直角三角形的面积

发布时间：2023-06-04 作者：admin 来源：文学

直角三角形的面积

-田口方法

2023年2月15日发(作者：推断英语)

专题13以直角三角形三边为边长的图形面积

一、单选题

．如图，在直角ABC中，90,2ACBAC，则以

为圆心，分别BABC、为半径的圆形成一

个圆环，则该圆环的面积为（）．

．2B

．2C

．

4D

．6

【答案】

【分析】

根据勾股定理，得两圆的半径的平方差即是

的平方．再根据圆环的面积计算方法：大圆的面积减去小圆

的面积，即可求出答案．

【详解】

解：圆环的面积为：22ABBC22ABBC

，

∵222ABBCAC，

∵2222(2)2ABBCAC

．

故选：

．

【点睛】

此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理把两个圆的半径的平方差进行转化成已知的数据是解题的关键．

．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形

、

的边长分别是

、

，则最大正方形

的面积是（）

．

13B

．

26C

．

34D

．

【答案】

【分析】

根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，故可得到以斜边

为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和

【详解】

由勾股定理得：正方形

的面积

正方形

的面积

正方形

的面积

=32+52=34

，

同理，正方形

的面积

正方形

的面积

正方形

的面积

=22+32=13

，

∵

正方形

的面积

正方形

的面积

正方形

的面积

=47

．

故选

．

【点睛】

此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形

面积之和是解决此题的关键

．如图，已知正方形

的面积为

，正方形

的面积为

169

，那么正方形

的面积是（）

．

144B

．

169C

．

25D

．

194

【答案】

【分析】

结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母

所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．

【详解】

解：根据题意知正方形的

面积为

169

，正方形

的面积为

，

则字母

所代表的正方形的面积

=169-25=144

．

故选：

．

【点睛】

本题考查了勾股定理，解题的关键是：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为

边长的正方形的面积．

．如图，分别以

Rt∵ABC

的三条边为边向外作正方形，面积分别记为

1，

2，

3．若

1

，

2

，则

3

（）

．

10C

．

80D

．

100

【答案】

【分析】

由正方形的面积公式可知

=AC2，

=BC2，

=AB2，在

Rt∵ABC

中，由勾股定理得

AC2+BC2=AB2，即

3，

由此可求

3．

【详解】

解：

∵

在

Rt∵ABC

中，

AC2+BC2=AB2，

又由正方形面积公式得

=AC2，

=BC2，

=AB2，

∵S

=100

．

故选：

．

【点睛】

本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的

面积．

．如图，

，

分别表示以直角三角形三边为边长的正方形面积，则下列结论正确的是（）

．222xyzB

．

xyz

．

xyz

．

xyz

【答案】

【解析】

【分析】

根据勾股定理求解即可．

【详解】

解：如图，由勾股定理得，

AB2＝

AC2＋

BC2，

∵x

＝

＋

，

故选：

．

【点睛】

本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是

，

，斜边长为

，那么

a2＋

b2＝

c2．

．如图，直线l上有三个正方形

,,abc

，若

,ab

的面积分别为

和

，则

的面积为（）

．

【答案】

【分析】

运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．

【详解】

解：如图，

由于

、

都是正方形，所以

AC=CD

，

∵ACD=90°

；

∵∵ACB+∵DCE=∵ACB+∵BAC=90°

，即

∵BAC=∵DCE

，

∵ABC=∵CED=90°

，

AC=CD

，

∵∵ACB∵∵CDE

，

∵AB=CE

，

BC=DE

；

在

Rt∵ABC

中，由勾股定理得：

AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，

即

−S

=8−3=5

．

故选

．

【点睛】

此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强

．如图

，以直角三角形的各边边边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图

的方式放

置在最大正三角形内

若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）

．直角三角形的面积

．较小两个正三角形重叠部分的面积

．最大正三角形的面积

．最大正三角形与直角三角形的面积差

【答案】

【分析】

根据勾股定理得到

c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可

【详解】

设直角三角形的斜边长为

，较长直角边为

，较短直角边为

，

由勾股定理得，

c2=a2+b2

阴影部分的面积

=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)

较小两个正方形重叠部分的长

=a(c-b)

，宽

=a,

则较小两个正方形重叠部分底面积

=a(a+b-c)

，

∵

知道图中阴影部分的面积，则一定能求出

较小两个正方形重叠部分的面积，

故选

:B.

【点睛】

本题考查勾股定理和面积公式

关键在于熟记公式

．如图，正方形

、

的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形

，

的边长分别为

和

，则正

方形

的面积为

()

．

16B

．

12C

．

15D

．

【答案】

【分析】

先根据勾股定理求出

，再根据正方形的面积公式求出即可．

【详解】

如图所示：

∵

正方形

、

的边长分别为

和

，

∵DF=5

，

EF=3

，

∵DE=3253=4

，

∵

正方形

的面积为

42=16.

故选：

．

【点睛】

考查了勾股定理，解题关键是利用直角三角形之间的三边关系求得正方形

的边长为

．

．如图，正方形A的面积为

，正方形

的面积为

，则正方形C的面积为（）

．

【答案】

【分析】

根据正方形的面积公式以及勾股定理即可得出结论．

【详解】

解：

∵

正方形

的面积为

，正方形

的面积为

，

∵

正方形

的面积

=3+4=7

．

故选：

．

【点睛】

本题考查勾股定理，熟知以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形

的面积是解题的关键．

．如图，在RtABC中，90ACB，正方形

,AEDCBCFG

的面积分别为

和

144

，则AB的长度

为（）

．

13B

．

169C

．

12D

．

【答案】

【分析】

由正方形的面积公式可知

AC2=25

，

BC2=144

，在

Rt∵ABC

中，由勾股定理得

AC2+BC2=AB2，由此可求

AB2．即

可得出

的长．

【详解】

解：

∵

在

Rt∵ABC

中，由勾股定理得：

AC2+BC2=AB2，

又

∵AC2=144

，

BC2=25

，

∵AB2=25+144=169

，

∵AB=169=13

．

故选：

．

【点睛】

本题考查勾股定理的应用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．

．以直角三角形的两直角边为边长所作正方形的面积分别是

和

，则斜边长为（）

．

25C

．

15D

．

225

【答案】

【分析】

每个正方形的面积即为直角边长度的平方，通过求

和

的算数平方根即可得到两个直角边的长度，然后

利用勾股定理计算出斜边长

【详解】

9=316=4

则两直角边长度为

和

则斜边的长

=223+4=5

故选

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，解题关键在于熟练掌握勾股定理：斜边的平方等于两个直角边的平方和

．如图，已知在RtABC△中，RtACB，4AB，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别

记为

，

，则

的值等于（）

．

4πB

．

8πC

．

2πD

．

16π

【答案】

【分析】

首先把

与

的表达式列出来，然后求和时根据勾股定理可得到与斜边

平方的关系，然后得到

的值

【详解】

228

CSA











，2

BSC













则

=2222

888

ACBCACBC





在直角三角形

ABC

中有：222ACBCAB

则

=222=162

888

ACBCAB





故选

【点睛】

本题考查了勾股定理的综合应用，解题关键在于通过勾股定理建立好两个半圆的面积与斜边的联系

．如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作

，

；则

，

之间的关系是

（）

．

123

SSS

．

123

SSS

．

123

SSS

．222

123

SSS

【答案】

【解析】

【分析】

依据半圆的面积公式，以及勾股定理即可解决．

【详解】

解：设

，

的半径分别为

，

则





，2

222





，2

332





，

又

∵ABC△为直角三角形，

∵222

123

222rrr，即222

123

rrr

，

∵222

12123322

SSrrrS





，

故选

【点睛】

根据勾股定理，然后变形，得出三个半圆之间的关系．

．如图，已知

Rt∵ABC

中，

∵ABC

＝

90°

，分别以

、

为直径作半圆，面积分别记

1，

2，

3，

若

1＝

，

2＝

，则

3的值为

()

．

13B

．

11D

．

【答案】

【解析】

【分析】

由扇形的面积公式可知

1＝

•π•AC2，

2＝

•π•BC2，

3＝

•π•AB2，在

Rt∵ABC

中，由勾股定理得

AC2+BC2

＝

AB2，即

2＝

3；

【详解】

解：

∵S

1＝

•π•AC2，

2＝

•π•BC2，

3＝

•π•AB2，

在

Rt∵ABC

中，由勾股定理得

AC2+BC2＝

AB2，即

2＝

3；

∵S

1＝

，

2＝

，

∵S

3＝

．

故选

．

【点睛】

本题考查勾股定理的应用，难度适中，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用，记住

2＝

．如图，在

Rt∵ABC

中，

∵ACB

＝

90°

，

＝

，则正方形

ADEC

和正方形

BCFG

的面积和为（）

．

16B

．

32C

．

160D

．

256

【答案】

【解析】

【分析】

小正方形的面积为

的平方，大正方形的面积为

的平方．两正方形面积的和为

AC2+BC2，对于

Rt∵ABC

，

由勾股定理得

AB2=AC2+BC2．

长度已知，故可以求出两正方形面积的和．

【详解】

在

Rt∵ACB

中，

AC2+BC2＝

AB2＝

256

，则正方形

ADEC

和正方形

BCFG

的面积和＝

AC2+BC2＝

256

，故选

．

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

二、填空题

．如图，以RtABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDE的

面积分别为

、

144

，则阴影部分的面积为

______

．

【答案】

139

【分析】

根据勾股定理可得正方形

BCMN

的面积为

25+144=169

，再求出

Rt∵ABC

的面积，即可求解．

【详解】

如图，

∵

正方形ABFG、正方形ACDE的面积分别为

、

144

，

∵

正方形

BCMN

的面积为

25+144=169

，

AB=5

，

AC=12

∵

阴影部分的面积为

169-

×5×12=169-30=139

故答案为：

139

．

【点睛】

此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理几何证明方法．

．如图，

∵ABC

中，

∵ACB

＝

90°

，分别以

、

为边向外作正方形，面积分别为

1，

2，若

1＝

，

2＝

，则

BC2＝

_____

．

【答案】

【分析】

由勾股定理得出222ACBCAB,

得出2

SBCS

得出2

BCSS

，即可得出答案．

【详解】

解：

∵∵ACB=90°

，

∵222ACBCAB，

∵2

SBCS

，

∵2

BCSS

=5-2=3

，

故答案为：

．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，根据图形列出边长与面积的关系式是解题的关键．

．如图，在

∵ABC

中，

∵ACB

＝

90°

，

＝

6cm

，

BC=8cm

，分别以三角形的三条边为边作正方形，则三

个正方形的面

1＋

2＋

3的值为

_______

．

【答案】

200

【分析】

根据正方形的面积公式和勾股定理，即可得到阴影部分的面积

3的值．

【详解】

解：

∵∵ACB

＝

90°

，

＝

，

＝

，

∵AB2＝

AC2+BC2＝

62+82＝

100

∵S

3＝

AC2+BC2+AB2＝

62+82+100

＝

200

故答案为：

200

【点睛】

本题考查勾股定理，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行结合应用．

．如图，两个较大正方形的面积分别为

225

、

289

，则字母

所代表的正方形的边长为

_____

【答案】

【分析】

根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形

PQED

的面积和正方形

PRQF

的面积分别表示出

的平方及

的平方，又三角形

PQR

为直角三角形，根据勾股定理求出

的平方，即可求小正方形的边长．

【详解】

如图，

∵

正方形

PQED

的面积等于

225

，

∵

即

PQ2=225,

∵

正方形

PRGF

的面积为

289

，

∵PR2=289

，

又

∵PQR

为直角三角形，根据勾股定理得：

PR2=PQ2+QR2，

∵QR2=PR2−PQ2=289−225=64

，

∵QR=8

，

即字母

所代表的正方形的边长为

【点睛】

本题考查勾股定理，根据勾股定理求出小正方形的面积是关键

三、解答题

．求下列图形中阴影部分的面积．

（

）如图，在RtABC△中，90BAC，8AB，6AC，BC是圆O的直径，点A在圆上；

（

）如图，在四边形ABCD中，90BAD，

90CBD

，4AD，3AB，12BC，四边形DCEF

为正方形．

【答案】（

）

25π



；（

）

169

【分析】

（

）根据勾股定理先求出

的值及三角形

ABC

的面积，再根据阴影部分的面积等于半圆的面积减去三角

形

ABC

的面积即可得出答案；

（

）根据勾股定理分别求出

、

的值，再根据正方形的面积公式计算即可．

【详解】

解：（

）在RtABC△中，90BAC，8AB，6AC，

22228610BCABAC

105

OBAB

8624

2ABC

S

△



S阴影=2

125

524=24





；

（

）90BAD，4AD，

3AB

，

22345BD

90CBD，12BC，

222212513CDBCBD

四边形DCEF为正方形



正方形

DCEF

的面积

=2213169CD

故阴影部分的面积为

169

．

【点睛】

本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出第三边的值是解题的关键．

．如图，已知直线

的解析式为：

x+4

，它的图象与

轴、

轴分别交于

、

两点．

（

）求

、

两点的坐标及线段

的长度；

（

）已知

轴上一点

的坐标为（

，

）．

∵

若

∵

ABC

，求点

的坐标；

∵

若点

到直线

与到

轴的距离相等，请直接写出点

的坐标．

【答案】（

）

（﹣

，

），

（

，

），

AB=5

；（

）

∵C

的坐标为（

，

）或（

，

）；

∵

点

的坐标为（

，

）或（

，﹣

）．

【分析】

（

）分别令

x=0

、

y=0

即可解得

A、B

两点坐标，根据勾股定理即可算

长度；

（

）

∵

根据

2ABC

SBCOA

△

建立等式即可得解；

∵

根据题意

只能在BAO的平分线和BAO的外交平分线上，根据角平分线性质，结合图形运用勾股定

理计算线段长度，面积公式建立等式即可得解．

【详解】

解：（

）当

y=0

时，

x+4=0

，

解得：

﹣

，

∵

点

的坐标为（﹣

，

）；

当

x=0

时，

0+4=4

，

∵

点

的坐标为（

，

）．

在RtAOB中，3490OAOBAOB，，，

∵AB22OAOB5

．

（

）

∵∵S

∵

ABC

，

∵

OA•BC=6

，即

3BC=6

，

∵BC=4

，

又

∵

点

的坐标为（

，

），

∵

点

的坐标为（

，

）或（

，

），

∵

当点

在BAO的平分线上时，过点

作

D∵l

于点

，则

CDOC

，如图所示．

∵

2AOC

S

•OAOC



•OACD

，

2ABC

S

•ABCD



•OABC

，

∵1

AOC

ABC

SBCAB



，即





，

∵



，

∵

点

的坐标为（

，

）；

当点

在BAO外角的平分线上时，

90CAC

．

设

，

，则

CCt

，=3AO，

2222

335

3()

ACAOOC，22222

39ACAOOCtt

1212

22ACC

SCCAOACAC

△

将所得线段代入上式整理得：212360tt，

解得：6t，

∵

点

的坐标为（

，﹣

），

∵

点C的坐标为（

，

）或（

，﹣

）．

【点睛】

本题考查了一次函数上点的特征、一次函数的性质、勾股定理、角平分线性质、完全平方和公式；解决本

题的关键是能过数形结合利用面积公式建立等式．

．已知ABC中，

ACB

=90°

，如图，作三个等腰直角三角形ACD，EAB，FCB，AB，AC，

BC为斜边，阴影部分的面积分别为

，

．

（

）当AC=6

，BC=8

时，

∵

求

的值；

∵

求

的值；

（

）请写出

，

之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（

）

∵9

；

∵9

；（

）

4123

SSSS

，见解析

【分析】

（

）

∵

在等腰直角三角形ACD中，根据勾股定理AD=CD=

32即可；

∵

设

5BEG





，则

45235423

BEABFC

SSSSSSSSSS





，利用勾股定理得出

52AEBE

，

42CFBF

即可求解；

（

）设

5BEG





，假设一个等腰直角三角形的斜边为

，则面积为2

，利用勾股定理得出

222ACBCAB，则222

111

444

ACBCAB

，即

ABEADCBFC

SSS

△△△

，依此即可求解．

【详解】

解：（

）

∵ACD是等腰直角三角形，AC=6

，



AD=CD=

32，

32329

S

；

∵

ACB

=90°

，AC=6

，BC=8

，



AB=10

，

EAB和FCB是等腰直角三角形，



52AEBE

，

42CFBF

，

设

5BEG







45235423

++525242429

22BEABFC

SSSSSSSSSS





；

（

）设

5BEG





，

如图，等腰直角三角形的面积公式

2ABC

SABCD2

，

∵

等腰直角三角形ACD，EAB，FCB，

∵222

111

444ADCBFCABE

SACSBCSAB

△△△

，

∵222ACBCAB，

∵222

111

444

ACBCAB

，即

ABEADCBFC

SSS

△△△

，

∵

451253

SSSSSS

，

∵

4123

SSSS

．

【点睛】

本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，有一定难度，解题关键是将勾股定理和直角

三角形的面积公式进行灵活的结合和应用．

．在RtABC中，90BAC，如图

，分别以AB，AC，BC为边向外作等边三角形ABF，ACE，

BCD

（

）若

4ACE

S

△

，363

ABF

S

△

，则

BCD

S

△

______

．

（

）如图

，将BCD△沿BC翻折，点D的对应点记为P，

∵

连接EP，请求出AEP的度数．

∵

若25AB保持不变，随着AC的长度变化，点P也随之运动，试探究AP的值是否变化，若不变，求

出AP的值；若改变，求出AP的最小值．

【答案】（

）

1693

；（

）

∵30°

；

∵

变化，AP的最小值为5

【分析】

（

）过

作

的垂线，垂足为

，得出等边ABF的面积

同理得出另两个等边三角形的面积

由勾股定理

易得BCD△的面积等于另两个等边三角形的面积的和

从而可求得结果

;

(2)∵

由翻折易得：ECAPCB，从而可证得CEP△

∵CAB△，即得

PE∵CE

，从而可求得AEP;

∵

连接

，与

∵

同，可证得BACBFP≌，且求得30AFP，表明点

在定直线

上，根据垂线段

最短即可求得

的最小值．

【详解】

（

）过F作FHAB于H，

∵ABF是等边三角形，FHAB，

∵AHBH，

∵

HFAHAB，

∵2

24ABF

SABHFAB

△

，

同理可得2

4ACE

SAC

△

，2

4BCD

SBC

△

，

∵90CAB，

∵222ACABBC，

∵222

333

444

ACABBC，

∵

ACEABFBCD

SSS

△△△

，

∵

253

4ACE

S

△

，363

ABF

S

△

，

∵

2531693

363

44BCD

S

△

（

）

∵∵ACE、BCD△都是等边三角形，

∵CECA，CBCD，60ECABCD°，

∵BCD△沿BC翻折得到BCP，

∵BCCPCD，60BCPBCD°，

∵ECAPCB.

∵ECPACB.

在CEP△和CAB△中，

CECA

ECPACB

CPCB

















，

∵

CEP△

∵CAB△（

SAS

），

∵90CEPCAB°.

∵90CEA，

∵30AEPCEPCEA°，

∵

连接PF，

∵ABF是等边三角形，

∵BABF，60ABFAFB°，

∵BCD△是等边三角形，BCD△翻折得到BCP，

∵BCBDBP，60CBDCBP°.

∵60ABFCBP°，

∵FBPABC.

在BFP△和BAC中，

BFBA

FBPABC

BPBC

















，

∵BFP△∵BAC（

SAS

），

∵90BFPBAC°.

∵30AFPBFPAFB°，

∵

点P在过点F且垂直BF的直线上移动，故AP的值会发生改变，由点到直线的距离垂线段最短可知，当

且仅当APPF时

,AB取得最小值

在RtAPF中

,AP的最小值为

AFAB.

∵AP的最小值为5

【点睛】

本题主要考查了三角形全等的判定和性质、勾股定理、图形面积的计算、求最值，涉及了图形的变换，辅

助线的作法，是一个综合性的问题，对学生的知识进行了全面而综合的考查．把BCD△翻折，实质是把

ABC分别绕点

、

顺时针和逆时针旋转

60°

而得到EPC和FBC．另外，

∵

小题也可以这样解：易

得150FAE，则由

∵

的结论可知：AF

∵EP，且可得AFEP，所以四边形AEPF为平行四边形，

则30AFPAEP,

表明点P在定直线上，余下同原题解法．

．三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O为坐标原点，1,4A

，4,1B

，1,1C

．将

三角形ABC向右平移

个单位长度，再向下平移

个单位长度得到三角形

111

ABC

．

（

）画出平移后的三角形；

（

）直接写出点

A，

，

的坐标：

A（

______

，

______

），

（

______

，

______

），

（

______

，

______

）；

（

）请直接写出三角形

ABC

的面积为

_________

．

【答案】（

）见解析；（

）

2,2A

，

1,3B

，

4,1C

；（

）

【分析】

（

）作出

、

的对应点

111

,,ABC

并两两相连即可；

（

）根据图形得出坐标即可；

（

）根据割补法得出面积即可．

【详解】

解：（

）如图所示，

111

ABC

即为所求．

（

）根据图形可得：

2,2A

，

1,3B

，

4,1C

（

）

∵ABC

的面积

=5×5−

×3×5−

×2×3−

×2×5=

．

【点睛】

本题考查作图

平移变换，熟练掌握由平移方式确定坐标的方法及由直角三角形的边所围成的图形面积的算

法是解题关键．

．阅读理解：

（问题情境）

教材中小明用

张全等的直角三角形纸片拼成图

，利用此图，可以验证勾股定理吗？

（探索新知）

从面积的角度思考，不难发现：

大正方形的面积＝小正方形的面积

个直角三角形的面积．

从而得数学等式：（

a+b

）2＝

c2+4×

，化简证得勾股定理：

a2+b2＝

c2．

（初步运用）

（

）如图

，若

＝

，则小正方形面积：大正方形面积＝；

（

）现将图

中上方的两直角三角形向内折叠，如图

，若

＝

，

＝

，此时空白部分的面积为；

（

）如图

，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为

，

＝

，

求该风车状图案的面积．

（

）如图

，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形

ABCD

，正方形

EFGH

，正方形

MNKT

的面积分别为

1，

2，

3，若

3＝

，则

2＝．

（迁移运用）

如果用三张含

60°

的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？

带着这个疑问，小丽拼出图

的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含

60°

的三角形三边

、

之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．

知识补充：

如图

，含

60°

的直角三角形，对边

：斜边

＝定值

．

【答案】【初步运用】（

）

：

；（

）

；（

）该风车状图案的面积是

；（

）

；【迁移运用】结论：

a2+b2﹣

＝

c2．推导过程见解析．

【分析】

初步运用：（

）由

＝

，结合勾股定理可知

＝5

，即可求出小正方形面积，再求出大正方形面积，即

可求出比值．

（

）由图可知空白部分的面积为＝小正方形面积

两个直角三角形面积，求出小正方形面积和两个直角三角

形面积即可．

（

）设

＝

，在RtAOB中，利用勾股定理可列出方程，解出

，再利用三角形面积公式计算即可．

（

）设四边形

MTKN

的面积设为

，其余八个全等的三角形其中的一个面积设为

，用

、

表示出

1，

2，

3，再根据

3＝

即可求出

2的值．

迁移运用：大正三角形面积＝三个全等三角形面积

小正三角形面积，利用补充知识可求出各三角形的高，

再利用三角形面积公式，即可求出

a、b、c

之间的关系．

【详解】

初步运用：（

）由题意：

＝

，可知

＝5

，

∵

小正方形面积：大正方形面积＝22(5):(2)5:9aaa，

故答案为：

：

．

（

）空白部分的面积为＝小正方形面积

两个直角三角形面积

()2522428

abab

．

故答案为：

．

（

）

AB+AC=24÷4

＝

，

设

＝

，

在RtAOB中，222AOBOAB，即222(3)3(6)xx，

解得

＝

，

所以

AO=3+1=4

．

所以

=43424

S

风车

．

故该风车图案的面积是

．

（

）设四边形

MTKN

的面积设为

，其余八个全等的三角形其中的一个面积设为

，

∵

正方形

ABCD

，正方形

EFGH

，正方形

MNKT

的面积分别为

1，

2，

3，

3＝

，

∵S

1＝

8y+x

，

2＝

4y+x

，

3＝

，

∵S

3＝

3x+12y

＝

，

∵x+4y

＝

，

∵S

2＝

x+4y

＝

．

故答案为：

．

迁移运用：由补充知识可知大正三角形的高为

()kab

，中心小正三角形的高为kc，三个全等三角形的高

为ka．

由图可知大正三角形面积＝三个全等三角形面积

小正三角形面积，

则

111

()()3

222

abkabkabckc，

∵22()3ababc

∵222ababc．

【点睛】

本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键．

．如图

∵

，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．

（

）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为

．较短的直角边为

，

斜边长为

，结合图

∵

，试验证勾股定理；

（

）如图

∵

，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为

，

＝

，

求该飞镖状图案的面积；

（

）如图

∵

，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形

ABCD

，正方形

EFGH

，正方形

MNKT

的面积分别为

1、

2、

3，若

1＋

2＋

3＝

，则

2＝．

【答案】（

）见解析；（

）该飞镖状图案的面积是

；（

）

．

【分析】

（

）通过图中小正方形面积证明勾股定理；

（

）可设

＝

，根据勾股定理列出方程可求

，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；

（

）根据图形的特征得出四边形

MNKT

的面积设为

，将其余八个全等的三角形面积一个设为

，从而用

，

表示出

1，

2，

3，得出答案即可．

【详解】

解：（

）

小正方形

＝（

﹣

）2＝

a2﹣

2ab

＋

b2，另一方面

小正方形

＝

c2﹣

4×

＝

c2﹣

2ab

，

即

b2﹣

2ab

＋

a2＝

c2﹣

2ab

，

则

a2＋

b2＝

c2．

（

）

24÷4

＝

，

设

＝

，依题意有

（

＋

）2＋

32＝（

﹣

）2，

解得：

＝

，

（

＋

）

×3×4

＝

×4×3×4

＝

．

故该飞镖状图案的面积是

．

（

）将四边形

MTKN

的面积设为

，将其余八个全等的三角形面积一个设为

，

∵

正方形

ABCD

，正方形

EFGH

，正方形

MNKT

的面积分别为

1，

2，

3，

1＋

2＋

3＝

，

∵S

1＝

＋

，

2＝

＋

，

3＝

，

∵S

1＋

2＋

3＝

＋

12y

＝

，

∵x

＋

＝

，

∵S

2＝

＋

＝

．

故填：

．

【点睛】

考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法，还考

查了图形面积关系，根据已知得出用

，

表示出

1，

2，

3，再利用

1＋

2＋

3＝

求出是解决问题的关

键．

．如图，在平面直角坐标系中，已知点0,Aa

，点,0Bb，其中

，

满足2|4|(3)0ab，点

从点

出发，沿OBA的路径以每秒

个单位的速度向终点

运动，设运动时间为

秒．

（

）求线段AB的值．

（

）是否存在

，使得OBP为等腰三角形，若存在，请求出所有

的值，若不存在，请说明理由．

（

）当AP平分OAB时，求

的值．

（

）线段AB绕点

按逆时针方向旋转

得到线段AC，连结BC，若该平面内存在点3,Qm

，使得

ABQ△

与ABC的面积相等，则

的值为

_________________

．

【答案】（

）

AB=5

；（

）

t=3

或

t=4.5

；（

）

；（

）

m

【分析】

（

）根据绝对值和平方的非负数性质求得

、

的值，再由两点间的距离公式即可求得

；

（

）要使OBP为等腰三角形，得分两种情况讨论：

∵OP

＝

；

∵OP

＝

，根据等腰三角形的性质代入

数据即可求解；

（

）过点

作

PH∵AB

于点

，根据角平分线的性质可得

＝

，再根据三角形面积相等的性质可得

、

的值，继而即可求解；

（

）由题意知：

∵BAC

＝

90°

，

＝

，根据三角形面积公式求得

∵ABC，根据面积相等可列关于

的绝

对值方程，解方程即可求解．

【详解】

（

）

∵2|4|(3)0ab

∵4

－

＝

，

－

＝

∵a

＝

，

＝

22AB=345

（

）要使OBP为等腰三角形，得分两种情况讨论：

∵

当

＝

时；

＝（

＋

）

÷2

＝

6÷2

＝

；

∵

当

＝

，

＝（

＋

－

＋

）

÷2

＝

9÷2

＝

4.5

，

∵

存在，

的值为

或者

4.5

；

（

）过点

作

PH∵AB

于点

，

∵∵AOB

＝

90°

，

∵OP

＝

，

在

∵APB

中，

∵APB＝

×PH×AB

＝

×PB×AO

即：

x×5

＝

（

－

）

×4

解得：

x

∵

t

（

）由题意知：

∵BAC

＝

90°

，

＝

∵S∵ABC

＝

×AB×AC

＝

∵S∵ABQ

＝

BQ×

（

边上的高）＝

∵Q

（

，

）

∵

125

m

∵

m．

【点睛】

本题考查直角坐标系有关知识，涉及到三角形面积公式，两点间的距离公式、等腰三角形的性质，综合运

用所学知识是解题的关键，注意利用分类讨论的思想．

．如图，在

Rt∵ABC

中，

∵BAC

＝

90°

，

∵B

＝

30°

，

AD∵BC

于

，

＝

4cm

，过点

作

DE∵AC

，交

于点

，

DF∵AB

，交

于点

．动点

从点

出发以

1cm/s

的速度向终点

运动，过点

作

MN∵BC

，交

于点

，交

于点

．设点

运动时间为

（

），

∵AMN

与四边形

AEDF

重叠部分面积为

（

cm2）．

（

）

＝

，

＝

；

（

）求

关于

的函数解析式，并写出

的取值范围；

（

）若线段

中点为

，当点

落在

∵ACB

平分线上时，直接写出

的值．

【答案】（

）

；

23；（

）



1(13)

810(34)

xxx



















；（

）

【分析】

（

）由锐角三角函数的定义及已知条件可以算得

和

的长度；

（

）过点

作

EG∵AD

于点

，过点

作

FH∵AD

于点

，则可得

AG=1cm

，

AH=3cm

，由图知题目分

011334xxx，，三种情况讨论即可得到答案；

（

）过点

作

OH∵BC

于点

，

OG∵AC

于点

，

OK∵AB

于点

，连接

，

，则通过解三角形和三

角形面积的多种求法可以得到

OH=2

，所以

x=AP=AD-PD=AD-OH=2

．

【详解】

解：（

）

∵∵B

＝

30°

，

AD∵BC

于

，

∵∵BAD

＝

60°

∵∵BAC

＝

90°

，

∵∵CAD

＝

30°

，

∵DE∵AC

，

DF∵AB

，

∵∵AED

＝

∵AFD

＝

90°

，

∵AD

＝

4cm

，

∵AE

＝

AD•cos60°

＝

2cm

，

＝

AD•cos30°

＝

23cm

，

故答案为：

；

23；

（

）过点

作

EG∵AD

于点

，过点

作

FH∵AD

于点

，如图

，

∵EG

＝

AE•cos30°

＝3cm

，

AG=AE•sin30=1cm,

＝

AF•cos30°

＝

3cm

，

当

0≤x≤1

时，如图

，则

＝

xcm

，

∵MN∵BC

，

∵∵AMN

＝

∵B

＝

30°

，

∵AM

＝

2AP

＝

，

∵AN

＝

AM•tan30°

＝

2x•

323

x（

），

∵y

＝22

112323

2233

AMANxxxcm，

即

＝2

x（

0≤x≤1

）；

当

＜

x≤3

时，如图

，则

＝

﹣

＝

﹣

（

），

∵EH

＝

ME•tan∵EMH

＝

x（

），

∵211323

22221

2233MEH

SMEEHxxx，

∵y

＝2

232323

121

333AMNMEH

SSxxx，

即

＝

x（

＜

x≤3

）；

当

＜

x≤4

时，如图

，

∵AN

＝

cos303

APx

x

（

），

∵MN∵BC

，

∵∵ANG

＝

∵C

＝

60°

，

∵NF

＝

﹣

＝

x（

），

∵FG

＝

FN•tan60°

＝

﹣

（

），

∵2112323

26233

2233FGN

SFGFNxxx









，

∵y

＝

∵

AMN﹣

∵

EMH﹣

∵

FNG＝2

232323

213810

333

xxxx，

即

＝2

810

xx（

＜

x≤4

）；

综上，

＝



21(13)

810(34)

xxx



















；

（

）过点

作

OH∵BC

于点

，

OG∵AC

于点

，

OK∵AB

于点

，连接

，

，如图

，

∵OC

平分

∵ACB

，

∵OH

＝

，

∵MN∵BC

，

∵∵AMN

＝

∵ABC

＝

30°

，

∵ANM

＝

∵ACB

＝

60°

，

∵OK

＝

OM•sin30°

＝

，

＝

ON•sin60°

＝

，

∵OM

＝

，

∵OG=3OK，

∵AC

＝

AB•tan30°

＝

，

＝

2AC

＝

163

，

∵

1111

2222ABC

SABACABOKACOGBCOH

，

∵8×

＝

8OK+

83163

OKOK，

∵OK

＝

，

∵PD=OH=32OK，

∵AP

＝

，

∵x

＝

．

【点睛】

本题考查三角形的动点问题，熟练掌握特殊角的三角函数值、三角函数的定义、解直角三角形的常用方法、

以直角三角形的三边为边长的三角形面积计算等方法是解题关键．

👁️ 阅读量：0

🔖 本文标签：

🔥 最新发布文章