点到平面的距离公式
-暮云收尽溢清寒
2023年2月15日发(作者：教师政治学习笔记)空间几何向量法之点到平面的距离
1.要求一个点到平面的距离，可以分为三个步骤：
（1）找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量；
（2）求出该平面的法向量；
⑶求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，这就是
该店到平面的距离。
例子：点A到面的距离d
（注：AB为点A的斜向量，n是面的法向量,
点B是面内任意一点。）
2.求立体几何体积（向量
法）体积公式：
1、柱体体积公式：Sh
2、椎体体积公式:
3、球体体积公式:
-S.h
3
么R3
3
课后练习题
ABD丄平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1且/BAD=3O0,
要求平面
P到平面
外一点P到平面的距离,的
距离即为d=
IPAI|PAn|
IPA||n|
|n|
建立如图空间直角坐标系，则
1,0,0)，B
（写,0,弓），C（0,字,0），D（今，0,0）
•••AC(乂罟,0),AB
（李,0匕），DC
(i,43,0)
V
例题：在三棱锥B—ACD中，平面求
点D到平面ABC的距离。
可以在平面内任取一点A，则点
25
11
设n=(x,y,z)为平面的一个法向量，则n竺
nAC
•••y事X,zTax，可取n(73,1,3)
49=49117
佑17
G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0),F(4,2,0),AGE=(2,4,-2),
GF=(4,2,-2),BE=(2,0,0).
设平面EFG的一个法向量为n(x,y,z)，则由
niGi0及n|GF0，得
2x+4y2z0
厂T4x2y2z0
x=y-
z3y,取y=1,得n⑴1'3),于是点B到平面EFG的距离为d=
代入
dIDCn|
Q.
"3
殛
，即点
D到平面ABC的距离是€9。
1.已知
A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点D到平面
ABC的距离.
解：
(x,y,z)是平面ABC的一个法向量，则由n|AB0及
2x
2x
2y
2y
z
5z
2
—x
3—
2，取x=3,得n(3,2,2),于是点D到平面ABC的距离为
—x
d=
DAn
2.已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB和AD的中点，GC丄平面
ABCD，且GC=2,
求点B到平面EFG的距离.
解：建立如图
2所示的空间直角坐标系C-xyz，则
0，
A
3.在棱长为1的正方体ABCD-AiBiCiDi中，求点C
1
到平面A
1
BD的距离。
由题设易知AO丄BD,OC丄BD,•••OA=1,OC=73,AOA2+OC2=AC2，•—
以0为原点，OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系0-xyz，则
A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,73,0),D(-1,0,0),A
解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz，则A
1
(1,0,1),B(1,1,0),Ci(0,1,1).
设平面A1
BD的一个法向量为n(x,y,z)，则由nDA,0及nDB
0,得
z=-x—
，取x=-1,得n=(-1,1,1),于是点Ci到平面AIBD的距离为d=
y=-x
礼=3
2243
4.如图4，四面体ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2,
AB=AD=
J2，求点E到平面ACD的距离.
解:
AOC=90
，即OA丄OC.
（I）求证：BCi丄平面AiBiC;
（n）求证：MN//平面AiABBi；
（川）求三棱锥M—BCiBi的体积.
（I）vABC—AiBiCi是直三棱柱，•••BBi丄平面AiBiCi,；BiB丄AiBi.又BiCi丄AiBi,；AiBi
丄平面BCCiBi,；BCi丄AiBi.
•••BBi=CB=2,•••BCi丄BiC,；BCi丄平面AiBiC.
（n）连接AiB,由M、N分别为AiCi、BCi的中点，得MN//AiB,又AiB平面AiABBi,
（川）取CiBi中点H，连结
MH.
•••M是AiCi的中点，•••MH//AiBi,
A_________________________O
E（2,亍0）,AD=（-i，0，-i）,AC=（0,Z而七，丁0）.
设平面ACD的一个法向量为n(x,y,z)，则由nAD0及
x=-z
血亠—币777
屈取z=，得n=(-J3,i,J3),于是点E到平面ACD的距离为y=——z
d=
^/3721
5.如图，在直三棱柱ABC—AiBiCi中，/ABC=90°,AB=BC=AAi=2,M、N分别是
AiCi、BCi的中点.
0，得
AiABBi.
又AiBi丄平面BCCiBi,...MH丄平面BCCiBi,；MH是三棱锥
i
•••三棱锥M—BCiBi的体积V-S
3
BC1B1
MH
M—BCiBi的高,
2
3
6.如图，在三棱柱
ABCABG中，ACBC,ABBB
ACBCBB,2,D为AB中点,且CDDA,
(1)求证:BB,平面ABC
(2)求证:BCi//平面CAiD
(3)求三棱椎Bi-AiDC的体积
Ci
C
7
.
如图，在棱长为2的正方体中,E,F分别为DDi、
DB的中点。
(i)
求证：EF//平面ABCiDi⑵
求证EFBiC
求三棱锥BiEFC的体积。
C
Ci