小学数学备课大师
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2023年2月14日发(作者：儿童团团歌)数学备课大师【全免费】
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一、选择题
1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A
在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔
B的()
A．北偏东10°B．北偏西10°
C．南偏东80°D．南偏西80°
答案D
解析由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所
以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
故选D.
2．(2017·武汉模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，
从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝()
A．103nmileB.
106
3
nmile
C．52nmileD．56nmile
答案D
解析由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，
由正弦定理得
10
sin45°
＝
BC
sin60°
，所以BC＝56.故选D.
3．(2018·宜宾模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速
度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一
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座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯
塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()
A．102海里B．103海里
C．203海里D．202海里
答案A
解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝
30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理，得
BC
sin30°
＝
AB
sin45°
，
解得BC＝102(海里)．故选A.
4．(2017·黄梅期中)如图，一栋建筑物AB的高为(30－103)m，
在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的地面上点
M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，
在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为()
A．30mB．60mC．303mD．403m
答案B
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解析设AE⊥CD，垂足为E，则
在△AMC中，AM＝
AB
sin15°
＝206，∠AMC＝105°，∠ACM＝30°，
∴
AC
sin105°
＝
206
sin30°
，
∴AC＝60＋203，
∴CE＝30＋103，
∴CD＝30－103＋30＋103＝60，故选B.
5．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从
码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2
km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船
在静水中的速度为()
A．8km/hB．62km/h
C．234km/hD．10km/h
答案B
解析设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v
km/h，由题意知，sinθ＝
0.6
1
＝
3
5
，从而cosθ＝
4
5
，∵客船从码头A到B
所用的最短时间为6min，
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∴客船实际航行速度为1÷
1
10
＝10km/h.
在△ABE中，由余弦定理设：
AE2＝AB2＋EB2－2AB·EB·cosθ，
即v2＝102＋22－2×10×2×
4
5
＝72，
解得v＝62(km/h)．故选B.
6．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱
喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰
角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水
柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()
A．50mB．100mC．120mD．150m
答案A
解析设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝
60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋
1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，
即h＝50，故水柱的高度是50m．故选A.
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7．(2017·临沂质检)在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔
底俯角分别为30°、60°，则塔高为()
A.
400
3
mB.
4003
3
m
C.
2003
3
mD.
200
3
m
答案A
解析如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，
∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又AB＝200，∴
AC＝
400
3
3.
在△ACD中，由正弦定理，得
AC
sin120°
＝
DC
sin30°
，即DC＝
AC·sin30°
sin120°
＝
400
3
(m)．故选A.
8.(2017·广州调研)如图所示长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，
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木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C
处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于()
A.
231
5
B.
5
16
C.
231
16
D.
11
5
答案A
解析由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC
＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，
可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，
解得cosα＝
5
16
，所以sinα＝
231
16
，
所以tanα＝
sinα
cosα
＝
231
5
.故选A.
9．(2018·长春模拟)某观察站B在A城的南偏西20°的方向，由A
出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B处测得此公路上距B处
30km的C处有一人正沿此公路骑摩托车以40km/h的速度向A城驶
去，行驶了15min后到达D处，此时测得B与D之间的距离为810
km，则此人到达A城还需要()
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A．40minB．42minC．48minD．60min
答案C
解析由题意可知，CD＝40×
15
60
＝10，∠BAD＝45°，
cos∠BDC＝
102＋8102－302
2×10×810
＝－
10
10
，
∴cos∠ADB＝cos(π－∠BDC)＝
10
10
，
∴sin∠ABD＝sin[π－(∠ADB＋∠BAD)]＝
25
5
.
在△ABD中，由正弦定理得
AD
sin∠ABD
＝
BD
sin∠BAD
，
∴
AD
25
5
＝
810
2
2
，∴AD＝32，
∴所需时间t＝
32
40
＝0.8h，
∴此人还需要0.8h即48min到达A城．故选C.
10．(2014·浙江高考)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面
前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点
P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由
点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成
角)．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是()
A.
30
5
B.
30
10
C.
43
9
D.
53
9
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答案D
解析由题意，在Rt△ABC中，
sin∠ACB＝
AB
AC
＝
15
25
＝
3
5
，
则cos∠ACB＝
4
5
.作PH⊥BC，垂足为H，连接AH，如下图所示．
设PH＝x，则CH＝3x，
在△ACH中，由余弦定理，得
AH＝AC2＋CH2－2AC·CH·cos∠ACB
＝625＋3x2－403x，
tan∠PAH＝
PH
AH
＝
1
625
x2－
403
x
＋3
1
x
>0
，
故当
1
x
＝
43
125
时，tanθ取得最大值，最大值为
53
9
.
故选D.
二、填空题
11．某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶，
在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点
B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔
的距离是________km.
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答案32
解析如题图，由题意知AB＝24×
15
60
＝6，在△ABS中，∠BAS
＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，
∴∠ASB＝45°，由正弦定理知
BS
sin30°
＝
AB
sin45°
，
∴BS＝
AB·sin30°
sin45°
＝32.
12．(2017·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好
处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后
一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距
离为106m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国
歌时长为50s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗．
答案0.6
解析依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝
105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.
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由正弦定理可知
CE
sin∠EAC
＝
AC
sin∠CEA
，
∴AC＝
CE
sin∠EAC
·sin∠CEA＝203m.
∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝203×
3
2
＝30m．∵国
歌时长为50s，
∴升旗速度为
30
50
＝0.6m/s.
13．(2018·浙江适应性考试)如图所示，为了解某海域海底构造，
在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50m，
BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，
于C处测得水深CF＝110m，∠DEF的余弦值为________．
答案
16
65
解析作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298，
DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，
EF＝BE－FC2＋BC2＝902＋1202＝150.
在△DEF中，由余弦定理，得
cos∠DEF＝
DE2＋EF2－DF2
2DE×EF
＝
1302＋1502－102×298
2×130×150
＝
16
65
.
14．(2017·尖山区期中)设甲、乙两楼相距10m，从乙楼底望甲
楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的仰角为30°，则甲、乙两楼
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的高分别是________．
答案103m，
40
3
3m
解析设甲，乙两楼为AB，CD，由题意可知BC＝10，∠ACB
＝60°，∠DAE＝30°，
∵tan∠ACB＝
AB
BC
＝3，
∴AB＝103，
由AE＝BC＝10，
tan∠DAE＝
DE
AE
＝
3
3
，
∴DE＝
103
3
，
∴CD＝CE＋DE＝AB＋DE＝
403
3
.
三、解答题
15．(2018·哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，
为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排
了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)．当返回舱在距地面
1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测
得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于
其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正
东方向．
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(1)求B，C两救援中心间的距离；
(2)求D救援中心与着陆点A间的距离．
解(1)由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，则△PAC，△PAB均为直角
三角形．
在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，解得AC＝
3
3
，在Rt△PAB
中，PA＝1，∠PBA＝30°，解得AB＝3，又∠CAB＝90°，BC＝
AC2＋AB2＝
30
3
万米．
(2)sin∠ACD＝sin∠ACB＝
3
10
，
cos∠ACD＝－
1
10
，又∠CAD＝30°，
所以sin∠ADC＝sin(30°＋∠ACD)＝
33－1
210
，
在△ADC中，由正弦定理，
AC
sin∠ADC
＝
AD
sin∠ACD
，
得AD＝
AC·sin∠ACD
sin∠ADC
＝
9＋3
13
万米．
16．(2018·南昌模拟)某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建
部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计
的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5
米，AC＝8米，∠C＝∠D.
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(1)求AB的长度；
(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，
小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多
少？(3＝1.732，2＝1.414)
解(1)在△ABC中，由余弦定理，得
cosC＝
AC2＋BC2－AB2
2AC·BC
＝
82＋52－AB2
2×8×5
.
在△ABD中，由余弦定理，得
cosD＝
AD2＋BD2－AB2
2AD·BD
＝
72＋72－AB2
2×7×7
.
由∠C＝∠D，得cosC＝cosD.
∴AB＝7，∴AB长为7米．
(2)小李的设计建造费用较低，理由如下：
S△ABD
＝
1
2
AD·BD·sinD，
S△ABC
＝
1
2
AC·BC·sinC.
∵AD·BD>AC·BC，∴S△ABD
>S△ABC
.
故选择△ABC建造环境标志费用较低．
∵AD＝BD＝AB＝7，∴△ABD是等边三角形，∠D＝60°，∴S△
ABC
＝
1
2
AC·BCsinC＝103＝10×1.732＝17.32.
∴总造价为5000×17.32＝86600(元)．
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