转动惯量单位
-宝绘堂记
2023年2月15日发(作者：宝宝百天寄语)第二章刚体的定轴转动
教学要求：
一、理解刚体定轴转动的角速度和角加速度的概念，理解角量与线量的关系。
二、理解刚体定轴转动定律，能解简单的定轴转动问题。
三、了解力矩的功和转动动能的概念。
四、了解刚体对定轴的角动量定理及角动量守恒定律。
五、理解转动惯量的概念，能用平行轴定理和转动惯量的可加性计算刚体对定轴
的转动惯量。
教学重点：刚体定轴转动的力矩、转动惯量、角动量等物理量的概念和转动定律。
教学难点：难点是刚体绕定轴转动的角动量守恒定律及其应用。
物理学研究方法、思维方法：理想化模型-----刚体、研究刚体转动的物理量——
角量的确定。
类比方法是本章学习和研究的主要方法。
教学方法：启发、类比、讨论
教学内容：
准备知识：
一、刚体：假定无论在多大的外力作用下，物体的形状和大小都保持不变，也就
是物体内任何两质点之间的距离保持不变。这样的理想物体称为刚体。
刚体也是常用的力学理想模型。
二、平动与转动：当刚体运动时,如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始
终保持它的方向不变，这种运动称为平动；
刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种
运动称为转动。
如果刚体围绕的转轴的位置是固定不动的，这种转动称为刚体的定轴转动
§2-1角速度和角加速度
一、角位移、角速度和角加速度
1、角坐标：如图2-1所示，O为转轴与转动平面的交点，
A为刚体上的一个质点，A在这一转动平面内绕O点
做圆周运动，A与转轴的距离为r。t时刻质点A与转
轴O距离的连线与基准方向ox的夹角为θ，称θ为角
坐标或角位置。
2、定轴转动的运动学方程：刚体转动时，θ随时间变
化，它是时间t的函数：
)(t（2-1）
上式称为刚体定轴转动的运动学方程.
图2—1角坐标和角速度
3、角位移：设t时刻刚体上所取质点的角坐标是θ，经过一段时间t，即
tt时刻，该质点的角位置为
。我们把
称为A在t时间内的角位
移，
也是刚体上每个质点的角位移。
在SI中,角位移的单位是弧度，符号为rad.
4、角速度：将角坐标
对时间t求导数，以描述刚体转动的快慢，称刚体转
动的角速度，用符号ω表示：
ω=
dt
d
（2-2）
在SI中，角速度的单位是弧度每秒,符号为1srad.
5、角加速度：将角速度ω对时间t求导，以描述角速度变化的快慢程度，称
为刚体定轴转动的角加速度，用符号表示：
=
2
2
dt
d
dt
d
（2-3）
在SI中，角加速度的单位是弧度每平方秒,符号为2srad.
除了用角速度ω描述物体转动快慢的程度外，还可使用另一个量---旋转频
率，通常用符号n表示旋转频率，表示单位时间物体绕行的转数。旋转频率的单
位是转每分，符号1minr，1minr是国家选用的非SI单位之一.它是工程上
常用的单位,与弧度每秒之间的换算关系为11minr=
30
1srad)
二、角量与线量的关系
设距转轴为R处一质点的线速度为v，切向加速度为
t
a，法向加速度为
n
a（以
上各量称为“线量”）。角速度ω,角加速度为（以上各量称为“角量”）。下面
我们来讨论线量与角量大小的关系。
用s表示与质点的角位移θ相对应的圆轨道上的弧长，那么
Rs
将上式两边对时间求导数，由于线速度v=
dt
ds
，角速度ω=
dt
d
则可得：
Rv（2-4）
将式（2-4）两边再对时间求导，由于上式中
t
a=
dt
dv
，=
dt
d
，则可得：
t
a=R（2-5）
利用
n
a=
R
v2
得法向加速度：
n
a=R2（2-6）
例2-1已知刚体转动的运动学方程为
=A+B3t，式中A为无量纲的常数,B
为有量纲的常数.求:(1)角速度；（2）角加速度；（3）刚体上距轴为r的一质
点的加速度.
解:(1)由角速度的定义式,得:
ω=
dt
d
=3B2t
(2)将ω对时间t求导数,得角加速度
=
dt
d
=6Bt
(3)利用式(2—5)得距轴为r的一点的切向加度为:
t
a=r=6Brt
根据式(2—6)得该质点的法向加速度为:
n
a=r2=92Br4t
所以，加速度的大小是：a=22
tn
aa=2242)6()9(BrtrtB
设加速度a与速度v的夹角为Ф，则Ф满足下式tgn
=
t
n
a
a
=3
2
3
Bt
§2-2力矩转动定律转动惯量
一、力矩
1、定义：位矢r
与力F
的矢积为力F
对转轴的力矩，用M
表示。
数学表达式为FrM
（2—7a）
其大小为
sinrFM(2—7b)
M
的方向为Fr
的方向，按照右手螺旋定则判断。
一般是按照力矩的作用来判断力矩的正负：如力矩
的作用是使刚体逆时针转动，则力矩为正；如力矩的作
用是使刚体顺时针转动，则力矩为负。
在SI中,力矩的单位是牛顿米,符号为mN.
2、意义：力矩是改变物体转动状态的原因。
二、转动定律和转动惯量
图2—2力矩
1、转动定律
（1）推导：如图所示，为定轴转动的一个刚
体的转动平面，m
i
为刚体中任意一个质元的质量。
i
r是m
i
对轴的位矢，F
i
是m
i
受的外力，f
i
是m
i
受
的内力，将F
i
与f
i
按切向与法向分解，用牛顿第
二定律的分量式F
n
=m
n
a和F
i
=m
t
a，
分别得:
在法向：2coscos
iiniiiiii
rmamFf（a）
切向：
iitiiiiii
rmamFfsinsin(b）
图2-3中法向力对转轴无力矩作用，不必考虑，切向力对转轴有力矩作用,将(b)
式两边分别用
i
r相乘得
2)sinsin(
iiiiiii
rmFfr
(C)
将(C)式对整个刚体相加可得：
)()sinsin(2
iiiiiii
rmFfr
或)((2
iii
rmM（2—8a）
将上式中的2
i
n
in
i
rm
定义为刚体的转动惯量，用I表示。即
I=2
i
n
in
i
rm
（2—9a）
则式（2—8a）可写成：
IM(2—8b)
（2）结论：作用于刚体上的合外力矩M等于刚体的转动惯量I与刚体的角加速
度的乘积。这一规律称为刚体定轴转动的转动定律.
2、转动惯量
（1）定义：转动惯量I=2
i
n
in
i
rm
是一个引入的物理量，它量度了刚体在转
动中转动惯性的大小，在SI中，转动惯量I的单位是千克·米2，符号为2mKg。
（2）转动惯量的计算：由式（2—9a）可以看出影响转动惯量大小的因素不
仅仅是刚体的质量，还包括各质元与转轴的相对位置，同样质量的质元，离转轴
图2—3刚体的转动定律
越远，对转动惯量的贡献越大。若刚体中质元是连续分布的，所以转动惯量的计
算由积分完成，即
I=dmr2=dVr2（2-9b）
计算物体的转动惯量是比较困难的，甚至于无法计算，在工程技术和科学研究中，
常常用实验的方法测量物体的转动惯量。
（3）关于转动惯量的两条规律：
a．平行轴定理：根据实际需要，转动物体的固定轴可有多种选择.设想有两
个彼此平行的转轴,一个通过刚体的质心,另一个不通过质心.两平行轴之间的距
离为d,刚体的质量为m.如果此刚体对过质心转轴的转动惯量为I
c
,对另一转轴的
转动惯量为I,那么，可以证明I和I
c
之间的关系为
I=I
c
+md2(2-10)
上述关系式称为转动惯量的平行轴定理.
由上式可见,刚体对过质心转轴的转动惯量Ic,小于刚体对任何与该质心转轴相平
行的转轴的转动惯量I。
b、对同一转轴而言,物体各部分转动惯量之和等于整个物体的转动惯量。把这
一规律称为转动惯量的可加性。
三、转动定律的应用
一个物体系统中如果有若干个物体,其中有的物体在平动,有的在转动.这
时可以采用“隔离体法”把它们分别“取”出.平动物体可看作质点,应用牛顿第
二定律写出它们的力学方程.定轴转动物体,可以用转动定律写出它们的转动方
程,再找出各隔离体的联系,写出必要的关系式,然后,把所有公式联立求解.
此外,还可以用动能定理.功能原理和机械能守恒定律计算这类问题.
例2-2如图(2-4a)所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有
质量为
21
mm、
的两个物体A和B，已知
1
m
小于
2
m
，滑轮可看作质量均匀分布的
等厚圆盘，其质量为m，半径为r，（因而滑轮的转动惯量为I=2
2
1
mr）.设绳
与滑轮间无相对滑动.求物体的加速度？滑轮的角加速度？及绳的张力？
解：分别把滑轮，物体A和物体B“隔离”出来,画出它们的受力图,如图(2-4b)
所示.由于不计绳的质量,且
1
/
1
TT、
2
/
2
TT.因为
2
m大于
1
m,物体A的加速
度
1
a向上,B的加速度
2
a向下,它们的大小相等,设都用a则
aaa
21
分别写出A、B的力学方程:
amTgm
amgmT
222
111
再写出滑轮的转动方程:
IrTT)(/
1
/
2
由线量与角量的关系得:ra
图2—4a
有牛顿第三定律的:/
11
TT/
22
TT
联立求解得:
g
mmm
mm
a
)22(
)(2
21
12
r
g
mmm
mm
)22(
)(2
21
12
g
mmm
mmm
TT
)22(
)4(
21
21
/
11
g
mmm
mmm
TT
)22(
)4(
21
12
/
11
上述结果表明，两侧绳中张力的大小不等。
§2-3力矩的功刚体转动的动能定理
一、力矩的功
如图2-5所示，一个绕固定轴OO
转动的圆盘状刚体,在圆盘平面上有外力F
作用于A点.把力沿法向和切向分解为法向力
n
F和切向力
t
F。圆盘转动时,法向
分力
n
F垂直于A点的速度,它不做功.因而外力F的功等于它的切向分力
t
F所做
的功,所以:
图2—5力矩的功
dsFrdFdA
t
(2-11)
在上式中,rd
是A点在圆周上的位移元,ds是对应的弧长,
用
d表示与ds对应的角位移,有
rdds
把上式代入式(2-11),得rdFdA
t
上式中的rF
t
是外力F对转轴的力矩,于是可以用力矩M表示元功:
MddA（2—12）
当刚体从角坐标
1
转到角坐标
2
时,外力矩共作功:
图2—4b
2
1
MdA
(2-13)
如果有若干个外力作用于刚体上,先分别计算出每个外力的力矩,求这些外
力矩的代数和,得合外力矩.上式中M若是合外力矩,则A就是合外力矩的功.
若M是恒力矩,M与
d同方向,力矩做的功为
MA
例2-3如图2-6（a）所示，一个转轮A绕中心轴的转动惯量为I，转动的摩
擦力矩为
f
M,转轮半径为R,转轮边沿绕有轻的细绳，用恒力F拉绳，A轮被拉
动转过n圈，（B轮的质量不计，转轴光滑）求:
（1）拉力和摩擦力矩对轮做的功.
（2）若将恒力F换成重物G来拉滑轮转动，如图2-6（b）其他条件不变，求
绳中张力对轮所做的功.(G=mg)
图2—6例2—3图
解:(1)作用在轮上的拉力为恒力F时,作用在轮上有两个力矩
FRM
F
及
f
M，轮转过n圈时,角位移
2n
FF
MA
d=
2n
F
M=nRF2
f
A=
f
M=
2n
f
M
(2)分离转轮与重物,画出受力图,分别用转动定律和牛顿第二定律.
对轮有IMTR
f
对重物GmaTG
又因
Ra
联立解得
ImR
MmgR
f
2
ImR
RMIg
Tf
2
所以2TRMA
T
nRT=
2
ImR
RMIg
nRf
2
二、刚体的转动动能
刚体可以看作是有许多质元所组成的。设各质元的质量分别为m
1
、m
2
….,.
各质元与转轴的距离分别为r
1
、r
2
、…..,当刚体绕定轴转动时,各质元的角速度
ω相等,但线速度各不相同。设其中第i个质元的线速度为
i
v，其大小为：
i
v=r
i
ω,
则相应的动能为：
i
k
E=2
2
1
ii
vm=2)(
2
1
ii
rm=22
2
1
ii
rm
整个刚体的动能是所有各质元的动能之和，即
k
E=
n
n
ii
rm
1
22)(
2
1
（2—14a）
将式（2—9a）代入上式中可得：
所以刚体转动动能的表达式为
k
E=2
2
1
I(2—14b)
三、刚体转动的动能定理
力矩对刚体做功是力矩的空间积累过程,将转动定律对角位移
d积分得：
2
1
2
1
dIdM
上式左边为力矩做的功,右边为
dId
dt
d
Id
dt
d
I2
1
2
1
=2
1
2
22
1
2
1
II
即:
12
2
1
kkk
EEEMdA
(2-15)
上式表明:刚体绕定轴转动合外力矩对刚体所做的功时,等于刚体转动动能
的增量.这一规律称为刚体转动的动能定理。
例2－4如图2-7所示,半径为R,质量为m
1
的均匀的薄圆盘,盘边绕有足
够长的轻的细绳,下端挂着一个质量为m
2
的重物.开始系统静止,释放后重物向
下移动h距离,设圆盘轴上摩擦力矩为M
f
,求物快下滑到h距离时的速度v.
解:合外力矩对m
1
做的功为A
1
,
外力对m
2
做的功为A
2
,
m
2
下移h时,轮转过位移为
R
h
,
设绳中张力为T,作m
1
和m
2
的受力图，
图2—7例2—4图
运动方程IMTR
f
(a)
amTgm
22
(b)
又因为)(
1f
MTRAhTgmA)(
22
用动能定理hTgm
R
h
MTRAAA
f
)()(
221
22
22
1
2
1
IvmE
k
22
222
1
2
1
)()(IvmhTgm
R
h
MTR
f
（c）
(其中2
12
1
RmI
R
v2
)(d)、
解(a)(b)得
2
21
2
)
2
1
(Rmm
MgRm
f
Rmm
MgRmm
Tf
)2(
)2(
21
12
(e)
将(d)(e)代入(c)得
21
2
2
2
1
)(2
mm
R
h
Mghm
v
f
21
2
2
1
)(2
mm
R
h
Mghm
v
f
若
0
1
m
,0
f
M,则ghv2
§2-4角动量定理角动量守恒定律
一、角动量
定义：转动惯量I和角速度ω的乘积称为刚体对定轴的角动量,又称动量矩。
用符号L表示:
IL(2-16)
角动量是描述物体转动状态的物理量.
在SI中,角动量的单位是千克平方米每秒,符号为12smkg.
二、角动量定理
把转动定律
IM改写为:
dt
d
IM
刚体对固定轴的转动惯量I是常量,则上式又可以写成:
dt
dL
M(2-17)
上式表明,刚体绕定轴转动时,作用于刚体上的合外力矩等于刚体对该定轴
的角动量对时间的变化率.这是转动定律的角动量表示式.
将式(2-17)变换成dLMdt
如果在t
1
到t
2
时间内,力矩M持续的作用在转动刚体上,使刚体的角动量从L
1
变为L
2
,则得:
2
1
12
t
t
LLMdt
(2-18a)
或:
12
2
1
IIMdtt
t
(2-18b)
在上式中,2
1
t
t
Mdt
称为力矩M在t
1
到t
2
内的冲量矩。式(2-18)表明,刚体绕
定轴转动时,在给定的时间内,作用于刚体的合外力矩的冲量矩,等于刚体对该
定轴的角动量的增量.这一规律称为刚体定轴转动的角动量定理.
三、角动量守恒定律
公式(2-18)中,如果物体所受合外力矩0M，则
L
1
=L
2
(2-19a)
即：
2211
II
（2-19b）
上式表明,当作用于物体的合外力矩等于零时,物体的角动量保持不变.这一规律
称为角动量守恒定律.
由2-19式表明:当定轴转动刚体的转动惯量是常数，即I不变时，若M=0，则
ω保持不变ω
1
=ω
2
；当定轴转动刚体的转动惯量不是常数，即I变化时,若
M=O，则ω发生变化ω
1
ω
2
。因此可以用减小(或增加)物体转动惯量的手段
来加快(或减慢)物体的转动速度.此类方法广泛应用于各种跳、翻、转的体育动
作和舞蹈表演中.例如跳水运动员在空中翻筋斗时,跳水员先将两臂伸直,并一某
一角速度离开跳板,跳在空中时,将臂和腿尽量卷缩起来,以减小转动惯量因而角
速度增大,在空中快速翻转,当快接近水面时,再伸直臂和腿以增大转动惯量,减
小角速度以便竖站的进入水中,减少激起的水花.
角动量守恒定律是自然界的基本定律之一.
例2-5质量为M,半径为R的均匀实心圆柱体，以角速度
0
绕其几何轴线转
动。质量为m，初速度为
0
v的小质点与该圆柱体相碰并粘在圆柱体的边缘上，
如图2—8所示，求碰撞后该系统的角速度。
解：将圆柱体与小质点去做研究系统，外力只有重
力及支持力，但重力及支持力对转轴均无力矩，所
以该系统的合外力矩等于零，因此，角动量守恒。
设逆时针转动为正方向，则碰撞前该系统绕O轴转
动的角动量为
RmvMRL
00
2
02
1
碰撞后系统的总角动量为
)
2
1
(22mRMRL
根据角动量守恒定律，
0
LL，由此可解得碰撞后该系统的角速度为
22
00
2
2
1
2
1
mRMR
RmvMR
例2-6质量为M、半径为R的转台,可绕过中心的竖直轴转动,如图2-9所
示.质量为m的人站在台的边缘.最初人和台都静止;后来人在台的边缘开始跑动.
设人的角速度(相对地面)为ω;求转台的转动角速
度(忽略转轴处的摩擦力矩和空气阻力).
解人和转台系统不受外力矩作用，其角动
量守恒，在转动前后L
1
=L
2
开始时刻，人与台组成的系统角动量为：
L
1
=0（1）
后来人的角动量为2mR，设转台此刻的转动惯量
为/L，这时人台系统的角动量为
/2
2
LmRL=0（2）
有式(1)和(2)联立解得:
2/mRL（3）
又转盘的转动惯量为2
2
1
MR，设转盘角速度为
，则
2/
2
1
MRL将此式与（3）
式比较，可得：
M
m
2/
上式表明,转台相对地面以2(
M
m
)ω的角速度沿与人相反的方向转动.
图2—8例2—5图
图2—9例2—6图
表3—1刚体转动与质点运动的类比
质点的运动刚体定轴转动
位置角位置
位移角位移
速度角速度
加速度角加速度
匀加速直线运动匀角加速转动
匀速直线运动匀角速转动
质量转动惯量
力力矩
牛顿第二定律定轴转动定律
力的功力矩的功
动能角动能
动能定理动能定理
冲量冲量矩
动量角动量(动量矩)
动量定理角动量定理
系统的机械能守恒定律系统的机械能守恒定律
若,则若,则
常量常量
系统的动量守恒定律系统的角动量守恒定律
若,则常量若,则常量