高中物理竞赛讲座:万有引力定律

2023年12月12日发(作者：)

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高中物理竞赛讲座：万有引力定律

一、开普勒三定律

二、万有引力定律

假设月亮绕地球运动轨迹是一个圆轨道，试利用开普勒定律导出牛顿万有引力定律。

分析与解：由于地球质量远大于月亮质量，暂且认为地球不动，月亮绕地球作圆周运动，由开普勒第二定律，月亮必作匀速圆周运动。向心加速度

V2a

r其中V是月亮的速率，r是圆轨道半径。根据开普勒第三定律，月亮运动周期T满足

Tr32

Tr3/2

又注意到：V所以：V2πr

Trr321r12

Vrr3/21r1/2

代入向心加速度公式可得：a或Fm月a11a

r2r2m月mFma

r2r2m月为月亮的质量，取比例系数为k，写成等式

Fm月kF地月

r2显然，k应取决于地球的性质，F地月指地球对月亮的引力.根据万有引力的普适性，月亮对地球的引力应当有如下形式

F月地m地k

2r其中k取决于月亮的性质，再根据牛顿第三定律，F地月与F月地大小相等，即

km地

km月因此有：kGm地，kGm月

两式统一写成FGm地m月

r2利用牛顿提出的引力的普适性，任何两个分别具有质量m1、m2，相距r的质点之间的引力，总是沿着两质点连线方向，其大小为FGm1m2

r2式中G是所有质点都具有相同数值的普适常数（万有引力常数），这就是牛顿万有引力定律。

三、引力势能

若规定的质点A、B相距无穷远时系统的引力势能为零，那么当A、B相距r时系统的引力势能为：EP—四、宇宙速度

Gm1m2

rMmmV2VmaxgR7.9km/s 第一宇宙速度：G2rr第二宇宙速度：1Mm2GMmV22G0V22gR11.2km/s

2RR第三宇宙速度：

地球绕太阳公转速度为Ve：

MsmeVe2GMsGmV29.7km/s

eeR02R0R0为使地球轨迹上的物体脱离太阳引力，必须有的最小速度为：

VS22GMs42.1km/s

R0若顺着地球公转方向发射所需的最小速度为VVs2V012.4km/s

为使地面发射的物体脱离太阳必须满足

111mV32mV22mV2

222V3V22V216.7km/s

五、恒星的演化黑洞

大爆炸10万年后→温度下降到310K→表现由中性原子构成的宇宙尘埃→万有引力使尘埃聚集形成气体形状的星云团→星云团进一步聚集引力势能变成内能，温度升高→达到一定温度开始发光→恒星诞生。

恒星进一步收缩→当温度达到10K时氢核聚变→聚变能量以电磁波的形式向外辐射→当电磁辐射及热粒运动向外的压力与引力平衡时星体稳定下来→主星序阶段（停留时间最长，太阳正处于这一阶段中期）→当核心大部分氢聚集变为氦核后→辐射减弱→星核再次收缩，温度更高，氦聚变为碳核→类似这一过程周而复始进行出现氧、硅直至铁→当各种热核反应都不发生时恒星进一步收缩→当密度增大到一定值时，电子简并→恒星的最终归宿是什么与恒星的质量有关。

73当M1.4Ms，则简并电子气的压力可以平衡引力，收缩停止，恒星演变为白矮星

当M1.4Ms时，则简并电子气的压力无法平衡引力，至中子被压入原子核内，与质子结合成中子，使核心中子化，随即恒星发生猛烈爆炸→超新星爆炸），爆炸后的中心化核心称为中子星，中子星依靠简并中子气的压力来平衡引力，其质量上限为23Ms。

若质量更大，则没有任何力量能够平衡其引力，它将进一步塌缩到引力半径以下，此时任何粒子（包括光子）均不能脱离其引力束缚，人们称之为黑洞。

引力半径V22GMc

Rr2GM称为史瓦西半径

2c则在这个天体上任何物体都不能逃避其引力束缚

地球的引力半径0.9cm以内

太阳的引力半径：3km以内

假设密度为的物质均匀分布在半径为r的球体内，其引力半径为rs，

则rs2G43πr

s2c3此式表示所说环境中的光不可能发射到超出rs的范围

对宇宙：1029g/cm3rs1028cm

这就是说我们不可能把光发射到10cm以外的空间，这个R被称为宇宙半径

六、研究行星运动的基本方程

281rV0恒量或LmrVmr2

21Mm2E 机械能守恒：mVG

2r其中L、E由初始条件决定

Mm由牛顿第二定律：G2ma

r其中：E0为抛物线

E0为椭圆

E0为双曲线

角动量守恒：例1：利用行星运动的基本方程研究开普勒第一定律

①

②

③ y

C

P

b

A

S

F1

O

F2

B

x

c

如图：在A、B两点利用上式①、②

a

1MmLmrV，mV2GE

2r1LMm联立上两方程可得：mGE，

2mrrGMmL2rr0

E2mE22A、B两点的矢径长度为方程的两个根，即有

rAac，rBac

由韦达定理得：

rArB2a22GMm

E2L2rArBacb

2mE由以上两式可得出重要结论EGMm

2a此式表明行星运动的机械能与椭圆轨道的半长轴有关，与半短轴无关

椭圆方程：x2GMm2E2y2L2mE221

将机械能EGMm代入②式可得

2a1MmGMmmV2G

2r2a11V2GM

r2aVAGMac

aacGMac

aacGM 且Vc2VAVB

aVBVcGMmV2在轨道上任一点P处由牛顿第二定律可得：

cosm2rr2V2b2b2a2易得A.B.C三点的曲率半径分别为A，B，C

GMcosaab例2：太空站的质量为M，与它对接在一起的人造卫星的质量为m，它们沿圆轨道绕地球运动，轨道半径为R的n倍，地球质量为Me，在某一瞬间，人造卫星与太空站脱离，卫星发动机立即点火，经短暂喷射后卫星获得较大的速度，沿其原来运动方向进入椭圆轨道。如果当人造卫星绕地球一周时，刚好能在原处与已绕行N周的太空站对接，那么，卫星点火后获得的速度应为多大？

Vb

Va

解：a表示近地点到地心时距离，Va表示卫星在近地点时的速度，以b表示远地点到地心的距离，它表示卫星在远地点时的速度。

11aVabVb

22GMem1GMem12mVb2由机械能守恒定律有：mVa

2a2b由开普勒第二定律得：可解得：Va2GMeb

aababT22由开普勒第三定律得：

2a3TN23将题述anR代入可解得b2N1nR

3所以：Va2NGM23enR

例3：在宇宙空间某惯性系中有两个质点A、B，它们的质量分别为m、M。开始时，A、B相距为L0，A的速度为零。B沿AB直线背离A的方向的初速度为V0，另外施加一个沿V0方向的变力F使B做匀速运动，求：

（1）A、B间距离的最大值为多少？

（2）从开始到A、B间距离最大的过程中，变力F所做的功是多少？

解：以B为参考系，则此参考系也是惯性系，在此参考系中，开始时A具有速度V0离开B，达到A离B最远时（设此时A、B相距L），A相对于B的速度为零，由能量关系应有

1GMmMm

mV02G2L0L

L2GML0

22GML0V02GM/L0时才有解，若需要说明的是，由上式可见本题只有在V0V02GM/L0，则A、B间距离将一直增加而不会有最大值。

（2）回到题中惯性系，由功能关系得：

1Mm1GMm122WMV02mV02GMVmV0

02L2L02例4：两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间差半个周期，已知轨道近地点离地心的距离是地球半径的2倍，卫星通过近地点时的速度V3GM/4R2，式中M为地球质量，G为万有引力常量。卫星上装有同样的角度测量仪，可以测出卫星与任意两点的两条连线间的夹角。试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离（最后要求用测得的量和地球半径R表示结果）

1

解：如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于此椭圆的一个焦点上，设待测卫星于C处，依题意当一卫星位于A时，另一卫星位于B，只要此刻两卫星分别测出图中1、2，就可以测出此时卫星c与地心的距离

OC。

令rAOA，rBOB，VA、VB分别表示卫星在A、B点的速度，m表示卫星的质量，由两个守恒方程可得：

mrAVAmrBVB

1Mm1Mm

mVA2GmVB2—G2rA2rB其中rA2R且VA3GM

4R可解得rB6R，AB8R

在ABC中由正弦定理可得BCsin1AB

sin1216sin2124sin1cos2在BOC中，用余弦定理可得OC2R9

sin212sin12例5：新发现一行星，其半径为6400km，且由普通水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋的深度为10km，宇航员对行星进行探测时发现，当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变，试求此行星表面处的自由落体加速度。

解：以R表示此星球（包括水层）的半径，M表示其质量，h表示其表面海洋的深度，

R0表示除海洋表层外星球的半径，则有R0hR。以表示水的密度，则海水总质量为：4344223

mπR3πR0π3Rh3Rhh333由于Rh，略去上式中h的高次项

m4πR2h

GMmGMg故海洋底面和星球表面的重力加速度可表示为g0，

2R2R0依题有g0g得MMm

2R2R0Rm

2hGMGM2πGR2.7m/s2 所以星球表面的重力加速度为g2R2Rh考虑到R0Rh，整理可得：M例6：一物体自地面以第一宇宙速度竖直上抛，达最高点以返回地面上的抛出点，求此物体运动的时间。已知地球半径RE6400km，设此过程中地球静止不动。

b

a

R

解：设此物上升的最高点离地面距离为h，由机械能守恒及第一宇宙速度表达式得：

Mm1MmmV12GGE

2REREh解得hRE

V12GME

RE物体运动的路径可以看成是在地球引力作用下的一个退化了的椭圆的一部分，地球中心焦点、半长轴等于RE。

这个运动路径是退化了的椭圆轨道，可以这样理解：若物体在最高点处有一个小的横向速度（垂直于此物与地心的连线），物体将作一个非常扁的椭圆轨道运动。当此横向速度趋于零，即得到本题的路径，容易看出在极限条件下，这个扁椭圆半长轴等于RE。因此，其极限周期与在地球引力场中作半径为RE的圆周运动周期相等，即

T02πRER2πE

V1g如图，利用开普勒第二定律，可以直接写出极限情况下（aR，b0）矢径扫过阴影部分面积所要时间：

1πababRE2tT0π24.12103s

πabg例7：从北极发射一导弹，落在赤道上（经历纬度90），求能量最省的发射速度。已知G6.671011m3kgs2，RE6.4106mME6.01024kg忽略空气阻力 M

A

O

F1

F2

B

N

解：导弹的运动轨迹为椭圆的一部分，地心O为焦点，由对称性可知其运动轨迹如图:

为使机械能EGMEm最小，a应取最少值

2a由椭圆性质知：AF1AF22a

其中AF2MN

1R，当AF2取最小值时，a才是最小，满足AF2aRE12RE，a22RE

42利用a点的机械能的表达式：

MmMm1mVA2GEGE

2RE2aVA2GME2RE21

GM2RE故最省的发射速度为Vmin217.2103m/s

方向呢？

例8：一卫星在半径为r的圆形轨道上运动，运动圆周为T，如果给卫星一个附加的径向速度ur或一个附加切向速度u，卫星都将沿一个椭圆轨道运动（设加速后卫星机械能仍满足E0）

（1）确定在这两件情况中卫星的运动周期；

（2）径向速度ur及切向速度u满足什么关系才能使卫星周期相等？

解：设开始速度为V0，有V0GM2πr

rT022附加ur、u后速度分别为V1V0ur，V2V0u （1）利用椭圆轨道上速度表达式：V21GM

ra21V12V02ur2GM

ra1u22VuV02r22ra1V0urr1r2

r22rGMGMVVu0r0202r1114π23V022r2周期T1满足：T1

2GMV0ur32V0u2V0u2V02同理：a2

r2r222GMV02V0V0urV024π32

T2r22GM2V016u2222（2）为使T1T2，应满足16ur2V0V0u

2113代入V0GMGM2得ur2uu2

rr例9：质量为M的宇航站对接上质量为m的飞船沿圆形轨道围地球运动，其轨道半径是地球半径R的n倍n1.25。某一瞬间，飞船从宇航站沿运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地心的距离为8nR，质量比mM为何值时，飞船绕地球一周后正好与宇航站相遇？

解：设宇航站与飞船分离前的共同速度为u，分别后的速度分别为u1，V2，质量分别为M、m

MmMEMmu2分离前：G

2nRnRuGME

nRmuV1

MV2u分离过程中的动量守恒得：MmuMV1mV2

M的远地点为nR，分别后，M、其中m近地点nR，远地点8nR；m分别做椭圆运动，近地点rx未知 TnR8nRm、M的周期分别为T1，T2，则1

T2nRrx2T19nRk应为正整数，设为，则：k3

T2nRrx32rxk31 利用分比定理得：nRrx9分离后，对m、M分别有：

2GMEm1GMEm1mV22mV22

2nR28nRGMEM1GMEM1

MV12MV122nR2rx其中：rV2V8，1x

r2V1nR2rxGME4GME，V1

nRrxnR3nR可解得：V2由此可得 ：m2329k3

Mk3R1另由题知：RrxnR，即nRR99.5k11.2，k取10,、11

mm0.048或0.153

MM2nR

nRnR例10：设想宇宙中有一质量分别为m1，m2，…，mN的星体1，2，…，N组成的弧立星团，各星体的空间位置间的距离均为a，系统总质量为M。由于万有引力的作用，N个星体将同时由静止开始运动。试问经多长时间各星体将相遇？

1

r1

O

r2

rN

N

2

解：如图，设该系统的质心为0，由0点至各星体的位置矢量分别为r1，r2，…，rN考虑到星体1，其受到其它各星体的万有引力分别为：

Gm1m3Gm1mNGm1m2F21r2r1，F31r3r1，FN1rNr1

a3a3a3Gm1合力为：F13m2r2m3r3LmNrNm2m3LmNr1

aGm3mrmrmrLmrmmmLmr123112233NNN1

a由于O为质量中心：故F1mr0

iiGMm1r1

a3Gk3Mm1令r1ka，待F1

2r1等效为质量为kM的质点位于O处对它的引力

等效为3r1的圆周运动的周期：

229k3Mm1ka22πkam1

T22TπaaTπaa，t

2GM222GM【练习题】

1、某行星质量为M，半径为R。如图所示，若在距该行星10R处有一物体正沿着它与行星中心连线夹角为30的方向向行星靠拢，问此物体速度至少多大才能避免与行星发生碰撞？

α

m

10 R

R

2、从地球上正对月球发射一火箭，火箭恰好获得能到达月球的能量。问以后在何处火箭的速度最小，并计算出火箭击中月球表面时的速度，月球的运动可以忽略。已知：Me6.01024kg，Re6.4106m，Mm7.31022kg，Rm1.7106m，地月距离S3.8108m，G6.671011Nm2/kg2

3、如图所示，从地球表面与竖直方向成角的方向，发射一质量为M的导弹，初速度为V0GM/R，M为地球的质量，R为地球半径，忽略空气阻力和地球自转影响，求导弹上升的最大高度。

α

R

V0

4、要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为r2的预定轨道上绕地球做匀速圆周运动，为此先将卫星发射到半径为r1的近地暂行轨道上绕地球做匀速圆周运动，如图所示，在A点实际上使卫星速度增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上，当卫星到达转移轨道B时再次改变卫星速度，使它进入预定轨道运行。试求卫星从A点到B点所需的时间，设万有引力恒量为G，地球质量为M。

V2

A

V1

r1

r2

B

5、质量m12t的宇宙飞船在月球上空h100km处围绕月球的圆轨道上运动。为了降落在月球表面，喷气发动机在C点处作短时间发动，从喷口喷出相对于飞船的速度u1.0104m/s的高温气体。月球表面上重力加速度g1.7m/s2，月球半径R1.7106m，飞船可用如下图的两种不同方式到达月球：第一种方式向飞船的前方喷气，第二种方式向轨道的外侧喷气，试计算在两种情况下所需的燃料。

B

A

O

C

C

O

6、可以近似认为地球在一个半径为R的圆轨道上绕日公转，取日心参考系为惯性系。地球公围周期即一年为T365.2564日，地球自转周期为t。地球上的人连续两次看见太阳在天空中同一位置的时间间隔tE为一个太阳日，简称一日，即24小时。假设有某种作用把地球绕太阳公转的圆轨道半径改为R，但未改变地球的自转周期。设经过这样的改变后，地球公转一个周期即新的一年刚好是360新日，试问：

（1）这新的一日的时间是多少小时（按改变前的小时计）？

（2）这新的一年应该是多少小时，才能使得新的一年刚好是360新日？

（3）改变前后，系统的能量差是地球现在公转动能的百分之几？ 三、（20分）木星是太阳系内质量最大的行星（其质量约为地球的318倍）。假设地球与木星均沿圆轨道绕太阳转动，两条轨道在同一平面内，将太阳、地球和木星都视为质点，忽略太阳系内其它星体的引力；且地球和木星之间的引力在有太阳时可忽略。已知太阳和木星质量分别为ms和mj，引力常量为G。地球和木星绕太阳运行的轨道半径分别是re和rj。假设在某个时刻，地球与太阳的连线和木星与太阳的连线之间的夹角为。这时若太阳质量突然变为零，求：

（1）此时地球相对木星的速度大小vej和地球不被木星引力俘获所需要的最小速率v0。

（2）试讨论此后地球是否会围绕木星转动。可利用（1）中结果和数据ms2.01030kg、mj1.91027kg、木星公转周期Tj12y

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