构造函数
三国演义空城计-收购协议
2023年3月20日发(作者：丁肇中)1
导数构造函数
题型一、出现导函数，结构明显，模式固定。常用模型如下：
(1)条件：f′(x)>a(a≠0)：构造函数：h(x)＝f(x)－ax.
(2)条件：f′(x)±g′(x)>0：构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)．
(3)条件：f′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝exf(x)．
(4)条件：f′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝
fx
ex
.
(5)条件：xf′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝xf(x)．
(6)条件：xf′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝
fx
x
.
例1、已知
fx
是函数
fx
的导函数，且对任意的实数
x
都有
23xfxexfx
，
01f
，则不等式
()5xfxe
的解集为（）
A．
4,1
B．
(1,4)
C．
(,4)(1,)U
D．
(,1)(4,)U
解：令
()
()
x
fx
Gx
e
，则
()()
()23
x
fxfx
Gxx
e
，可设
2()3Gxxxc
(0)(0)1GfQ
，
1c
所以
2
()
()31
x
fx
Gxxx
e
解不等
式
()5xfxe
，即
()
5
x
fx
e
，解得
41x
，所以不等式的解集为
4,1
例2、已知函数
fx
满足
fxfx
，且当
,0x
时，
0fxxfx
成
立，若
0.60.622af
，
ln2ln2bf
，
11
88
22
loglogcf
，则a，b，
c的大小关系是()。
A．a
bc
B．
acb
C．
cba
D．c
ab
解：根据题意，令h（x）＝xf（x），h（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝﹣xf（x）
＝﹣h（x），则h（x）为奇函数；当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＝f（x）+xf'
（x）＜0，则h（x）在（﹣∞，0）上为减函数，又由函数h（x）为奇函数，则
2
h（x）在（0，+∞）上为减函数，所以a＝（20.6）•f（20.6）＝h（20.6），b＝
（ln2）•f（ln2）＝h（ln2），c＝（2
1
8
log
）•f（2
1
8
log
）＝h（2
1
8
log
）＝h（﹣3），
因为2
1
8
log＜
0＜ln2＜1＜20.6，则有
cba
；故选：C．
例3、定义在R上的奇函数
yfx
满足
30f
，当
0x
时，不等式
'fxxfx
恒成立，则函数
lg1gxxfxx
的零点个数为
()
A．1B．2C．3D．4
解：定义在R的奇函数
fx
满足：
0033fff
，
且
fxfx
，又
0x
时
'fxxfx
，即
'0fxxfx
，所以函数
hxxfx
在
0x
时是增函数，
又
hxxfxxfx
，
hxxfx
是偶函数；
0x
时，
hx
是减函数，结合函数的定义域为R，且
0330fff
，可得函数
1
yxfx
与2
lg1yx
的大致图象如图所
示，
由图象知，函数
lg1gxxfxx
的零点的个数为3个．故选C．
例4、定义在R上的函数
fx
满足
412xefxfx
，且对任意的
1x
都有
'20(fxfx
其中
'fx
为
fx
的导数
)
，则下列一定判断正确的是()
A．
420eff
B．
232eff
C．
631eff
D．
1032eff
解：设F（x）＝e2x•f（x），则F'（x）＝2e2xf（x）+e2xf'（x）＝e2x[2f（x）
+f'（x）]，∵对任意的x≥1都有f′（x）+2f（x）＞0；则F'（x）＞0，则F
（x）在[1，+∞）上单调递增；F（x+2）＝e2（x+2）•f（x+2）；F（﹣x）＝
e﹣2x•f（﹣x）；因为e4（x+1）f（x+2）＝f（﹣x），∴e2x•e2x+2•f（x+2）＝
f（﹣x）；∴e2x+2•f（x+2）＝e﹣2x•f（﹣x）∴F（x+2）＝F（﹣x），所以F（x）
关于x＝1对称，则F（﹣2）＝F（4），∵F（x）在[1，+∞）上单调递增；
∴F（3）＜F（4）即F（3）＜F（﹣2），∴e6•f（3）＜e﹣4•f（﹣2）；即e10•
f（3）＜f（﹣2）成立．故D不正确；F（3）＝F（﹣1），F（0）＝F（2）故A，
C均错误；F（3）＞F（2）∴e2f（3）＞f（2）
二、不等式证明。
3
例5、设a≥0，求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx＋1.
证明：令g(x)＝x－ln2x＋2alnx－1(x>1)，所以g′(x)＝
x－2lnx＋2a
x
.令u(x)
＝x－2lnx＋2a，所以u′(x)＝1－
2
x
＝
x－2
x
.所以u(x)≥u(2)＝2(1－ln2＋a)>0
⇒g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)递增．因为x>1，所以g(x)>g(1)＝0，所以
原不等式成立．
题型三、含参问题。
●直接构造
例5、已知函数
1
ln
1
x
fx
x
.设实数
k
使得3
3
x
fxkx
对0,1x
恒成立,
求
k
的最大值.
解：构造函数31
ln,0,1
13
xx
Pxkxx
x
,又00P
,若0Px
对
0,1x
恒成立,则00P
…
,又
4
2
22
21
2
1
11
kx
Pxkx
xx
,
即020Pk
…
,得
2k„
,又当
2k
时,3
2
3
x
fxx
对0,1x
恒成立,
因此
k
的最大值为2.
●构造双函数
例6、设函数()(21)xfxexaxa，其中
1a
，若存在唯一的整数
0
x，使得
0
()0fx，则a的取值范围是（）。
A．
3
[,1)
2e
B．
33
[,)
24e
C．
33
[,)
24e
D．
3
[,1)
2e
解：由题意可知存在唯一的整数
0
x，使得
0
00
(21)xexaxa，设()(21)xgxex，
()hxaxa
，
由()(21)xgxex
，可知
()gx
在
1
(,)
2
上单调递减，
在
1
(,)
2
上单调递增，作出
()gx
与
()hx
的大致图象如
x
y
g(x)=ex(2x-1)
h(x)=ax-a
–3–2–112
–1
1
2
3
O
4
图所示，故
(0)(0)
(1)(1)
hg
hg≤
，即
1
3
2
a
a
e
≤
，所以
3
1
2
a
e
<≤
．
●分参后构造
例7、当
[2,1]x
时，不等式32430axxx恒成立，则实数a的
值范围是（）。
A．
[5,3]
B．
9
[6,]
8
C．
[6,2]
D．
[4,3]
解：当
(0,1]x
时，得32
111
3()4()a
xxx
≥
，令
1
t
x
，则
[1,)t
，
3234attt≥，令
()gt3234ttt，
[1,)t
，则
2981(1)(91)gxtttt
，显然在
[1,)
上，0gt
，
()gt
单调递减，
所以
max
()(1)6gtg，因此
6a≥
；同理，当
[2,0)x
时，得
2a≤
．由以
上两种情况得62a≤≤．显然当0x时也成立，故实数a的取值范围为
[6,2]
．
四、观察结构特征，构造适合函数。
例8、若
12
01xx，则（）。
A．21
21
lnlnxxeexxB．21
21
lnlnxxeexx
C．12
21
xxxexeD．12
21
xxxexe
解：构造函数()lnxfxex，则
1
()xfxe
x
，故
()fx
在
(0,1)
上有一
极值点，即
()fx
在
(0,1)
上不是单调函数，无法判断
1
()fx与
2
()fx的
小，故A、B错；构造函数
()
xe
gx
x
，
2
(1)
()
xex
gx
x
，故
()gx
在
(0,1)
单调递减，所以
12
gxgx，故选C．
例9、若
ln2ln3ln5
235
abc，，，则（）。
Ａ．abcＢ．cbaＣ．cabＤ．bac
解：设
ln
(0)
x
yx
x
，故通函数
lnx
y
x
的图象，得
ln5ln2ln3
523
，故选Ｃ．
5
例10、定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)<0，若a 一个选项成立()。 A．af(a) C．af(a)>bf(b)D．af(b)>bf(a) 解、构造函数x·f(x)，易知x·f(x)是R上的减函数，∵abf(b)。