函数单调性的定义

函数单调性的定义

-计算机二级考试

2.1定义判别法

使用函数单调性定义进行解题是一个重点，也是一个难点。关键在于对函数

单调性定义的理解。掌握这一方法有利于形成解题思路。函数的单调性定义：

一般的，设函数

)(xf

的定义域为I：

1）、如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量

21

,xx，当

21

xx时

都有)()(

21

xfxf.那么就说

)(xf

为D上的增函数；

2）、如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量

21

,xx，当

21

xx时

都有)()(

21

xfxf，那么就说Dxf为)(上的减函数。

例1：已知、

是方程)(01442Rkkxx的两个不等实根，函数

1

2

)(

2





x

kx

xf

的定义域为，，判断函数

)(xf

在定义域内的单调性，并证明。

证：令144)(2kxxxg，则函数图象为开口向上的抛物线。

设

21

xx，则01440144

2

2

21

2

1

kxxkxx，；

将上述两个式子相加得：

02)(4)(4

21

2

2

2

1

xxkxx，

由均值不等式，可得2

2

2

121

2xxxx；

0

2

1

)(2

2121

xxkxx

，

则



)1)(1(

22)()(

1

2

1

2

)()(

2

2

2

1

212112

2

1

1

2

2

2

12

















xx

xxxxkxx

x

kx

x

kx

xfxf

又

0

2

1

2)(22)(

21212121

xxxxkxxxxk

，

所以0)()(

12

xfxf，故

)(xf

在区间,上是增函数。

例2、求证xxxf2)(在















4

7

,上为增函数。

解：取

21212121

22)()()(

4

7

xxxxxfxfxx，则

，

分子、分母同时乘以

21

22xx，得

21

2121

2122

)122)((

)()(

xx

xxxx

xfxf





，

由

2

1

2,

2

1

2,0

2121

xxxx

，所以0)()(

21

xfxf，

函数在















4

7

，为单调递增函数。

从上面两个例子可以看出，在应用定义判别法的时候，首先取定定义域中不等

两点，对其函数值作差，判断其大小。但是，在做题过程中，不乏对不等式的灵

活应用，因此，需熟练掌握一些常用的不等式。

知识链接：

常用的基本不等式

（1）、设

Rba、

，则0)(022baa，（当且仅当

baa,0

时取等号）。

（2）、设

Rba、

，则

2

22

22

22

,2





















baba

abba

（当且仅当

ba

时

取等号）。

（3）、设Rcba、、，则cabcabcba222；



3

2

222

cba

cba



（当且仅当cba时取等号）。

（4）、均值不等式：

a、设)0(，、ba，则

ab

ba





2

（当且仅当ba时取等号）。

基本变形：2)

2

(2

ba

ababba



，

。

b、设

)0(，、、cba

，则3

3

abc

cba





（当且仅当cba时

取等号）。

（5）、设

,0ba

则

b

baba

ab

ba

ab

a













22

222

（当且仅当ba

时取等号）。

（6）、柯西不等式：设,,,,

2121

Rbbaa则))(()(2

2

2

1

2

2

2

1

2

2211

bbaababa。