隐函数求导
-74hc74
2023年2月15日发(作者：云总机)-
---总结.
第五节隐函数的求导法则
一、一个方程的情形
隐函数存在定理1设函数
(,)Fxy
在点
00
(,)Pxy的某一邻域具有连续偏导
数，
00
(,)0Fxy，
00
(,)0
y
Fxy，则方程
(,)0Fxy
在点
0
x的某一邻域恒能唯
一确定一个连续且具有连续导数的函数
()yfx
，它满足条件
00
()yfx，并有
d
d
x
y
F
y
xF
．
说明：1）定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将
()yfx
代入
(,)0Fxy
，得恒等式
(,())0Fxfx
，
等式两边对x求导得
d
0
d
FFy
xyx
，
由于0
y
F于是得
d
d
x
y
F
y
xF
．
2）若
(,)Fxy
的二阶偏导数也都连续,则按上述方法还可求隐函数的二阶导
数:
2
2
dd
()()
dd
xx
yy
FF
yy
xxFyFx
22
()xxyyxxxyyyyx
x
yyy
FFFFFFFF
F
FFF
22
3
2
xxyxyxyyyx
y
FFFFFFF
F
．
例1验证方程sine10xyxy在点
(0,0)
的某一邻域能唯一确定一个单
第五节隐函数的求导公式湖北汽车工业学院理学部·胡政发
2
值可导的隐函数
()yfx
，并求
2
2
dd
,
00
dd
yy
xx
xx
．
解设(,)sine1xFxyyxy，则
1）ex
x
Fy，cos
y
Fyx连续；
2）
(0,0)0F
；
3）(0,0)10
y
F．
因此由定理1可知，方程sine10xyxy在点
(0,0)
的某一邻域能唯一确定一
个单值可导的隐函数
()yfx
．
d
0
d
y
x
x
0
x
y
F
x
F
e
1
0,0
cos
xy
xy
yx
，
2
2
d
0
d
y
x
x
de
()
0,0,1
dcos
xy
xyy
xyx
0
2
0
1
(e)(cos)(e)(sin1)
(cos)
xx
x
y
y
yyxyyy
yx
3
．
隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0Fxy可
以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0Fxyz可以确定一个二元隐函数．
隐函数存在定理2设函数
(,,)Fxyz
在点
000
(,,)Pxyz的某一邻域具有连续的
偏导数，且
000
(,,)0Fxyz，
000
(,,)0
z
Fxyz，则方程
(,,)0Fxyz
在点
00
(,)xy
的某一邻域恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)zfxy，它满
足条件
000
(,)zfxy，并有
x
z
F
z
xF
，y
z
F
z
yF
．
说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)zfxy代入
(,,)0Fxyz，得(,,(,))0Fxyfxy，
-
---总结.
将上式两端分别对x和y求导，得
0
x
z
FF
zx
，0
y
z
FF
zy
．
因为
z
F连续且
000
(,,)0
z
Fxyz，于是得
x
z
F
z
xF
，y
z
F
z
yF
．
例2设22240xyzz，求
2
2
z
x
．
解设222(,,)4Fxyzxyzz，则2
x
Fx，24
z
Fz，
2
242
x
z
F
zxx
xFzz
，
222
2223
(2)
(2)()
(2)
2
(2)(2)(2)
z
x
xx
xx
zxx
x
z
xzzz
．
二、方程组的情形
在一定条件下，由方程组
(,,,)0
(,,,)0
Fxyuv
Gxyuv
可以确定一对二元函数
(,)
(,)
uuxy
vvxy
，
例如方程0xuyv和1yuxv可以确定两个二元函数
22yx
y
u
，
22yx
x
v
．事实上，
0xuyvu
y
x
v1u
y
x
xyu
22yx
y
u
，
2222yx
x
yx
y
y
x
v
．
第五节隐函数的求导公式湖北汽车工业学院理学部·胡政发
4
下面讨论如何由组求u，v的导数．
隐函数存在定理3设
(,,,)Fxyuv
，
(,,,)Gxyuv
点
0000
(,,,)Pxyuv的某一邻域
具有对各个变量的连续偏导数，又
0000
(,,,)0Fxyuv，
0000
(,,,)0Gxyuv，且偏
导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）行列式）
(,)
(,)
FF
FG
uv
J
GG
uv
uv
在点
0000
(,,,)Pxyuv不等于零，则方程组
(,,,)0Fxyuv
，
(,,,)0Gxyuv
，在点
0000
(,,,)Pxyuv的某一邻域恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数
(,)
(,)
uuxy
vvxy
，
．
它们满足条件
000
(,)uuxy，
000
(,)vvxy，且有
1(,)
(,)
xv
xv
uv
uv
FF
GG
uFG
FF
xJxv
GG
，
1(,)
(,)
ux
ux
uv
uv
FF
GG
vFG
FF
xJux
GG
，
1(,)
(,)
yv
yv
uv
uv
FF
GG
uFG
FF
yJyv
GG
，
1(,)
(,)
uy
uy
uv
uv
FF
GG
vFG
FF
yJuy
GG
．
说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导
数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数
x
u
，
x
v
由方程组
0,
0
xuv
xuv
uv
FFF
xx
uv
GGG
xx
确定；偏导数
y
u
，
y
v
由方程组
-
---总结.
.0
,0
y
v
G
y
u
GG
y
v
F
y
u
FF
vuy
vuy
确定．
例3设
0xuyv
，
1yuxv
，求
u
x
，
v
x
，
u
y
和
v
y
．
解两个方程两边分别对x求偏导，得关于
u
x
和
v
x
的方程组
0
0
uv
uxy
xx
uv
yvx
xx
，
．
当220xy时，解之得
22
uxuyv
xxy
，
22
vyuxv
xxy
．
两个方程两边分别对y求偏导，得关于
u
y
和
v
y
的方程组
0
0
uv
xvy
yy
uv
uyx
yy
，
．
当220xy时，解之得
22
uxvyu
yxy
，
22
vxuyv
yxy
．
另解将两个方程的两边微分得
dddd0
dddd0
uxxuvyyv
uyyuvxxv
，
，
即
dddd
dddd
xuyvvyux
yuxvuyvx
，
．
解之得
2222
ddd
xuyvxvyu
uxy
xyxy
，
2222
ddd
yuxvxuyv
vxy
xyxy
．
于是
22
uxuyv
xxy
，
22
uxvyu
yxy
，
22
vyuxv
xxy
，
22
vxuyv
yxy
．
第五节隐函数的求导公式湖北汽车工业学院理学部·胡政发
6
例设函数
(,),(,)xxuvyyuv
在点
(,)uv
的某一领域连续且有连续偏导
数，又
(,)
0
(,)
xy
uv
．
1）证明方程组
(,)
(,)
xxuv
yyuv
在点
(,,,)xyuv
(的某一领域唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数
(,),(,)uuxyvvxy
．
2）求反函数
(,),(,)uuxyvvxy
对,xy的偏导数．
解1）将方程组改写成下面的形式
(,,,)(,)0
(,,,)(,)0
Fxyuvxxuv
Gxyuvyyuv
，
，
则按假设
(,)(,)
0
(,)(,)
FGxy
J
uvuv
，
由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．
2）将方程组所确定的反函数(,),(,)uuxyvvxy代入原方程组，即得
[(,),(,)]
[(,),(,)].
xxuxyvxy
yyuxyvxy
，
将上述恒等式两边分别对x求偏导数，得
1
0.
xuxv
uxvx
yuyv
uxvx
，
由于0J，故可解得
1uy
xJv
，
1vy
xJu
．
-
---总结.
同理，可得
1ux
yJv
，
1vx
yJu
．