不等式的性质

不等式的性质

-任丽

2023年2月14日发(作者：广东省医院排名)

全国名校高考数学复习优质学案汇编（附经典习题详解）

不等式

本章知识结构图

第一节不等式的性质

考纲解读

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式（组）的实际背景.

2.掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件,理解绝对

值不等式的性质.

不等式

借助二次函数的图象三个二次的关系

可行域

应用题

目标函数

不等式的性质

基本不等式

(,)

2

ab

ababR





一元二次不等式

简单的线性规划

证明

最值问题

和定值,积最大；积定值,和最小

应用时注意：一正二定三相等

222

+22

ababab

ab

ab





+（a,bR）

几何意义：z

是

直线错误！未找到引用源。

在x轴上截距的a倍,在错误！未找到引用

源。轴上截距的错误！未找到引用源。倍

错误！未找到引用源。：构造一次

函数

22()()zxayb错误！未找到引用源。：

+zaxbyc错误！未找到引用源。：归结为一

错误！未找到引用源。

yb

z

xa







：构造斜率

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命题趋势探究

高考中单纯考查不等式性质的题目不多,但不等式知识几乎可以渗透到高考的每

一个考点.不等式的性质是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据,所以它仍

是高考的一个重点内容.主要考查一下几点：①依据给定的条件,利用不等式的

性质判断不等式或与证明不等式有关的结论是否成立；②利用不等式的性质与

实数和函数的性质相结合,进行大小比较；③判断不等式中条件与结论之间的关

系,是充分条件、必要条件还是充要条件；④求参数的取值范围；⑤证明不等式

时往往使用不等式的推出特征,而解不等式时,则要求同解变形.

从命题的趋势来看,预测今年本专题在高考中会有如下动向：

（1）对不等式性质的考查一般不会直接命题,往往与其他知识相结合,如与指数

函数、对数函数、数列等结合.

（2）若直接命题,则通常比较容易,会出现在选择题或填空题中,若与其他知识相

结合,则有可能在解答题中出现,作为求解或证明的一个步骤,为中档难度题.

知识点精讲

一、基本概念

不等关系与等量关系一样,也是自然界中存在的基本数量关系,他们在现实世界

和日常生活中大量存在.不等关系建立在表示数量的代数式之间,可以是常量、

变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“”,“”,“



”,“



”,“



”等）连接的式

子叫做不等式,其中“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“



”或“



”

连接的不等式叫做非严格的不等式.不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实

数代替不等式中的字母,不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数

代替不等式中的字母,不等式才能够成立）和矛盾不等式（不论用什么样的实数

代替不等式中的字母,不等式都不能成立）.

二、基本性质

不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时,对每一条性质要弄清条件

和结论,注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算

法则的结论形式,还要掌握法则成立的条件,避免由于忽略某些限制条件而造成

解题失误.

1.两个不等式的同向合成,一律为“”（充分不必要条件）

（1）,abbcac（传递性,注意找中间量）

（2）,abcdacbd（同向可加性）

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（3）,0,,00addcddacbd（同正可乘性,注意条件为正）

注：如

2

1

11

{{xy

x

yxy







,其逆命题不成立,如1000.12

1000.11

{



但是1001

0.11

{



.

2.一个不等式的等价变形,一律为“



”（充要条件）,这是不等式解法的理论依

据

（1）0;0;ababab

（2）.abab（对称性）

（3）,0(0).abcacbcc（乘正保号性）

（4）,0(0).abcacbcc

（5）,R+.abcacbc（不等量加等量）

（6）0,ab



（乘方保号性,注意条件为正）

（7）

0,ab



（开方保号性,注意条件为正）

（8）

11

,0abab

aa

（同号可倒性）；

11

0,.abab

ab

.

最为重要的3条不等式性质为：①,abcdacbd；

②0,00abcdacbd；③

11

,0,abab

ab

在不等式问题中都有重要的

应用,但应注意他们的适用条件,可以用口诀“同向同正可乘

．．．．．．

；同号取倒需反向

．．．．．．．

”

来记忆.

题型归纳及思路提示

题型88不等式的性质

思路提示

应用不等式的基本性质,不能忽视其性质成立的条件,解题时要做到言必有

据,特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时,有时可用特殊值验证法,以提高

解题的效率.

例7.1对于实数a,b,c,有以下命题：①若ab,则acbc；②若22acbc,则ab；

③若0ab则22aabb；④若0cab,则

ab

cacb





；⑤若ab,

11

ab

,则

0,0ab.其中真命题的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

变式1设,Rab,若0ab,则下列不等式中正确的是（）

A.0baB.330abC.0baD.220ab

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变式2设,ab是非零实数,若ab,则下列不等式中成立的是（）

A.22abB.22ababC.

22

11

abab

D.

ba

ab



变式3若0ab,则下列结论中正确的是（）

A.

11

ab

和

11

ab

均不成立

B.

11

aba





和

11

ab

均不成立

C.不等式

11

aba





和22

11

()()ab

aa

均不成立

D.不等式

11

ab

和22

11

()()ab

aa

均不成立

变式4若

1212,

0,0aabb,且

1212

1aabb,则下列代数式中值最大的是()

A.

1221

ababB.

1212

aabbC.

1222

ababD.

1

2

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题型89比较数（式）的大小与比较法证明不等式

思路提示

比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等

式、利用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键,变形的方法主要有通分、因式分解和配方等,变形要彻底,要有利

于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法,如果要比较的两数（式）均为正

数,且是幂或者因式乘积的形式,也可考虑使用作商法,作商法比较大小的原理是：

若0,0ab,则1

b

ba

a

;1

b

ba

a

;=1b=a

b

a

;

若0,0ab,则1

b

ba

a

;1,

b

ba

a

;=1b=a

b

a

；

例7.2若0ab且ab,试比较33ab与22abab的大小.

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变式1若0xy,试比较22()()xyxy与22()()xyxy的大小

变式2设0abab且,试比较abab与baab的大小

例7.3在锐角ABC中,若函数()yfx在[0,1]上单调递减,则下列命题中正确的是

（）

A.(cos)(cos)fAfBB.(sin)(sin)fAfB

C.(sin)(cos)fAfBD.(cos)(sin)fBfA

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变式1已知函数()fx是R上的偶函数,且在区间[0,)上是增函数,令

2

(sin),

7

af





3

(cos)

7

bf



,

3

(tan)

7

cf



,则（）



变式2已知函数3(),fxxx

123

,,,xxxR

122331

0,0,0,xxxxxx那么

123

()()()fxfxfx的值()

A.一定大于0B.一定小于0C.等于0D.确

定

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题型90已知不等式的关系,求目标式的取值范围

思路提示

在约束条件下求多变量函数式的范围时,不能脱离变量之间的约束关系而独

立分析每个变量的范围,否则会导致范围扩大,而只能建立已知与未知的直接关

系.

例7.4已知14,xy且23xy则23zxy的取值范围是.

变式1已知2faxc且,4(1)1,f1(2)5f,求(3)f的范围.

变式2设,xy为实数,满足

2

238,49,

x

xy

y

,则

3

4

x

y

的最大值是.

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最有效训练题26（限时45分钟）

1.（优质试题年北京高考）已知x，yR，且0xy，则（）

A.

11

0

xy

0xyC.

11

()()0

22

xy0xy

2.设01ba,则下列不等式中成立的是（）

A.21abbB.1

2

1

2

loglog0baC.221baD.21aab

3.已知,,,abmR并且ab,那么一定成立的是（）

A.

ama

bmb







B.

ama

bmb







C.

ama

bmb







D.

amb

bma







4.（优质试题山东理7）若0ab，且1ab，则下列不等式成立的是（）.

A.

2

1

log

2a

b

aab

b

B.

2

1

log

2a

b

aba

b



C.

2

1

log

2a

b

aab

b

D.

2

1

log

2a

b

aba

b



5.若0ab，给出下列不等式其中正确的个数是（）

①221ab；②11ab；③

111

abab





A.0B.1C.2D.3

6.已知,,abR下列四个条件中,使得ab成立的必要而不充分条件是（）

A.1abB.1abD.22ab

7.已知四个条件：0,0,0abbaba能推出

11

ab

成立的有个.

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8.若13,42,,则

的取值范围是.

9.已知下列三个不等式：①0ab；②

cd

ab

；③bcbd,以其中两个作为条件,余

下一个作为结论,则可能成个正确命题.

10.已知12ab且24ab,求23ab的取值范围.

11.设2(),fxaxbx且1(1)2,2(1)4,ff求(2)f的取值范围.

12.若实数,,abc满足22b+5811,6+9caabcaa,试比较,,abc的大小.