复合函数的奇偶性
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2023年2月15日发(作者：小米服务)目录
复合函数
1、引入
函数256yxx是二次函数，那么函数
2
15
6y
xx
是什么函数呢？我们可以这样理解：设
256ytt，
1
t
x
，因此函数
2
15
6y
xx
是由二次函数256yxx和反比例函数
1
t
x
经过复
合而成的。
2、复合函数的定义
一般地，如果
y
是
u
的函数，而
u
又是
x
的函数，即
()yfu
，
()ugx
，那么
y
关于
x
的函数
[()]yfgx
叫做函数
f
和
g
的复合函数，
u
叫做中间变量。
其中函数
()ugx
的定义域为A，值域为B，函数
()yfu
的定义域为C，值域为D。
3、复合函数的生成条件
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当
()ugx
的值域B和
()yfu
的定义域C
的交集不为空集时（即
BC
），二者才可以复合成一个复合函数。
4、复合函数的解析式
例1.已知
1
()fxx
x
，2()2gxx，求
[()]fgx
和
[()]gfx
的解析式。
解：22
2
1
[()](2)(2)
2
fgxfxx
x
；
22
2
111
[()]()()2gfxgxxx
xxx
。
5、复合函数的定义域
设函数
()yfu
的定义域是C﹐函数
()ugx
的定义域是A﹐则复合函数
[()]yfgx
的定义域
是
{|,()}ExxAgxC
。
例2.已知
()fx
的定义域为
[04]，
，求函数2()fx的定义域。
解：2()fx可以看作
()[()]xfgx
，其中2()ugxx，则2()()fxfu，即
()()xfu
。
由已知
()fu
的定义域为
[04]，
，即04u，所以204x，解得22x。
∵函数
2()fx
的定义域为
[22]，
。
6、复合函数的周期性
设
()yfu
,的最小正周期为
1
T
，
()ugx
的最小正周期为
2
T
，则
[()]yfgx
的最小正周期为
12
TTT
，任一周期可表示为
12
kTT
（kR）。
7、复合函数的单调性
定理：设
()yfu
，
()ugx
，已知
()ugx
在
[,]ab
上是单调增(减)函数，
()yfu
在区间
[]gagb，
（或[]gbga，
)上是单调增(减)函数，那么复合函数
[()]yfgx
在
[,]ab
上一定是单
调函数，并有以下结论：
()ugx
增函数增函数减函数减函数
()yfu
增函数减函数增函数减函数
[()]yfgx
增函数减函数减函数增函数
即
()ugx
,
()yfu
增减性相同时,
[()]yfgx
为增函数,
()ugx
,
()yfu
增减性相反时,
[()]yfgx
为减函数。可以简化为“同增异减”。
判断复合函数的单调性的步骤如下：
1、求复合函数定义域；
2、将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；
3、判断每个常见函数的单调性；
4、将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
5、求出复合函数的单调性。
例3：讨论函数2430.8xxy的单调性。
解：函数定义域为R。
令243uxx，则0.8uy。
指数函数0.8uy在
()，
上是减函数，
243uxx在
(2]，
上是减函数，在
(2)，
上是增函数，
∴函数2430.8xxy在
(2]，
上是增函数，在
(2)，
上是减函数。
8、表格法——复合函数单调区间的一种简捷求法
定理（判定定理）：若
1
()yfx
，
12
()ufx
，…，
1
()
nn
ufx
，都是单调函数，则
n
次复合函数
121
{[()]}
n
yfffx
在其定义域内也是单调函数，且它为增函数的充要条件是
1
()yfx
，
12
()ufx
，…，
1
()
nn
ufx
中减函数的个数为偶数；它为减函数的充要条件是
1
()yfx
，
12
()ufx
，…，
1
()
nn
ufx
中减函数的个数为奇数。
下面先通过一个例子来说明具体的方法。
例4．已知2()82fxxx，若2()(2)gxfx，求函数
()gx
的单调区间。
解：令22tx,则2()28fttt，故
()gx
是由这两个函数复合而成的，定义域为实数集R。
当1t,即2211xx或1x时，
()ft
为增函数；
当1t，即22111xx时，
()ft
为减函数；
当0x时，
()tx
为增函数；当0x时，
()tx
为减函数。
1，0，1将实数集分成4个区间，各层函数及原函数在四个区间内的单调性如下表：
x(,1)[1,0)[0,1)[1,)
()tx
增函数增函数减函数减函数
()ft
增函数减函数减函数增函数
()gx
增函数减函数增函数减函数
由上表可知，
()gx
的递增区间为
(,1)
，
[0,1)
；递减区间为
[1,0)
，
[1,)
。
这种求复合函数单调区间的方法我们称之为“表格法”，其一般的解题步骤为：
1、求复合函数的定义域，并把各层函数分解出来；
2、求出各层函数单调区间及对应的在复合函数定义域内自变量
x
的取值区间；
3、由各层函数单调区间的端点值，把复合函数的定义域分成若干部分；
4、将各层函数的增减性在相应的区间内标出；
5、由复合函数单调性的判定定理，在每个对应的区间内标出单调性，从而得出复合函数的单调区间。
这种方法已近程序化，层次清楚，操作方便，简便易行，且不容易出错。特别是对于由多个函数复合
而成的复合函数则更为简捷。我们再举一例：
例5、求函数422
3()(76)fxxx的单调区间。
解：因为2222
3()[(2)3(2)4]fxxx，
故令
2
3()guu
，2()34uttt，2()2txx,则
()fx
是由
()gu
，
()ut
，
()tx
三个函数复合而成的，其定义域为实数集R。
当0u，即11x或6x或6x时，
()gu
为增函数；
当0u时，即61x,或16x时，
()gu
为减函数；
当
3
2
t
即
1414
22
x时，
()ut
是减函数；
当
3
2
t
即
14
2
x或
14
2
x时，
()ut
是增函数；
当0x时，
()tx
是减函数；当0x时，
()tx
是增函数。
6，
14
2
，1，0，1，
14
2
，6将实数集分成8个区间，各层函数及原函数在8个区间内的
单调性如下表：：
x(,6)
14
[6,)
2
14
[,1)
2
[1,0)[0,1)14
[1,)
2
14
[,6)
2
(6,)
()tx
减函数减函数减函数减函数增函数增函数增函数增函数
()ut
增函数增函数减函数减函数减函数减函数增函数增函数
()gu
增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数增函数
()fx
减函数增函数减函数增函数减函数增函数减函数增函数
∴
()fx
的单调递减区间为：(,6)，
14
[,1)
2
，
[0,1)
，
14
[,6)
2
；
单调递增区间为：
14
[6,)
2
，
[1,0)
，
14
[1,)
2
，(6,)；
9、复合函数的奇偶性
复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下:
若函数
()yfu
,
()ugx
,
[()]yfgx
的定义域都是关于原点对称的，那么
[()]yfgx
奇偶性
的规律是:
()ugx
奇函数奇函数偶函数偶函数
()yfu
奇函数偶函数奇函数偶函数
[()]yfgx
奇函数偶函数偶函数偶函数
即当且仅当
()ugx
和
()yfu
都是奇函数时,复合函数
[()]yfgx
是奇函数.
例6.求函数
2
1
1
y
x
的值域。
分析：令21ux，
1
y
u
，函数
2
1
1
y
x
的定义域为1x，
分别作出函数21ux，
1
y
u
的图象：
由11xu，且
00uy
，或
1y
。
故函数
2
1
1
y
x
的值域为
(1](0)，，
。
10、复合函数的导数
如果函数
()x
在点
x
处可导，函数fu
在点
()ux
处可导，则复合函数[()]yfufx
在点
x
处也可导，并且
([()])[()]()fxfxx
或记作
xux
yyu
复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均
为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。
例7、求函数xy23的导数。
解：令32ux，则有yu，
由复合函数求导法则
xux
yyu
，
有
11
()(32)(2)
232ux
yux
ux
。
在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是例一可以直接写
出如下结果：
11
(32)
23232
yx
xx
在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：
11
(2)
23232
y
xx
例8、设)1ln(xxy，求
y
。
解：利用复合函数求导法求导，得
)1(
1
1
])1[ln(
2
2
2
xx
xx
xxy
])1(1[
1
1
2
2
x
xx
])1(
12
1
1[
1
1
2
22
x
xxx
1
1
]
1
1[
1
1
222
xx
x
xx
.
小结：对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，
对掌握复合函数的求导是有帮助的。
11、复合函数的值域
内函数的值域是外函数的定义域，求复合函数的值域时，由内到外依次计算函数的值域。
例9、函数2
0.3
log(45)yxx
的值域为。
解：设2245(2)11uxxx，
所以
0.3
log0yu
，即
0y
，
(,0]y
。
练习1：函数
1
12
x
xy
的值域为。
练习2：函数2
2
18
42
21
yxx
xx
的值域为。