极坐标

极坐标

-血细胞分离机

2023年2月15日发(作者：北京气候类型)

（一）极坐标概念

确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的

方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座

位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点

的位置是极坐标的基本思想。极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。

1.1极坐标系定义

在平面上选一定点O，由O出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的

正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。其中O为极点，射线

OX为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（ρ，θ）。

1.2平面内的点与极坐标系的关系

平面内有一点P，|OP|用ρ表示，ρ称为P点的极径；OX到OP的角θ

叫极角，P（ρ，θ）为极坐标。

(1)有一组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯一的点与其对应；

(2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应。

①P点固定后，极角不固定。（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）

表示同一点坐标；

②P点固定后，ρ的值可正、可负。ρ＞0时，极角的始边为

OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规

定：ρ=0时，极角为任意角，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，

2kπ+π+θ)(k∈z)表示同一点。

∴极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。

例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（）

A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称

C.重合D.关于

直线（ρ∈R）对称

分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表示同一点，它与点P（ρ，

θ）关于直线（ρ∈R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。故选D。

例2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是，

，那么C的坐标可能是（）

A.B.

C.D.（3，π）

分析：∵,极径相同，极角相差π，A、B以极点对称，又

|AB|=4，△ABC为等边△，，，C对应极角为.

∴或故选B。

例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ

1

，θ

1

)，B(ρ

2

，θ

2

)，则

|AB|=______________________________。

分析：用余弦定理可得此结论可作为

公式。

1.3极坐标与直角坐标的互化

取极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，在极

坐标系中P(ρ，θ)，设在直角坐标系中P(x,y)

则ρ2=x2+y2、、(注意角所在象限)

此三组式子，即为极坐标与直角坐标的互化公式。

例1.将下列各极坐标方程化为直角坐标方程。

(1)(2)

(3)(4)ρ2=2cos2θ

解：(1)得y=-x；

(2)ρsin2θ=2cosθ+2,ρ2sin2θ=2ρcosθ+2ρ,

,(y2-2x)2=4(x2+y2)得y2=4(x+1)；

(3)4ρ2+5ρ2cos2θ=36,4(x2+y2)+5x2=36,得x2+4y2=36；

(4)ρ4=2ρ2(cos2θ-sin2θ),(x2+y2)=2x2-2y2

例2.椭圆在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中

的方程为（）

A.B.C.

D.

分析：,得故选C。

（二）极坐标方程的确定

2.1几种直线的极坐标方程

(1)从极点O发出的一条射线（如图1），其极坐标方程为：θ=θ

1

（ρ

＞0）；

(2)过极点O的一条直线（），其极坐标方程为θ=θ

1

（ρ∈R）；

(3)如图3过点（a,o）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：

ρcosθ=a；

(4)如图4过点（a,π)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：

ρcosθ=-a；

如图1

如图2

如图3如图4

(5)如图5平行于极轴在极轴上方a个单位的直线的极坐标方程为：

ρsinθ=a；

(6)如图6平行于极轴且在极轴下方a个单位的直线的极坐标方程

为：ρsinθ=-a；

(7)如图7过点M（a,θ

1

）,且与极径OM垂直的直线的极坐标方程为：

ρcos(θ-θ1

)=a.

如图5如图6

如图7

例1.过点且与极轴平行的直线的极坐标方程是（）

A.B.ρ=1C.D.

分析：极点到直线距离d=1.根据直线极坐标方程(5)得ρsinθ=1，故选

C。

例2.已知点P的坐标为（1,π），那么通过P点且垂直于极轴的直线的

极坐标方程为（）（上海94年高考题）

A.ρ=1B.ρ=cosθC.ρcosθ=

-1D.ρcosθ=1

分析：根据直线极坐标方程(4)得ρcosθ=-1故选C。

例3.已知直线ι

1

的参数方程为：（t为参数），直线ι

2

的极坐标方程为（极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合）。则

ι1

与ι

2

的夹角是（）

A.B.C.D.

分析：直线化为普通方程为x-2y+3=0,其斜率；直线

化为普通方程，即，其斜率k

2

=1，两直

线夹角若为α，则，，故选C。

2.2几种圆的极坐标方程

(1)圆心为极点，半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=r(θ∈R)；

(2)圆心O′（r,0），半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=2rcosθ；

(3)圆心O′（r,π），半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=-2rcosθ；

(4)圆心O′，半径为r的圆的极坐标方程为：

；

(5)圆心O′，半径为r的圆的极坐标方程为：

；

(6)一般圆的极坐标方程：圆心O′（ρ

0

，θ

0

），半径为r的极坐标方程。

设动点（ρ，θ），依据余弦定理得ρ2+ρ2

0

-2ρρ

0

cos（θ-θ

0

）=r2即ρ2-[2ρ

0

cos(θ-θ

0

)]ρ+ρ

0

2-r2=0.

以上方程的推导方程有两种：一是基本方法，也就是轨迹法。轨迹法就

是设曲线动点为（ρ，θ），然后找出可解三角形，在可解三角形中建立等量关

系；二是直极转化法，也就是写出直角坐标方法，然后再化为极坐标方程。

例1.极坐标方程所表示的曲线是（）

A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆

分析：

故选D。

例2.极坐标方程ρ2-(1+2cosθ)ρ+2cosθ=0所表示的曲线是（）

A.抛物线B.一直线和一个圆C.两条直

线D.两相交圆

分析：

是两相交

的圆故选D。

例3.极坐标方程分别是ρ=-cosθ和ρ=-sinθ的两个圆的圆心距是

（）

A.2B.C.1D.

解法一：圆ρ=-cosθ圆心；圆ρ=-sinθ，圆心

根据两个点间距离

，应选D；

解法二：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线

上，且两圆都过极点，半径都为根据两个点间距离

，应选D；

解法三：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线

上，且两圆都过极点，半径都为，根据勾股定理，；

解法四：；.圆心距

.

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2.3焦点为极点的椭圆、双曲线和抛物线标准统一的极坐标方程：

(1)圆锥曲线统一定义：在同一平面内到一定点和一定直线的距离之比为

常数e的动点轨迹，就叫圆锥曲线。其中定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫准线。

(2)圆锥曲线的标准统一极坐标方程：如果以定点O为极点，以过定点所

作定直线L的垂线的反向延长线为极轴正方向建立极坐标系为标准坐标系。那么

在此标准极坐标系下圆锥曲线的标准统一方程,其中p是焦点到相

应准线的距离。在椭圆和双曲线中p就是相应直角坐标系中的,.

(3)将化为直角坐标方程(1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0,其中0＜

e＜1时两方程表示椭圆（极点和原点是椭圆的左焦点）；e＞1时两方程表示双

曲线（极点和原点是双曲线的右焦点）；e=1时两方程表示抛物线（极点和原点

是抛物线焦点）。

例1.设椭圆(0＜e＜1).求：a、b、c及另一个焦

点的极坐标，两条准线的极坐标方程。

解：令θ=0得A点极径①

θ=π得A′点极径②

由①+②得①-②得

F

1

为极点

左准线ρcosθ=-p，右准线.

例2.求双曲线(e＞1)的a、b、c，焦点的坐标和准线的方程。

解：令θ=0(e＞1)①

θ=π②

由①、②得

焦点F

2

(0，θ)为极点，F

1

(2c,π)即

右准线ρcosθ=-p左准线

例3.求圆锥曲线过焦点的弦AB之长

解：

当e=1时，抛物线过焦点弦长

解评：圆锥曲线极坐标方程只有一个，比较容易记忆，注意圆锥曲线统

一标准极坐标方程的极点是其一个焦点。也正因为此，遇到圆锥曲线有关焦点弦

问题，用极坐标方程来解题，运算要简捷。

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（三）极坐标方程的应用

3.1由极坐标方程讨论曲线及性质

例1.椭圆的焦距是（）

A.B.2C.D.1

分析：极坐标方程化为标准式

应选B.

例2.若圆锥曲线的一条准线方程是ρcosθ=1，则另一条

准线的极坐标方程是____________________。

分析：化标准式，两条准线间距离

∴另一条准线为

例3.双曲线的渐近线方程是_____________.

分析：化标准线

设双曲线渐近线上一动点M（ρ,θ）。

令此时ρ不存在，θ

1

为渐近线与极轴

夹角。在△MO′F中(如图)根据正弦定理

∴双曲线的两条渐近线的方程

为：和.

解评：用圆锥曲线统一标准极坐标方程讨论曲线性质。主要记住椭圆和

双曲线,及直线的极坐标方程；例3求双曲线渐近线的极坐标方程

高考大纲不作要求，有同学愿用极坐标求动点轨迹研究可作参考。

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3.2圆锥曲线过焦点弦问题在极坐标中应用

因为圆锥曲线的统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点，且过极点弦

长可直接得ρ

1

+ρ

2

之值。因此遇到有关过焦点弦问题用极坐标方程解决，可简

化做题过程。

例1.过椭圆的左焦点作一条倾角为的直线ι，则它被曲

线截得的弦长是______________。

解：设直线ι与曲线交点为、它被曲线截得

的弦长

例2.已知椭圆长轴AA′=6，焦距，过椭圆焦点F

1

作直线交椭圆于M、N两点，若∠F

2

F

1

M=α,(0≤α＜π).当α取什么

值时，|MN|等于椭圆短轴的长。

解：（此题MN是过焦点弦问题，用极坐标解题较好）以F

1

为

极点，F

1

F

2

所在射线为极轴建立极坐标系。

∵a=3，，,,

椭圆的极坐标方程为

∴

令：

例3.过抛物线y2=2px的焦点F作两条互相垂直的直线ι

1

和ι

2

,分别与

抛物线交于A、B点和C、D点(1)求证：为定值；(2)求|AB|+|CD|的

最小值。

解：(1)以焦点F为极点，x轴正方向为极轴正向建立极坐标系，则y2=2px

的极坐标方程为

设A(ρ

1

，θ)则B(ρ

2

，θ+π),,

∴（为定值）

(2)

当sin22θ=1时，等号成立，∴最小值为8p

解评：抛物线直角坐标方程中p与极坐标方程中p相同，因此抛物线直

角坐标方程（原点为抛物线顶点）与极坐标方程（极点为抛物线焦点）互换极为

容易，过焦点弦问题用极坐标方程解决较好。

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[同步检测]

1.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为（）（98年全国高考题）

A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4

C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4

2.已知点P的坐标为（1，π），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程

为（）（94年上海高考题）

A.ρ=1B.ρ=cosθC.ρcosθ=

-1D.ρcosθ=1

3.的半径和圆心的极坐标分别为（）

A.B.

C.D.

4.双曲线的顶点坐标是（）

A.（8，0），（2，π）B.（-8，0），（2，π）

C.（-8，0），（-2，π）D.（8，0），（-2，π）

5.椭圆的长轴长_____________，短轴长____________，短轴上顶点

的坐标_______，焦点坐标_____________，准线方程_________________。

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[强化练习]

1.设椭圆(a＞b＞0)，A、B为椭圆上任意两点，且（其

中O为坐标轴原点），求证：为定值。

2.设有一彗星，围绕地球沿一抛物线轨迹运行，地球恰好位于这轨迹的

焦点处。当此彗星离地球为d万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的

夹角为，求这彗星运行中与地球的最短距离。

3.F是定点，ι是定直线，点F到直线ι的距离为p

（p＞0）,点M在直线ι上滑动，动点N在MF的延长

线上，且满足。(1)求动点N的轨迹。(2)

求|MN|的最小值。（1989年上海高考题）

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同步检测答案：

1.B2.C3.C4.B

提示：

1.ρ2=4ρcosθx2+y2-4x=0x2+(y-2)2=4故选B；

2.把ρ=1，θ=π代入方程，只有C成立；

3.化为直角坐标方程得

,半径r=1，圆心化为极坐标

.故选C。

4.a=3,b=4,c=5顶点A(c-a,π)A′（-(a+c),0）

5.∴2a=10,

短轴上顶点坐标为,焦点（0，θ），（4，0），

准线或

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强化练习解答：

1.解化为极坐标方程x=ρcosθ,y=ρsinθ,得

b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2,即

2.解：以地球所在位置为极点，抛物线对称轴为极轴建立极坐标系，设

抛物线方程为

∵在抛物线上，故；

又∵也可能在抛物线上故

∵抛物线上各点中顶点离焦点最近，∴慧星与地球最短距离为

（万公里）或（万公里）。

3.解：以F为极点，过F而垂直于ι，方向向右为正建立极坐标系。

(1)设N（ρ，θ），,过F作FK⊥ι于K，

设|FK|=p，,(其中|FN|=ρ)，

∵即（0＜cosθ＜

p）。

①若,即0＜p＜1时，N的轨迹为双曲线右

支的一部分（如右图）。

②若,即p=1时，N的轨迹为抛物线一部分

（如右图）。

③若即p＞1时，N为椭圆的一部分。

(2)

①若0＜p≤2时，则时，|MN|

min

=4

②若p＞2时，则cosθ=1时，

极坐标·型例题分析

发布时间：2005年7月24日14时58分

例1点M(1，π)是否在曲线C∶ρ(3-4cosθ)=1上，为什么？

分析点M(1，π)的极坐标可以有无数种表示形式，点M是否在

曲线C上，只要点M有其中一个极坐标满足方程．

解由1·(3-4cosπ)≠1不能判断点M不在曲线C上，

∵点M(1，π)，即是M(-1，2π)

且-1·(3-4cos2π)=1

∴点M(1，π)在曲线C∶ρ(3-4cosθ)=1上．

说明解此题要注意“点和极坐标”的“一多对应”特性，适合

曲线的极坐标方程的每一对有序实数(ρ，θ)所确定的点一定在此曲线

上，但此曲线上点的坐标不一定全适合此方程．

例2化下列极坐标方程为直角坐标方程．

分析要利用ρcosθ=x；ρsinθ=y；ρ2=x2+y2进行转化

ρsin2θ=-6cosθ

当ρ≠0时，两边乘以ρ∶ρ2sin2θ=-6ρcosθ

即：y2=-6x(x≠0)

当ρ=0时，原方程有解，曲线过原点．

∴所得直角坐标方程为：y2=-6x．

说明化极坐标方程为直角坐标方程时，要注意变形的等价性，

特别要检查极点是否在曲线上．这是因为在变形过程中，通常要用ρ去

乘

不过极点，在得到2ρ2cos2θ=ρ后，如不限制ρ＞0，则原点在曲

线

直线的距离是______．

分析由极坐标的定义，ρ(ρ＞0时)或|p|(ρ＜0时)为曲线上

点到极点的距离，因此可求|p|的最小值，另一种方法是化直线的极坐

标方程为普通方程，再利用点到直线的距离公式求解．

∴ρsinθ+ρcosθ=1．

∴直线的直角坐标方程是x+y-1=0

说明解法一需要对极坐标的概念有较深刻的理解；解法二的关

键一步是化极坐标方程为直角坐标方程，这是解决极坐标问题的常用方

法．

分析如图3-3，|OA|，|OB|是从原点出发的两条线段的长度，启

发我们把椭圆方程化为极坐标方程后，利用极径的意义求解．

解以原点为极点，ox为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方

程

说明对有心圆锥曲线，若涉及曲线上的点与中心连线的问题，

则通常以中心为极点，对称轴为极轴建立极坐标系；若涉及抛物线顶点

弦的问题，则通常以顶点为极点，对称轴为极轴建立极坐标系．

极坐标·例题

(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；

(3)化曲线E的极坐标方程：kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0为直角

坐标方程，并说明曲线的形状．

解(1)设M的直角坐标为(x，y)，则

(3)在方程kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0两边同乘以ρ得

kρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-6ρcosθ=0

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得

kx2+3y2-6x=0

因极点在曲线上，则原点也满足方程．

当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；

注(i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为

两

的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值．

(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ，

使方程中出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化．

但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．

例13-2-2已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，

OB

作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值

a2时，求P点的轨迹．

解如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设

P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=

α+θ．所以

OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ)

ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ)

于是S

PMON

=S

△POM

+S

△PON

由题设知

故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，

注与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法

求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．

例13-2-3已知椭圆(x-2)2+4y2=4．P为椭圆上一动点，O为原点，

以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点

轨迹方程．

解以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系．

化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为

x2+4y2-4x=0

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程

ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4ρcosθ=0

设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．

因点P在椭圆上，故

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得

这就是点Q的轨迹方程．

注因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方

程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．

焦距．

解[法一]设长轴两端点为A

1

，A

2

，其极坐标为(ρ

1

，0)，(ρ

2

，

π)，则

为右焦点；∠MF

1

F

2

=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．

以左焦点F

1

为极点，射线F

1

F

2

为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极

设M点的极坐标为(ρ

1

，α)则N点极坐标为(ρ

2

，π+α)．于是

注对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极

点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解

极坐标·例题

(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；

(3)化曲线E的极坐标方程：kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0为直角

坐标方程，并说明曲线的形状．

解(1)设M的直角坐标为(x，y)，则

(3)在方程kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0两边同乘以ρ得

kρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-6ρcosθ=0

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得

kx2+3y2-6x=0

因极点在曲线上，则原点也满足方程．

当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；

注(i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为

两

的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值．

(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ，

使方程中出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化．

但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．

例13-2-2已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，

OB

作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值

a2时，求P点的轨迹．

解如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设

P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=

α+θ．所以

OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ)

ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ)

于是S

PMON

=S

△POM

+S

△PON

由题设知

故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，

注与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法

求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．

例13-2-3已知椭圆(x-2)2+4y2=4．P为椭圆上一动点，O为原点，

以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点

轨迹方程．

解以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系．

化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为

x2+4y2-4x=0

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程

ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4ρcosθ=0

设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．

因点P在椭圆上，故

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得

这就是点Q的轨迹方程．

注因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方

程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．

焦距．

解[法一]设长轴两端点为A

1

，A

2

，其极坐标为(ρ

1

，0)，(ρ

2

，

π)，则

为右焦点；∠MF

1

F

2

=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．

以左焦点F

1

为极点，射线F

1

F

2

为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极

设M点的极坐标为(ρ

1

，α)则N点极坐标为(ρ

2

，π+α)．于是

注对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极

点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解

极坐标·例题

(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；

(3)化曲线E的极坐标方程：kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0为直角

坐标方程，并说明曲线的形状．

解(1)设M的直角坐标为(x，y)，则

(3)在方程kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0两边同乘以ρ得

kρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-6ρcosθ=0

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得

kx2+3y2-6x=0

因极点在曲线上，则原点也满足方程．

当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；

注(i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为

两

的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值．

(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ，

使方程中出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化．

但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．

例13-2-2已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，

OB

作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值

a2时，求P点的轨迹．

解如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设

P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=

α+θ．所以

OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ)

ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ)

于是S

PMON

=S

△POM

+S

△PON

由题设知

故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，

注与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法

求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．

例13-2-3已知椭圆(x-2)2+4y2=4．P为椭圆上一动点，O为原点，

以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点

轨迹方程．

解以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系．

化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为

x2+4y2-4x=0

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程

ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4ρcosθ=0

设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．

因点P在椭圆上，故

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得

这就是点Q的轨迹方程．

注因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方

程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．

焦距．

解[法一]设长轴两端点为A

1

，A

2

，其极坐标为(ρ

1

，0)，(ρ

2

，

π)，则

为右焦点；∠MF

1

F

2

=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．

以左焦点F

1

为极点，射线F

1

F

2

为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极

设M点的极坐标为(ρ

1

，α)则N点极坐标为(ρ

2

，π+α)．于是

注对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极

点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解

极坐标·例题

(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；

(3)化曲线E的极坐标方程：kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0为直角

坐标方程，并说明曲线的形状．

解(1)设M的直角坐标为(x，y)，则

(3)在方程kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0两边同乘以ρ得

kρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-6ρcosθ=0

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得

kx2+3y2-6x=0

因极点在曲线上，则原点也满足方程．

当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；

注(i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为

两

的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值．

(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ，

使方程中出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化．

但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．

例13-2-2已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，

OB

作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值

a2时，求P点的轨迹．

解如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设

P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=

α+θ．所以

OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ)

ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ)

于是S

PMON

=S

△POM

+S

△PON

由题设知

故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，

注与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法

求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．

例13-2-3已知椭圆(x-2)2+4y2=4．P为椭圆上一动点，O为原点，

以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点

轨迹方程．

解以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系．

化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为

x2+4y2-4x=0

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程

ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4ρcosθ=0

设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．

因点P在椭圆上，故

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得

这就是点Q的轨迹方程．

注因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方

程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．

焦距．

解[法一]设长轴两端点为A

1

，A

2

，其极坐标为(ρ

1

，0)，(ρ

2

，

π)，则

为右焦点；∠MF

1

F

2

=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．

以左焦点F

1

为极点，射线F

1

F

2

为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极

设M点的极坐标为(ρ

1

，α)则N点极坐标为(ρ

2

，π+α)．于是

注对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极

点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解