弗洛凯定理海伦公式为什么不教

发布时间：2023-06-17 作者：admin 来源：文学

弗洛凯定理海伦公式为什么不教

轧钢工-百日行动

2023年3月4日发(作者：海淀外国语幼儿园)

海伦公式

本⽂为“第三届数学⽂化征⽂⽐赛

海伦公式

作者:陆前进

作品编号：028

⼀、你从哪⾥来

早期的算术和⼏何在古代⼈们的⽣活中起了不⼩的作⽤，他们从实际⽣活中产⽣了计数以及度

量⽅⾯的基本运算，在⼟地测量和简易⼯程⽅⾯获得了⼀定的⼏何知识。但他们的成就都是经

验知识的结果，那时只要数学⽅⾯的知识能应付实际⽣活中的问题，⼈们就感到满⾜了。

对上古时代的⼈来说，只是由于⽣活需要的驱使，⼈们才去追求知识，为了知识本⾝⽽去追求

知识的观念，⼀直要等到希腊⼈来进⾏。希腊⼈通过对⾃然现象的细致考察和理性思考，发展

出⼀种概括、抽象、推理的能⼒，他们不仅在数学的各个部分作出了显著的、不朽的贡献，⽽

且还为它们以后的发展奠定了永久的基础。

数学的抽象和严谨，是⼀种独特的看待世界的⽅式，这种⽅式来⾃于希腊古典时期，这个时期

指的是⼤约从公元前600年持续到公元300年的这⼀段时间，涌现出像泰勒斯（公元前625年—

前547年），毕达哥拉斯（公元前572年—前501年），欧⼏⾥得（公元前330年—前275年）和

阿基⽶德（公元前287年—212年）等璀璨的名星。希腊⼈坚持演绎推理作为数学证明中唯⼀的

⽅法是为数学作出的最重要的贡献，它使得数学从⽊匠的⼯具盒和测量学等实际背景中解放出

来。从此以后，⼈们开始靠理性⽽不是凭感觉去判断什么是正确的，正是依靠这种判断，希腊

⼈创造了我们今天所看到的这门学科，为⼈类⽂明、科技进步开辟了道路。

希腊⼈专注于⾃⼰的理念世界，在罗马强⼤的军事⼒量⾯前不堪⼀击，从公元前212年叙拉古城

陷落于罗马的马塞卢斯之⼿阿基⽶德被杀害到公元30年，罗马正式成为帝国，对西⽅世界⾏使

着史⽆前例的统治。

阿基⽶德在数学景观上投⼊了长长的影⼦，其后的古代数学家虽然都有⾃⼰的建树，但却没有

⼈能够⽐得上叙拉古城这位伟⼤的数学家。阿基⽶德之后的数学家有两位值得介绍，其中⼀位

是阿波罗尼奥斯（公元前约262—190年），其代表作《圆锥曲线》被公认为是圆锥曲线问题的

权威论述，当近⼆千年以后的开普勒作出他关于⾏星以椭圆形轨道围绕太阳运动的独创性理论

时，圆锥曲线的重要性得到了证实，椭圆绝不仅是古希腊数学家⼿中好玩的珍品，它成为地球

和地球上我们全体⼈类运⾏的轨道。《圆锥曲线》这部巨著与欧⼏⾥得的《⼏何原本》和阿基

⽶德的著作并列成为古希腊数学的⾥程碑。

另⼀位就是阿波罗尼奥斯之后亚历⼭⼤的海伦（约公元前1世纪—公元1世纪之间）我们对他的

⽣平知之甚少，现代⼈⼀般认为其活动时期为公元75年前后。海伦⽆疑受古希腊理性思想的影

响在数学上有很深的造诣。随着希腊数学的衰落，他的兴趣倾向于实践⽅⾯。他的很多著作都

涉及了实⽤科学，如机械学、⼯程学和测量学，在某种意义上也反映了希腊⼈与罗马⼈兴趣的

截然不同。海伦在其《经纬仪》⼀书中介绍了挖掘穿⼭隧道及计算泉⽔流量的⽅法，在另⼀部

著作中，他回答了⼀些⽇常的⽣活问题，如“为什么⽤膝盖在⼀根⽊棍的中间⽤⼒顶，⽊棍会容

易折断？”或者“为什么⼈们⽤钳⼦⽽不⽤⼿拔⽛？”之类的问题。当然，海伦的代表作是《度

量》⼀书，主要讨论了各种⼏何图形的⾯积和体积的计算，其中就包括我们重点要介绍的后来

以他的名字命名的关于三⾓形⾯积的公式，出⾃《度量》⼀书中的命题Ⅰ8，海伦对这⼀命题的

证明是古典⼏何抽象推理的典范。

⼆、教我如何不想她

三⾓形⾯积的标准公式⼗分简单——，应⽤⼴泛，但是，如果⽤这个公式去求如图1中的三⾓形

⾯积还要费些周折，因为我们还不知道三⾓形的⾼。

图1

三⾓形具有稳定性，已知⼀个三⾓形的三条边，其⾯积⼀定是确定的，这也可以直接从全等三

⾓形“SSS”判定定理推导出来，例如，任何边长等于4、13、15的其他三⾓形⼀定与图1中的三

⾓形全等，因此其⾯积也完全相等。

如何确定这⼀⾯积值呢？现代的我们拥有三⾓学的知识和代数变形能⼒，可以毫⽆困难的求出

这个值。但是，最简便的⽅法仍（像两千年前⼀样）是应⽤海伦公式，其公式⽤现代符号表⽰

就是：如果k是边长等于a、b、c的三⾓形的⾯积，那么

在应⽤海伦公式时，我们只要知道三⾓形的三条边，直接计算就⾏了，⽽⽆须求出三⾓形的

⾼。

这是⼀个⾮常特殊的公式，公式中出现的半周长似乎⾮常奇怪，⽽4个数的乘积的平⽅根也令我

们⼤部分⼈厌烦，这个代数运算令⼈头痛，然⽽，作为⼀个伟⼤的定理，引起我们注意的不仅

有它的奇特，还有海伦为此所作的证明。

海伦的证明只⽤了⼀些简单的平⾯⼏何概念，也就是说，我们初中⽣就能完全弄懂，但是，海

伦向我们展⽰了他精湛的⼏何技巧，他将⼀些初等⼏何的知识组合成⼀个⾮常丰富⽽漂亮的证

明，既曲折，⼜⾮常巧妙，堪称数学中⼀个令⼈叹为观⽌的结论。

海伦的证明需要⽤到⼀些基本命题，这些命题对我们来说都不陌⽣：

命题1：三⾓形的⾓平分线交于⼀点，这个交点是三⾓形内切圆的圆⼼，简称内⼼。

命题2：从直⾓三⾓形的顶点作斜边的垂线，则垂线两边的三⾓形分别与原直⾓三⾓形相似，并

互相相似。

命题3：在直⾓三⾓形中，斜边的中点与三个⾓的顶点距离相等。

命题4：已知ABCD是⼀个四边形，连接对⾓线AC与BD，如果∠BAC=∠BDC=90°，那么A、

B、C、D四点共圆。

命题5：圆内接四边形的对⾓和等于两个直⾓。

海伦将这些命题作为“元素”，连同他那娴熟的⼏何技巧，带给我们⼀个关于三⾓形⾯积的证明。

定理：已知⼀个三⾓形，其边分别为a、b、c，记⾯积为k，那么，其中，是三⾓形的半周长。

设任意三⾓形，为了使海伦的论证清晰易懂，我们将证明分成三⼤部分。

第⼀部分：把⾯积k表⽰出来

海伦的第⼀步就出⼈意料，因为他⾸先作了⼀个三⾓形的内切圆，⽤三⾓形的内⼼作为确定其

⾯积的关键因素，⽽圆的性质与三⾓形这种直线形的⾯积没有直观的联系。

如图2，作的内切圆，我们显然有⾯积

图2

海伦在三⾓形的⾯积k与其半周长s之间建⽴了联系，这说明⽅向⾛对了，当然，后⾯还有许多

事情要做。

第⼆部分：把公式表达式中的线段表⽰出来

图3

如图3，延长BA⾄G，使AG=CE则有

因此s-c=AG

s-b=BG-AC

=（BD+AD+AG）—（AF+CF）=BD

同理s-a=AD

这样，半周长s与s-a，s-b和s-c三个量都等于图中的线段。这是富有启发性的结论，因为这些量

都是我们所求证公式的组成部分，剩下的⼯作就是要把这些“零件”组合成⼀个完整的证明。

第三部分：证明的核⼼：找出有关量的关系

如图4，作交AB于K，然后作

所以，

因故

所以

⼜

得

因⽽

结合（1）得

我们把这个等式两边+1

可得

通分合并简化为

注意到在中，且OD=r根据射影定理，因此，把这个结果代⼊（2）可得交叉相乘，我们有，两

边同时乘以BG，即

最后，海伦将⼤量“零件”组合，迅速⽽巧妙地达成他所求证的结论，只需注意到（3）式的组成

部分恰恰是第⼆步分所推导出的线段，将第⼆部分的结果代⼊，便得到

因⽽，由第⼀步，k代表三⾓形的⾯积，最后代⼊上列等式，就得到海伦公式

这可以说是初等⼏何中最巧妙的⼀个证明。在证明过程中，海伦看似随意地漫游，实际上始终

朝着预定⽬标前进，这⽆疑是我们所见到的最曲折的证明。很难想象，脑⼒的回旋竟然引导海

伦得出了这样⼀个荡⽓回肠、令⼈惊叹的证明。

三、你真美啊，请停留⼀下

发现⼀个问题是⼀回事，⽽证明是另外⼀回事。海伦是如何得到这⼀公式的？或者说这个美妙

的公式到底是不是海伦发明的？这些都已⽆法考究，但⽆论如何，我们亲眼⽬睹了海伦对这⼀

公式的美妙的证明，也算三⽣有幸了。

随着三⾓学的兴起和代数学的发展，现代的我们可以⽤多种⽅法来证明海伦公式，但海伦为我

们提供的证明⽆疑是我们所见到过的最美妙的数学内容。下⾯我们⽤另⼀种⽅式来再现海伦公

式的证明，但这⾥重要的不是我们重新求得这个公式或证明这个公式，⽽是在这个过程中充分

体验数学的美学意境。

数学是⼀门具有其特殊完美性的艺术，像画家和诗⼈的模式⼀样，数学家的思想也必须和谐⼀

致，丑陋的数学在世上永⽆存在之地。⼀个完全合格的数学证明，必须要经得起两种完全不同

类型的评判：作为理性的论证，它必须合乎逻辑、令⼈信服；同时还要优美，富于启发性，能

够给⼈以情感上的满⾜。也就是说你的证明既要符合逻辑，也要漂亮，两者缺⼀不可。

这会使我们形成⼀个经验：改进你的论证。对某⼀数学问题，也许我们已经给出了答案，但这

并不意味着它就是最佳的铨释，我们要⼒图减少其中不必要的混乱或复杂之处，⽽找到⼀种完

全不同但却能让我们更加深⼊地理解问题的⽅法。

让我们重新来看海伦公式。

如图5，设三⾓形三边分别为a、b、c，⾸先，我们从三⾓形⼀边上的顶点向底边作⼀条垂线，

于是三⾓形的⾯积k就可以表⽰为k=ch，这样⼀来，问题就变成了怎样⽤边来表⽰⾼.

⾼将底边分成两部分，设为x和y，这样原始的三⾓形就被分成了两个直⾓三⾓形，运⽤勾股定

理，我们有

这正是我国古代秦九韶《九章算术》中的“三斜求积公式”。

到这⼀步，我们成功地⽤a,b,c表达出了三⾓形的⾯积。

但注意，这样的代数表达式在美感上是令⼈⽆法接受的。

回到最初出发的地⽅，我们的问题是，在已知三条边的情况下求出⼀个三⾓形的⾯积。在平等

地对待三条边的意义上，这个问题可以说是完全对称的。三条边中，并没有哪⼀条边更“特殊”，

特别是，这个问题本⾝并没有涉及底边（我们在求解的过程中，把作为了底边），这意味着，

在代数上，⽆论最终的⾯积表达式是怎样的，符号a、b、c的地位应该是平等的，它们在⾯积表

达式中必然是对称的，也就是说，如果我们交换其中所有的a或b或c，那么表达式应该会保持不

变。

因此，对三斜求积公式，我们有必要进⼀步化简：

好了，现在看起来更像是结果了，因为我们终于看到了对称，等式也变得相当漂亮。

千万不要忽视了对称性，在很多情况下，它都是我们所拥有的最强有⼒的数学⼯具，可惜我们

的“三斜求积公式”没有到达这⼀步。

当然，①式和②式在数学内容上，其实并没有真正改变任何东西，对于⾯积怎样取决于边长，这

两个等式所表达的含义完全相同——⾯积和边长之间的实质关系，并没有因为我们做了⼀些灵

活的代数恒等式变形⽽改变，但我们应该树⽴这样的理念，数学关乎的并不仅仅是真理，⽽且

是完美的真理，只是得出三⾓形的⾯积公式并不⾜够，我们还需要⾯积公式很漂亮，现在，我

们终于如愿以偿：

这个式⼦看起来还是有些复杂，我们通过引⼊⼀个适当的中间量，可以使公式变得更加漂亮。

这个中间量就是海伦公式中的，s代表三⾓形周长的⼀半（半周长），这样，三⾓形的⾯积就可

以简单地表⽰为

沿着海伦所指引的⽅向，运⽤代数变形能⼒，我们终于到达⼀个美妙的境界，这个漂亮的公式

最初出现在海伦的著作⾥，正是由于这个原因，这个公式被称为海伦公式，特别值得注意的

是，在海伦⽣活的时代，⽤不到这么多的代数，海伦肯定不是以我们的代数变形这种⽅式推出

这个公式的，⽽海伦公式“超越”三斜求积公式，正是古希腊数学家理性思想（美学思想）的威⼒

所在。

英国数理逻辑学家、哲学家伯特兰·罗素在⾃传中回忆了他青年时遇到的危机：

“有⼀条⼩路，穿过⽥野，通向新南盖特，我经常独⾃⼀个到那⾥去观看落⽇，并想到⾃杀。

然⽽，我终于不曾⾃杀，因为我想更多地了解数学。”

罗素认识到数学中的美，他也恰如其分地描绘出了这种美：

“正确地说，数学不仅拥有真理，⽽且还拥有极度的美——⼀种冷静和朴素的美，犹如雕塑那

样，虽然没有任何诱惑我们脆弱本性的内容，没有绘画或⾳乐那样华丽的外⾐，但是，却显⽰

了极端的纯粹和只有在最伟⼤的艺术中才能表现出来的严格的完美。”

弗洛凯定理 海伦公式为什么不教