幂函数图像及性质

幂函数图像及性质

-分手的情书

..

.!.

幂函数的图像与性质

一:核心梳理、茅塞顿开

1．根式

（1）根式的概念

根式的概念符号表示备注

如果nxa,那么

x

叫做

a

的

n

次方根1nnN且

当

n

为奇数时,正数的

n

次方根是一个正数,负数的

n

次

方根是一个负数

na

零的

n

次方根是零

当

n

为偶数时,正数的

n

次方根有两个,它们互为相反数

(0)naa

负数没有偶次方根

（2）．两个重要公式

①

























)0(

)0(

||

aa

aa

a

a

an

n；

②aan

n)(（注意

a

必须使na有意义）。

2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:

(0,,1)

m

n

m

naaamnNn、且

;

②正数的负分数指数幂:

11

(0,,1)

m

n

m

n

m

n

aamnNn

a

a



、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);

③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.

例2（1）计算：

25.0

2

1

2

1

3

2

5.0

3

2

0625.0])32.0()02.0()008.0()

9

4

5()

8

3

3[(



；

n为奇数

n为偶数

..

.!.

（2）化简：

5

3

3

2

3

3

2

3

2

3

3

2

3

1

3

4

)

2

(

24

8

aa

aa

a

b

a

aabb

baa











变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）:

（1）

;

)(

6

5

3

1

2

1

2

1

1

3

2

ba

baba







（2）

.)4()3(

6

5

2

1

3

3

2

1

2

1

2

3

1





bababa

(3)

12

00.256

3

4

33

72

1.5()82(23)()

63



（三）幂函数

1、幂函数的定义

形如y=*α（a∈R）的函数称为幂函数，其中*是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而

指数函数的自变量在指数位置。

例题、(1).下列函数中不是幂函数的是（）

A．

yx

B．

3yx

C．

2yx

D．

1yx

答案：C

例2．已知函数2531mfxmmx，当

m

为何值时，fx：

（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是0,上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反

比例函数；（5）是二次函数；

简解：（1）2m或1m（2）1m（3）

4

5

m（4）

2

5

m（5）

1m

变式训练：已知函数2223mmfxmmx，当

m

为何值时，fx在第一象限内它的

图像是上升曲线。

简解：

2

2

0

230

mm

mm















解得：,13,m

小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。

4.幂函数的图像

幂函数y＝*α的图象由于α的值不同而不同．

α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0，图象不过原

点，在第一象限的图象下降，反之也成立；

..

.!.

注：在上图第一象限中如何确定y=*3，y=*2，y=*，

1

2yx，y=*-1方法：可画出*=*0；

当*0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=*3，y=*2，y=*，

1

2yx，y=*-1；

当0<*0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=*-1，

1

2yx，y=*，y=*2，y=*3。

3、幂函数的性质

y=*y=*2y=*3

1

2yx

y=*-1

定义域RRR[0，



）|0xxRx且

值域R[0，



）R[0，



）|0yyRy且

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

单调性增*∈[0，



）时，增；

*∈(,0]时，减

增增*∈(0,+)时，减；

*∈(-,0)时，减

定点（1，1）

例2．比较大小：

（1）

11

221.5,1.7

（2）

33(1.2),(1.25)

（3）

1125.25,5.26,5.26

（4）

30.5

3

0.5,3,log0.5

解：（1）∵

1

2yx

在

[0,)

上是增函数，

1.51.7

，∴

11

221.51.7

（2）∵

3yx

在

R

上是增函数，

1.21.25

，∴

33(1.2)(1.25)

（3）∵

1yx

在

(0,)

上是减函数，

5.255.26

，∴115.255.26

；

∵

5.26xy

是增函数，

12

，∴125.265.26

；

综上，1125.255.265.26

（4）∵300.51

，0.531

，3

log0.50

，∴

30.5

3

log0.50.53

5.幂函数的性质及其应用

幂函数y＝*α有下列性质：(1)单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当α

＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也

有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．

例3．已知幂函数

223mmyx

（

mZ

）的图象与

x

轴、

y

轴都无交点，且关于原点对称，

..

.!.

求

m

的值．

解：∵幂函数

223mmyx

（

mZ

）的图象与

x

轴、

y

轴都无交点，

∴2230mm

，∴

13m

；

∵

mZ

，∴

2(23)mmZ

，又函数图象关于原点对称，

∴223mm

是奇数，∴

0m

或

2m

．

例7.已知点(22)，在幂函数

()fx

的图象上，点

1

2

4









，

，在幂函数

()gx

的图象上．问当*为

何值时有：（１）

()()fxgx

；（２）

()()fxgx

；（３）

()()fxgx

．

变式：已知幂函数f(*)=*322mm（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.

（1）求函数f(*);（2）讨论F（*）=a

）（

）（

xxf

b

xf的奇偶性.

6.规律方法

（1）．幂函数y＝*α(α＝0,1)的图象

（2）.幂函数(,,,a

qq

yxapqN

pp

为最简分式）的图象

例1．概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；注意：幂函

数与指数函数的区别．

2.性质：

（1）幂函数的图象都过点；任何幂函数都不过象限；

（2）当0a时，幂函数在[0,)上；当0a时，幂函数在(0,)上；

（3）当2,2a时，幂函数是；当

1

1,1,3,

3

a时，幂函数是．

例1、右图为幂函数yx在第一象限的图

像，则,,,abcd的大小关系是（）

解：取

1

2

x，

由图像可知：

1111

2222

cdba







，

abdc，应选()C．

*

O

y

ayx

byx

cyx

..

.!.

综合训练：

1．在函数220

3

1

,3,,yyxyxxyx

x

中，幂函数的个数为()

A．0B．1C．2D．3

2、幂函数的图象都经过点（）

A．（1，1）B．（0，1）C．（0，0）D．（1，0）

3、幂函数2

5

xy的定义域为（）

A．(0,+)B．[0,+)C．RD．(-，0)U(0,+)

4．若幂函数afxx在0,上是增函数，则()

A．

a

>0B．

a

<0C．

a

=0D．不能确定

6．若幂函数1mfxx在(0，+∞)上是减函数，则()

A．

m

>1B．

m

<1C．

m

=lD．不能确定

9、若四个幂函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、

c、d的大小关系是（）

A、d＞c＞b＞a

B、a＞b＞c＞d

C、d＞c＞a＞b

D、a＞b＞d＞c

10、当*∈（1，＋∞）时，函数）y＝ax的图

象恒在直线y＝*的下方，则a的取值*围是

A、a＜1B、0＜a＜1C、a＞0D、a＜0

二、填空题：

12、若2

1

)1(－

＋a

＜2

1

)23(－

－a

，则a的取值*围是____；

13.函数2

3

xy

的定义域为___________.

三、解答题：

17下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.

（A）（B）（C）（D）（E）（F）

四：

..

.!.

1．（A）函数

4

1

lg)(







x

x

xf的定义域为（）

A．(1，4)B．[1，4)C．(－∞，1)∪(4，＋∞)D．(－∞，1]∪(4，＋∞)

2.（A）以下四个数中的最大者是（）

(A)(ln2)2(B)ln(ln2)(C)ln

2

(D)ln2

5.（B）设f(*)=

1

2

3

2,2,

log(1),2,

xex

xx















则不等式f(*)>2的解集为（）

(A)（1，2）（3，+∞）(B)（

10

，+∞）

(C)（1，2）（

10

，+∞）(D)（1，2）

6．（A）设

2

log3P，

3

log2Q，

23

log(log2)R，则（）

Ａ．RQPＢ．PRQＣ．QRPＤ．RPQ

7．(A)已知cab

2

1

2

1

2

1

logloglog，则()

A．cab222B．cba222C．abc222D．bac222

9.（A）函数

1

2

log(32)yx的定义域是：（）

A[1,)B2

3

(,)C2

3

[,1]D2

3

(,1]

10.(A)已知函数kxyxy与

4

1

log的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则k（）

A．

4

1

B．

4

1

C．

2

1

D．

2

1

11．（B）若函数的图象经过第二且)10(1)(aabaxfx、三、四象限，则一定

有（）

A．010ba且B．01ba且

C．010ba且D．01ba且

14.（A）已知

xxf

2

6log)(，那么)8(f等于（）

（A）

3

4

（B）8（C）18（D）

2

1

15．（B）函数y＝lg|*|（）

A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

16.（A）函数

3

)4lg(







x

x

y的定义域是____________________________.

18．（A）设

,0.

()

,0.

xex

gx

lnxx













则

1

(())

2

gg__________

19．（B）若函数f(*)=1222aaxx的定义域为R，则a的取值*围为___________.

20．(B)若函数)2(log)(22

a

axxxf是奇函数，则a=．

16.(-,3)(3,4)18.

2

1

19.[-1,0]20.

2

2