微积分怎么算
模切-标准合同
2023年2月14日发(作者：砌砖墙)大学微积分公式大全整理
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有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦）
一、
0
0
1
01
1
01
lim0
nn
n
mm
x
m
a
nm
b
axaxa
nm
bxbxb
nm
（系数不为0的情况）
二、重要公式（1）
0
sin
lim1
x
x
x
（2）1
0
lim1x
x
xe
（3）lim()1n
n
aao
（4）lim1n
n
n
（5）limarctan
2x
x
（6）limtan
2x
arcx
（7）limarccot0
x
x
（8）limarccot
x
x
（9）lim0x
x
e
（10）limx
x
e
（11）
0
lim1x
x
x
三、下列常用等价无穷小关系（0x）
sinxxtanxxarcsinxxarctanxx2
1
1cos
2
xx
ln1xx1xex1lnxaxa11xx
四、导数的四则运算法则
uvuv
uvuvuv
2
uuvuv
vv
五、基本导数公式
⑴0c
⑵1xx⑶sincosxx
⑷cossinxx
⑸2tansecxx
⑹2cotcscxx
⑺secsectanxxx
⑻csccsccotxxx
⑼xxee
⑽lnxxaaa
⑾
1
lnx
x
⑿1
log
ln
x
axa
⒀
2
1
arcsin
1
x
x
⒁
2
1
arccos
1
x
x
⒂
2
1
arctan
1
x
x
⒃
2
1
arccot
1
x
x
⒄1x
⒅1
2
x
x
六、高阶导数的运算法则
1）n
nnuxvxuxvx
（2）
n
ncuxcux
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（3）
n
n
nuaxbauaxb
（4）
()
0
n
n
nk
kk
n
k
uxvxcuxvx
七、基本初等函数的n阶导数公式
（1）
!n
nxn（2）n
axbnaxbeae(3)
lnn
xxnaaa
(4)
sinsin
2
n
naxbaaxbn
(5)
coscos
2
n
naxbaaxbn
(6)
1
1!
1
n
n
n
n
an
axb
axb
(7)
1
1!
ln1
n
n
n
n
an
axb
axb
八、微分公式与微分运算法则
⑴0dc⑵1dxxdx⑶sincosdxxdx
⑷cossindxxdx⑸2tansecdxxdx⑹2cotcscdxxdx
⑺secsectandxxxdx⑻csccsccotdxxxdx
⑼xxdeedx⑽lnxxdaaadx⑾
1
lndxdx
x
⑿1
log
ln
x
a
ddx
xa
⒀
2
1
arcsin
1
dxdx
x
⒁
2
1
arccos
1
dxdx
x
⒂
2
1
arctan
1
dxdx
x
⒃
2
1
arccot
1
dxdx
x
九、微分运算法则
⑴duvdudv⑵dcucdu
⑶duvvduudv⑷
2
uvduudv
d
vv
十、基本积分公式
⑴kdxkxc⑵
1
1
x
xdxc
⑶ln
dx
xc
x
⑷
ln
x
x
a
adxc
a
⑸xxedxec⑹cossinxdxxc
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3/83/8
⑺sincosxdxxc⑻2
2
1
sectan
cos
dxxdxxc
x
⑼2
2
1
csccot
sin
xdxxc
x
⑽
2
1
arctan
1
dxxc
x
⑾
2
1
arcsin
1
dxxc
x
十一、下列常用凑微分公式
积分型换元公式
1
faxbdxfaxbdaxb
a
uaxb
1
1
fxxdxfxdx
ux
1
lnlnlnfxdxfxdx
x
lnux
xxxxfeedxfedexue
1
ln
xxxxfaadxfada
a
xua
sincossinsinfxxdxfxdxsinux
cossincoscosfxxdxfxdx
cosux
2tansectantanfxxdxfxdx
tanux
2cotcsccotcotfxxdxfxdx
cotux
2
1
arctanarcnarcn
1
fxdxftaxdtax
x
arctanux
2
1
arcsinarcsinarcsin
1
fxdxfxdx
x
arcsinux
十二、补充下面几个积分公式
tanlncosxdxxccotlnsinxdxxc
seclnsectanxdxxxccsclncsccotxdxxxc
22
11
arctan
x
dxc
axaa
22
11
ln
2
xa
dxc
xaaxa
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4/84/8
22
1
arcsin
x
dxc
a
ax
22
22
1
lndxxxac
xa
十三、分部积分法公式
⑴形如naxxedx，令nux，axdvedx
形如sinnxxdx令nux，sindvxdx
形如cosnxxdx令nux，cosdvxdx
⑵形如arctannxxdx，令arctanux，ndvxdx
形如lnnxxdx，令lnux，ndvxdx
⑶形如sinaxexdx，cosaxexdx令,sin,cosaxuexx均可。
十四、第二换元积分法中的三角换元公式
(1)22axsinxat(2)22axtanxat(3)22xasecxat
【特殊角的三角函数值】
（1）sin00（2）
1
sin
62
（3）
3
sin
32
（4）sin1
2
）（5）sin0
（1）cos01（2）
3
cos
62
（3）
1
cos
32
（4）cos0
2
）（5）cos1
（1）tan00（2）
3
tan
63
（3）tan3
3
（4）tan
2
不存在（5）tan0
（1）cot0不存在（2）cot3
6
（3）
3
cot
33
（4）cot0
2
（5）cot不存
在
十五、三角函数公式
1.两角和公式
sin()sincoscossinABABABsin()sincoscossinABABAB
cos()coscossinsinABABABcos()coscossinsinABABAB
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5/85/8
tantan
tan()
1tantan
AB
AB
AB
tantan
tan()
1tantan
AB
AB
AB
cotcot1
cot()
cotcot
AB
AB
BA
cotcot1
cot()
cotcot
AB
AB
BA
2.二倍角公式
sin22sincosAAA2222cos2cossin12sin2cos1AAAAA
2
2tan
tan2
1tan
A
A
A
3.半角公式
1cos
sin
22
AA
1cos
cos
22
AA
1cossin
tan
21cos1cos
AAA
AA
1cossin
cot
21cos1cos
AAA
AA
4.和差化积公式
sinsin2sincos
22
abab
ab
sinsin2cossin
22
abab
ab
coscos2coscos
22
abab
ab
coscos2sinsin
22
abab
ab
sin
tantan
coscos
ab
ab
ab
5.积化和差公式
1
sinsincoscos
2
ababab
1
coscoscoscos
2
ababab
1
sincossinsin
2
ababab
1
cossinsinsin
2
ababab
6.万能公式
2
2tan
2
sin
1tan
2
a
a
a
2
2
1tan
2
cos
1tan
2
a
a
a
2
2tan
2
tan
1tan
2
a
a
a
7.平方关系
22sincos1xx22secn1xtax22csccot1xx
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6/86/8
8.倒数关系
tancot1xxseccos1xxcsin1csxx
9.商数关系
sin
tan
cos
x
x
x
cos
cot
sin
x
x
x
十六、几种常见的微分方程
1.可分离变量的微分方程：
dy
fxgy
dx
，
1122
0fxgydxfxgydy
2.齐次微分方程：
dyy
f
dxx
3.一阶线性非齐次微分方程：
dy
pxyQx
dx
解为：
pxdxpxdxyeQxedxc
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan^2A)Sin2A=2SinA•CosA
Cos2A=Cos^2A--Sin^2A=2Cos^2A—1=1—2sin^2A
三倍角公式
sin3A=3sinA-4(sinA)^3;cos3A=4(cosA)^3-3cosA
tan3a=tana•tan(π/3+a)•tan(π/3-a)
半角公式
sin(A/2)=√{(1--cosA)/2}cos(A/2)=√{(1+cosA)/2}
tan(A/2)=√{(1--cosA)/(1+cosA)}cot(A/2)=√{(1+cosA)/(1-cosA)}
tan(A/2)=(1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
和差化积
sin(a)+sin(b)=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sin(a)-sin(b)=2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
cos(a)+cos(b)=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cos(a)-cos(b)=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
积化和差
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]cos(a)sin(b)=1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]
诱导公式
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7/87/8
sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(π/2-a)=cos(a)
cos(π/2-a)=sin(a)sin(π/2+a)=cos(a)cos(π/2+a)=-sin(a)
sin(π-a)=sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)
cos(π+a)=-cos(a)tgA=tanA=sinA/cosA
万能公式
sin(a)=[2tan(a/2)]/{1+[tan(a/2)]^2}cos(a)={1-[tan(a/2)]^2}/{1+[tan(a/2)]^2}
tan(a)=[2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}
其它公式
a•sin(a)+b•cos(a)=[√(a^2+b^2)]*sin(a+c)[
其中，
tan(c)=b/a]
a•sin(a)-b•cos(a)=[√(a^2+b^2)]*cos(a-c)[
其中，
tan(c)=a/b]
1+sin(a)=[sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a)=[sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;
其他非重点三角函数
csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
sinh(a)=[e^a-e^(-a)]/2cosh(a)=[e^a+e^(-a)]/2
tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
公式一：
设
α
为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin
（
2kπ
＋
α
）
=sinαcos
（
2kπ
＋
α
）
=cosα
tan
（
2kπ
＋
α
）
=tanαcot
（
2kπ
＋
α
）
=cotα
公式二：
设
α
为任意角，
π+α
的三角函数值与
α
的三角函数值之间的关系：
sin
（
π
＋
α
）
=-sinαcos
（
π
＋
α
）
=-cosαtan
（
π
＋
α
）
=tanαcot
（
π
＋
α
）
=cotα
公式三：
任意角
α
与
-α
的三角函数值之间的关系：
sin
（
-α
）
=-sinαcos
（
-α
）
=cosαtan
（
-α
）
=-tanαcot
（
-α
）
=-cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到
π-α
与
α
的三角函数值之间的关系：
sin
（
π-α
）
=sinαcos
（
π-α
）
=-cosαtan
（
π-α
）
=-tanαcot
（
π-α
）
=-cotα
公式五：
利用公式
-
和公式三可以得到
2π-α
与
α
的三角函数值之间的关系：
sin
（
2π-α
）
=-sinαcos
（
2π-α
）
=cosαtan
（
2π-α
）
=-tanαcot
（
2π-α
）
=-cotα
公式六：
π/2±α
及
3π/2±α
与
α
的三角函数值之间的关系：
sin
（
π/2+α
）
=cosαcos
（
π/2+α
）
=-sinαtan
（
π/2+α
）
=-cotαcot
（
π/2+α
）
=-tanα
sin
（
π/2-α
）
=cosαcos
（
π/2-α
）
=sinαtan
（
π/2-α
）
=cotαcot
（
π/2-α
）
=tanα
sin
（
3π/2+α
）
=-cosαcos
（
3π/2+α
）
=sinαtan
（
3π/2+α
）
=-cotαcot
（
3π/2+α
）
=-tanαsin
（
3π/2-α
）
=-cosαcos
（
3π/2-α
）
=-sinαtan
（
3π/2-α
）
=cotαcot
（
3π/2-α
）
=tanα
求导公式
c'=0(c
为常数）
(x^a)'=ax^(a-1),a
为常数且
a
≠
0
(a^x)'=a^xlna(e^x)'=e^x(logax)'=1/(xlna),a>0
且
a
≠
1
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8/88/8
(lnx)'=1/x(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx
(tanx)'=(secx)^2(secx)'=secxtanx(cotx)'=-(cscx)^2
(cscx)'=-csxcotx(arcsinx)'=1/
√
(1-x^2)(arccosx)'=-1/
√
(1-x^2)
(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)(shx)'=chx
(chx)'=shx
（
uv)'=uv'+u'v(u+v)'=u'+v'(u/)'=(u'v-uv')/^2