定义，则(0)0f．

③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）

的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．