2023年12月24日发(作者：)
初一数学比赛系列讲座抽屉原理
初一数学比赛系列讲座 (14)
抽屉原理
一、知识重点
1、 抽屉原理
1
把 n+1 个东西，任意地分放到
2、 抽屉原理
2
n 个抽屉里，那么必有一个抽屉里有
2 个东西。
把 m
个 东 西 ， 任 意 地 分 放 到
n
必 有
一
个 抽 屉 里 至 少 有
k
个
东 西 。 其 中
个 抽 屉 里 ， 那 么
)，m
k
m
(当 m是 n的倍数时
)或 k
m
1(当 m不是 n的倍数时
表示
m
n
n
n
n
的整数部分。
3、 上述二个原理统称为抽屉原理。抽屉原理固然简单、浅易，倒是解决好多存在性问题的有力工具。利用抽屉原理解题的一般步骤是：
(1) 结构抽屉，指出东西；
(2) 将东西放入抽屉，或从抽屉里拿出；
(3) 说明原因，得出结论。
二、例题精讲
例 1 用 2 种颜色涂 3 行 9 列共 27 个小方格，证明：无论如何涂色，此中必起码有两列，它们的涂色方式相同
剖析：把用两种颜色涂１ ×３的小方格的方法看作抽屉。
解：用两种颜色涂１ ×３的小方格共有８种方法．现有９列，由抽屉原理，必有两列涂法相同．
评注：用抽屉原理解题的重点在于结构抽屉，此外还要搞清什么是抽屉？什么是东西？
例 2 已知一个圆。 经过圆心任意作
剖析：直径两头的数都在
993 条直径， 它们与圆共有 1986 个交点， 在每个交点处罚别填写从
它们两头的数的和相等。
2 到 992 之间，
.
1 到 496
)
中的一个整数 (可重复填写 )。证明： 必定能够找到两条直径，
(第二届迎春杯决赛试题
1 到 496 之间，所以它们两头的数的和在
则可结构 991 只抽屉，而东西有
993 个，因此获得证明。
1 到 496 之间，所以直径两头的数的和≥
证明：直径两头的数都在
所以，这类和只有
991 种。
2，且≤ 992
而直径有 993 条， 993>991，所以必定能够找到两条直径，它们两头的数的和相等。
993 条直径”改为“ 992 条直径”结论仍旧建立。
评注：由解题过程知此题将“
假如将结论改为“能够找到两条直径，它们两头的数的和相等”
径”就要改为“经过圆心任意作
例 3 夏令营组织 1987
1983 条直径”。
，那么条件“经过圆心任意作
993 条直
名营员去旅行故宫、景山公园、北海公园，规定每人最少去一处，最多去两处旅行，至
罕有几个人旅行的地方完整相同？试证明你的结论。
解：去一处的可能有 3
种 (故宫、景山公园、北海公园
故宫、景山公园与北海公园
(第二届迎春杯决赛试题
)
剖析：将旅行方案看作抽屉，将人看作东西，由抽屉原理可得结论。
)，去两处的可能也有
3 种 (故宫与景山公园、北海公园与
6 种。
)，因为每人最少去一处，最多去两处旅行，所以旅行方案共有
所以， 1987 个人中起码有
1987
6
332
个人旅行的地方完整相同。
作为抽屉。
例 4 在 1， 4，7， ， 100 中任选 20 个不一样的数。证明此中起码有
届普特南数学比赛试题
剖析：考虑和为
104 的数对。假如两个数取自同一个数对，则它们的和必是
4 个数
初一数学比赛系列讲座抽屉原理
a、 b、 c、 d，使 a+b=c+d=104.( 第 39
104，所以应该将和为
104 的数对
初一数学比赛系列讲座抽屉原理
解：将 1， 4， 7， ， 100 这 34 个数，去掉
1 与 52，分红 16 个数对：
{4 ， 100} ， {7 ， 97} ， ， {49 ， 55} ，明显每个数对中两数的和为
104
所取的 20 个数中， 起码有 18
个取自这
16 个数对， 则依据抽屉原理， 此中必有两个数 a、b 在同一数对中，
它们的和 a+b=104。
剩下的 16 个数，取自其他的
的和 c+d=104 。
评注：此题两次使用了抽屉原理。
15 个数对，相同依据抽屉原理，此中必有两个数
c、d 在同一数对中，它们
所以此中起码有 4 个数 a、 b、 c、d，使 a+b=c+d=104.
例 5 910 瓶红、蓝墨水，排成 130 行，每行 7 瓶，证明：无论如何摆列，红蓝墨水瓶的颜色序次必然出现下
述两种状况之一种：
（ 1）起码有三行完整相同；
（ 2）起码有两组（四行）每组的两行完整相同
. （北京 1990 年高一比赛）
解： 910 瓶红、蓝墨水排成 130 行，每行 7 瓶，对一行来说，每个地点上有红蓝两种可能，所以，一行的红、
27=128 种，对每一种不一样排法设为一蓝墨水排法有
种
“行式 ”，共有
128 种行式 .
现有 130 行，在此中任取 129 行，依抽屉原则知，必有两行
A、B 行式相同 .
除 A 、 B 外余下 128 行，如有一行
P 与 A 行式相同，知知足（
行中设直一行
5A 行或相同，那么这
这样便找到了（
1）起码有三行 A 、 B、P 完整相同，若在这 128
C、 D 拥有相同行式，
128 行至多有
127 种行式，依抽屉原则，必有两行
A 、 B），（C、 D）两组（四行） ，且两组两行完整相同 .
例 6 从自然数 1，2，3， 99，100 这 100 个数中任意拿出 51 个数来，求证：此中必定有两个数，它们中的一个是
另一个的倍数 .
剖析：想法制造抽屉，使它们切合以下条件：
（ 1）不超出 50 个；（ 2）每个抽屉的里的数（除仅有的一个外）
，
此中一个数是另一个数的倍数。一个自然的想法是从数的质因数表示形式下手。
解：设第一个抽屉里放进数：
第二个抽屉时放进数：
第三个抽屉里放进数：
1， 1×2， 1×22， 1×23， 1×24， 1×25， 1×26；
3，3×2， 3×22， 3×23， 3×24， 3×25；
5，5×2， 5×22， 5×23， 5×24；
49， 49×2；
51.
99.
.
第二十五个抽屉里放进数：
第二十六个抽屉里放进数：
第五十个抽屉里放进数：
那么任意拿出
51 个数中，必有两个数同属一个抽屉，此中一个数是另一个数的倍数
评注：此题结构的抽屉比较新奇，它一定切合剖析中的两个条件。这类结构抽屉的方法值得我们领会。
例 7 在边长分别为 2 和 4 的矩形中任取 9 个点 (任三点不共线 )，证明起码存在三点，以它们为极点的三角形的面积
不大于 1。
剖析：矩形中任一三角形的面积不超出该矩形面积的一半，而已知矩形面积为
的小矩形，则小矩形的面积为
矩形，证明此中起码有一份含有
证明：将已知矩形分为
这个小矩形的面积等于
8，故若将该矩形分为 4 个等积
2，其内的任一三角形的面积不超出
9 个点中的
3 个点即可。
1，因此只须将已知矩形分为
4 个等积的小
4
个全等的小矩形，则由抽屉原理，任取
19 个点中起码有
3 个点在一个小矩形中。因为
1，问题
(2 4) 2
，故以这
3 个点为极点的三角形面积不超出该小矩形面积的一半
得证。
4
例 8 有一位国际象棋大师，用
证明：设前
11 周时间准备一次锦标赛。在准备时期，他决定每日起码参加一次比赛，但每
21 次比赛。
a
i， 11 周共有 77 天，故 1≤i ≤ 77。
12 次，故有
周累计比赛不超出 12 次。证明：存在连续若干天，这位大师恰巧共进行了
天这位大师累计比赛的次数为
因为每日起码参加一次比赛，但每周累计比赛不超出
初一数学比赛系列讲座抽屉原理
1≤ a 1 2 77 ≤ 11 12=132 ， 2 77 于是， 22≤ a +21 1 +21≤ 132+21=153 则在 1 到 153 之间共有 154 个整数： a1， a2 ， ， a77， a1+21 ， a2+21， ， a77+21 由抽屉原理，此中起码有两个数相等。因为 不行能相等，所以只可能是某个 第 j+2 天， ，第 i 天累计比赛 三、稳固练习 选择题 A 、12 a1， a2， ， a77 不行能相等， a1+21， a2+21 ， ， a77+21 也 j+1 天， a i 与某个 a j +21(j 相等，即 a i- a j=21 。这说明这位大师第 21 次。 1、一副扑克有 4 栽花色， 每栽花色有 13 张，从中任意抽牌， 最少要抽 ( B、 13 )张才能保证有 4 张牌是同一花色。 C、 14 D、 15 2、有 22 只装钢笔的文具盒，假如无论如何装都起码有 具盒最多可装 ( )支钢笔。 A 、4 4 只文具盒里的钢笔数相同 i (不装算 0 个 )，那么每个文
