直线的极坐标方程

直线的极坐标方程

-

.

.

一、坐标系

1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定

2、平面直角坐标系

在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建

立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定。

3、空间直角坐标系

在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单

位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确

定。

二、平面直角坐标系的伸缩变换

定义：设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换











).0('

)0(,'

:







yy

xx

④的作用下，

点P（x，y）对应到点P’（x’，y’），称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

三．例题讲解

例1在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。

（1）2x+3y=0；（2）x2+y2=1

三、极坐标系

1、极坐标系的建立：

在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取

逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）

2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的

角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极

坐标。

特别强调：由极径的意义可知≥0;当极角的取值范围是[0,2



)时,平面上的点(除去极点)就与极

坐标（，）建立一一对应的关系.们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角.

3、负极径的规定

在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角

当＜0时，点M（，）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。

M（，）也可以表示为))12(,()2,(kk或

)(zk

4、数学应用

例1写出下图中各点的极坐标

A（4，0）B（2）C（）D（）

E（）F（）G（）

规定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。

.

.

变式训练

在极坐标系里描出下列各点

A（3，0）B（6，2



）C（3，

2



）D（5，

3

4

）E（3，

6

5

）F（4，



）G（6，

3

5

）

例2在极坐标系中，

（1）已知两点P（5，

4

5

），Q)

4

,1(



，求线段PQ的长度；

（2）已知M的极坐标为（，）且=

3



，R，说明满足上述条件的点M的位置。

变式训练

1、若ABC的的三个顶点为.),

6

7

,3(),

6

5

,8(),

2

5

,5(判断三角形的形状



CBA

2、若A、B两点的极坐标为),(),,(

2211

求AB的长以及AOB的面积。（O为极点）

例3已知Q（，），分别按下列条件求出点P的极坐标。

（1）P是点Q关于极点O的对称点；

（2）P是点Q关于直线

2



的对称点；

（3）P是点Q关于极轴的对称点。

变式训练

1.在极坐标系中,与点)

6

,8(



关于极点对称的点的一个坐标是()

)

6

,8(),

6

5

,8(),

6

5

,8(),

6

,8(



DCBA

2在极坐标系中，如果等边ABC的两个顶点是),

4

5

,2(),

4

,2(BA



求第三个顶点C的坐标。

.

.

四、极坐标与直角坐标的互化

直角坐标系的原点O为极点，

x

轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取

相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为),(yx和

),(，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：















sin

cos

y

x















)0(tan

222

x

x

y

yx





说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式

2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，0≤≤2。

3化公式的三个前提条件

1.极点与直角坐标系的原点重合;

2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;

3.两种坐标系的单位长度相同.

三、数学应用

例1（1）把点M的极坐标)

3

2

,8(



化成直角坐标；（2）把点P的直角坐标

)2,6(

化成极坐标。

变式训练

在极坐标系中,已知),

6

,2(),

6

,2(



BA求A,B两点的距离

例2若以极点为原点,极轴为

x

轴正半轴,建立直角坐标系.

(1)已知A的极坐标),

3

5

,4(



求它的直角坐标,

(2)已知点B和点C的直角坐标为)15,0()2,2(和求它们的极坐标.(＞0,0≤＜2



)

变式训练

把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定＞0,0≤＜2))4,3(),4,3(),2,0(),1,1(DCBA

.

.

例3在极坐标系中,已知两点)

3

2

,6(),

6

,6(



BA.求A,B中点的极坐标.

变式训练

在极坐标系中,已知三点)

6

,32(),0,2(),

3

,2(



PNM.判断PNM,,三点是否在一条直线上.

五、常用曲线的极坐标方程

1、若直线l经过

),(

00

M且极轴到此直线的角为，求直线l的极坐标方程。

变式训练：直线l经过)

2

,3(



M且该直线到极轴所成角为

4



，求此直线l的极坐标方程。

2、若圆心的坐标为

),(

00

M，圆的半径为r，求圆的方程。运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极

坐标方程。

3、在圆心的极坐标为)0,4(A，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹。

三、巩固与练习

.

.

在极坐标系中，已知圆C的圆心)

6

,3(



C，半径3r，

（1）求圆C的极坐标方程。

（2）若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且2:3:OPOQ，求动点P的轨迹方程。

1、圆锥曲线的统一方程

设定点的距离为P，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数

e

的点的轨迹的极坐标方程。

分析：①建系②设点③列出等式

④用极坐标、表示上述等式，并化简得极坐标方程

说明：⑴为便于表示距离，取F为极点，垂直于定直线l的方向为极轴的正方向。

⑵

e

表示离心率，P表示焦点到准线距离。

2、例题讲解

例1．2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准

确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远

地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km，然后进入距地面约343km的圆形轨道。若地球半

径取6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。

例2．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。

变式训练

设P、Q是双曲线)0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

上的两点，若OQOP。

求证：

22||

1

||

1

OQOP

为定值；

.

.

三、巩固与练习

已知抛物线xy42的焦点为F。

（1）以F为极点，

x

轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；

（2）过取F作直线l交抛物线于A、B两点，若|AB|＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l的倾斜

角。

基础训练

1．直线

2

()cos(





k

m)zk的斜率是

2．极坐标方程





sin2

16



表示的曲线是

3．曲线2sin和)20,0(sin4的交点坐标

4．在极坐标系中与圆sin4相切的一条直线方程为（）

A、2sinB、2cosC、4cosD、4cos

5．椭圆





cos45

9



的长轴长

二、讲解新课：

例1．求曲线01cos关于直线

4



对称的曲线方程。

例2．求下列两曲线的交点坐标。

cos1和

)cos1(2

1









.

.

例3．已知圆2，直线4cos，过极点作射线交圆于点A，交直线于点B，当射线以极点为中

心转动时，求线段AB的中点M的轨迹方程。

例4．已知A、B为椭圆)0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

上两点，若OBOA。（O为原点）

（1）求证

22||

1

||

1

OBOA

为定值；

（2）求AOB面积的最值。