指数函数求导
-千家妙方
2023年2月14日发(作者：好心态决定好命运)指数函数xa的微分公式及其推导
一、证明思路和方法
指数函数
xa和对数函数log
a
yx（0a且1a）互为反函数，所以，可以先用定
义法求出
xya的导数，然后根据反函数求导法则得到log
a
yx的导数。
二、对数函数log
a
yx的导数推导
由log
a
yx得
loglog
aa
xxx
y
xx
=
log
a
xx
x
x
=
log1
a
x
x
x
=
1
log1
a
x
xx
=
1
log1
a
xx
xxx
=
1
log1
x
x
a
x
xx
即
loglog
aa
xxx
y
xx
=
1
log1
x
x
a
x
xx
因为
0
limlog1log
x
x
aa
x
x
e
x
，
所以，
0
log'lim
a
x
y
x
x
=
0
1
limlog1
x
x
a
x
x
xx
=
0
1
limlog1
x
x
a
x
x
xx
=
1
log
a
e
x
=
111
logln
e
xaxa
所以
1
log'
lna
x
xa
。
三、反函数求导法则
设yfx为xy的反函数，若y在点
0
y的某邻域上连续，严格单调且
0
'0y，则fx在点000
xxy上可导，且
0
0
1
'
'
fx
y
。
【证明】设
00
xyyy，00
yfxxfx，
因为在
0
y的某邻域内连续且严格单调，
所以
1f在
0
x的某邻域内连续且严格单调。
从而当且仅当0y时0x，
并且当且仅当0y时0x，
由
0
'0y得：
0
0
'lim
x
y
fx
x
=
0
lim
y
y
x
=
0
1
lim
yx
y
=
0
1
'y
即
0
'fx
0
1
'y。
四、指数函数
xa的导数公式推导
因为
xya（xR）为对数函数log
a
xy（0,y）的反函数，
所以，根据反函数的导数公式得：
1
'
log'log
x
aa
y
a
ye
，
又因为
xya，所以'ln
loglog
x
xx
aa
ya
aaa
ee
，
即：'lnxxaaa。
五、指数函数
xa的微分公式
由'lnxxaaa得：'lnxxxdaadxaadx，
即：lnxxdaaadx。