等比数列an公式 等差数列的定义公式
银联商务招聘-《伤仲永》
2023年3月4日发(作者：will的用法)……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
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第六讲：等差、等比数列的运用
1.等差数列的定义与性质
定义：
1nn
aad
（
d
为常数），
1
1
n
aand
等差中项：
xAy，，
成等差数列
2Axy
前n项和
1
1
1
22
n
n
aannn
Snad
性质：
n
a是等差数列
（1）若
mnpq
，则
mnpq
aaaa；
（2）数列
12212
,,
nnn
aaa仍为等差数列，
232nnnnn
SSSSS，，……仍为等差数列，
公差为dn2；
（3）若三个成等差数列，可设为
adaad，，
（4）若
nn
ab，是等差数列，且前n项和分别为
nn
ST，，则21
21
mm
mm
aS
bT
（5）
n
a为等差数列2
n
Sanbn（
ab，
为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）
n
S的最值可求二次函数2
n
Sanbn的最值；或者求出
n
a中的正、负分界项，
即：当
1
00ad，，解不等式组
1
0
0
n
n
a
a
可得
n
S达到最大值时的n值.
当
1
00ad，，由
1
0
0
n
n
a
a
可得
n
S达到最小值时的n值.
（6）项数为偶数
n2
的等差数列
n
a
，
有
),)(()()(
11122212
为中间两项
nnnnnnn
aaaanaanaanS
ndSS
奇偶
，
1
n
n
a
a
S
S
偶
奇.
（7）项数为奇数
12n
的等差数列
n
a
，
有
)()12(
12
为中间项
nnn
aanS
，
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n
aSS
偶奇
，
1
n
n
S
S
偶
奇.
2.等比数列的定义与性质
定义：1n
n
a
q
a
（q为常数，0q），1
1
n
n
aaq
.
等比中项：
xGy、、
成等比数列2Gxy，或Gxy
.
前n项和：1
1
(1)
1
(1)
1
n
n
naq
S
aq
q
q
（要注意！）
性质：
n
a是等比数列
（1）若mnpq，则
mnpq
aaaa··
（2）
232nnnnn
SSSSS，，……仍为等比数列,公比为nq.
注意：由
n
S求
n
a时应注意什么？
1n
时，
11
aS；
2n
时，
1nnn
aSS
.
3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列
n
a，
12
2
111
25
222n
n
aaan……
，求
n
a
解
1n
时，
1
1
215
2
a，∴
1
14a①
2n
时，
121
21
111
215
222n
n
aaan
……
②
①—②得：
1
2
2n
n
a，∴12n
n
a，∴
1
14(1)
2(2)n
n
n
a
n
［练习］数列
n
a满足
111
5
4
3nnn
SSaa
，
，求
n
a
注意到
11nnn
aSS
，代入得14n
n
S
S
；
又
1
4S，∴
n
S是等比数列，4n
n
S
2n时，1
1
34n
nnn
aSS
……·
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（2）叠乘法
如：数列
n
a中，1
1
3
1
n
n
a
n
a
an
，，求
n
a
解3
2
121
121
23
n
n
aa
a
n
aaan
·……·……，∴
1
1
n
a
an
又
1
3a，∴
3
n
a
n
.
（3）等差型递推公式
由
110
()
nn
aafnaa
，，求
n
a，用迭加法
2n
时，
21
32
1
(2)
(3)
()
nn
aaf
aaf
aafn
…………
两边相加得
1
(2)(3)()
n
aafffn……
∴
0
(2)(3)()
n
aafffn……
（4）等比型递推公式
1nn
acad
（
cd、
为常数，010ccd，，）
可转化为等比数列，设
11
1
nnnn
axcaxacacx
令(1)cxd，∴
1
d
x
c
，∴
1n
d
a
c
是首项为
11
d
ac
c
，为公比的等比数列
∴1
111
n
n
dd
aac
cc
·，∴1
111
n
n
dd
aac
cc
（5）倒数法
如：
11
2
1
2
n
n
n
a
aa
a
，，求
n
a
由已知得：
1
2
111
22
n
nnn
a
aaa
，∴
1
111
2
nn
aa
∴
1
n
a
为等差数列，
1
1
1
a
，公差为
1
2
，∴
111
111
22
n
nn
a
·，
∴
2
1n
a
n
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4/64/64/64
(附：公式法、利用1
(2)
1
(1)
nn
SSn
Sn
n
a
、累加法、累乘法.构造等差或等比
1nn
apaq
或
1
()
nn
apafn
、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)
4.求数列前n项和的常用方法
(1)裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：
n
a是公差为
d
的等差数列，求
1
1
1n
k
kk
aa
解：由
11
11111
0
kkkkkk
d
aaaaddaa
·
∴
11
1112231
nn
kk
kkkknn
aadaadaaaaaa
……
11
111
n
daa
［练习］求和：
111
1
12123123n
……
……
1
2
1nn
aS
n
…………，
（2）错位相减法
若
n
a为等差数列，
n
b为等比数列，求数列
nn
ab（差比数列）前n项和，可由
nn
SqS，
求
n
S，其中q为
n
b的公比.
如：2311234n
n
Sxxxnx……①
23412341nn
n
xSxxxxnxnx·……②
①—②2111nn
n
xSxxxnx……
1x
时，
2
1
1
1
n
n
n
x
nx
S
x
x
，
1x
时，
1
123
2n
nn
Sn
……
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
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5/65/65/65
121
121
nnn
nnn
Saaaa
Saaaa
……
……
相加
1211
2
nnnn
Saaaaaa
……
［练习］已知
2
2
()
1
x
fx
x
，则
111
(1)(2)(3)(4)
234
fffffff
由
2
22
2
222
1
11
()1
111
1
1
xx
x
fxf
xxxx
x
∴原式
11111
(1)(2)(3)(4)1113
23422
fffffff
求数列的前n项和
1.倒序相加法：如果一个数列{a
n
}，与首末项等距的两项之和等于首末两项
之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，
这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索
其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：
等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
2.公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和S
n
可直接用等差、等比数列
的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的
应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
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6/66/66/66
3.裂项相消法：是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下
有限项，从而求出数列的前n项和。
4.错位相减法：是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相
乘的形式。即若在数列{a
n
·b
n
}中，{a
n
}成等差数列，{b
n
}成等比数列，在和
式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
5.迭加法：主要应用于数列{a
n
}满足a
n+1
=a
n
+f(n)，其中f(n)是等差数列或等
比数列的条件下，可把这个式子变成a
n+1
-a
n
=f(n)，代入各项，得到一系列
式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a
n
，从而求出S
n
。
6.分组求和法：是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这
类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，
再将其合并。
7.构造法：是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，
构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项
和。)