二重积分极坐标
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2023年2月22日发(作者：新闻概括)在极坐标系下二重积分的计算
第九节在极坐标系下二重积分的计算
根据微元法可得到极坐标系下的面积微元
注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为
从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为
内容分布图示
★利用极坐标系计算二重积分
★二重积分化为二次积分的公式
★例1★例2★例3
★例4★例5★例6
★例7★例8
★内容小结★课堂练习
★习题6-9
★返回
内容提要：
一、二重积分的计算
1．如果积分区域D介于两条射线之间，而对D内任一点，其极
径总是介于曲线之间（图6-9-2），则区域D的积分限
于是
Df(x,y)dxdy
具体计算时，内层积分的上、下限可按如下方式确定：从极点出发在区间上
任意作一条极角为的射线穿透区域D（图6-9-2），则进入点与穿出点的极径
就分别为内层积分的下限与上限.
2．如果积分区域D是如图6-9-3所示的曲边扇形，则可以把它看作是第一种情形中
当的特例，此时，区域D的积分限
于是
3．如果积分区域D如图6-9-4所示，极点位于D的内部，则可以把它看作是第二种
情形中当的特例，此时，区域D的积分限
于是
注：根据二重积分的性质3，闭区域D的面积在极坐标系下可表示为
如果区域D如图6-9-3所示，则有
例题选讲：
例1（讲义例1）计算
2222，其中D是由所确定的圆域.例2（讲义例2）计算
其中积分区域D是由
所确定的圆环域.
例3（讲义例3）计算
Dyx22dxdy,其中D是由曲线所围成的平面区域.22
例4（讲义例4）写出在极坐标系下二重积分的二次积分，其中区域
D
22例5计算其中D为由圆及直线
D
所围成的平面闭区域.
例6将二重积分
化为极坐标形式的二次积分,其中D是曲线
及直线所围成上半平面的区域.
例7（讲义例5）求曲线和所围成区域D的面积.
例8（讲义例6）求球体被圆柱面所截得的(含
在圆柱面内的部分)立体的体积（图6-9-9）.
课堂练习
1.计算
其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.
22.计算其中